2019届二轮复习基础回扣(六)　解析几何学案（全国通用）

基础回扣(六)　解析几何
[要点回扣]
1．直线的倾斜角与斜率
(1)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tanα(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；倾斜角α∈[0，π)；
(2)经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率为k＝(x1≠x2)．
[对点专练1]　直线xcosθ＋y－2＝0的倾斜角的范围是________．
[答案]　∪
2．直线的方程
(1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x轴的直线．
(2)斜截式：y＝kx＋b，它不包括垂直于x轴的直线．
(3)两点式：＝，它不包括垂直于坐标轴的直线．
(4)截距式：＋＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
[对点专练2]　已知直线过点P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________．
[答案]　5x－y＝0或x＋y－6＝0
3．点到直线的距离及两平行直线间的距离
(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝；
(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.
[对点专练3]　两平行直线3x＋2y－5＝0与6x＋4y＋5＝0间的距离为________．
[答案]　
4．两直线的位置关系
在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，在用直线一般式方程研究两直线位置关系时，＝≠是两直线平行的充分但不必要条件，同理k1k2＝－1也是两直线垂直的充分但不必要条件．
[对点专练4]　设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；当m＝________时，l1⊥l2；当________________时l1与l2相交；当m＝________时，l1与l2重合．
[答案]　－1　　m≠3且m≠－1　3
5．圆的方程
在圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中不要忽视条件D2＋E2－4F>0.
[对点专练5]　若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a＝________.
[答案]　－1
6．与圆有关的距离问题
在圆中，注意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形．注意将圆上动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离．
[对点专练6]　双曲线－＝1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为________．
[答案]　内切
7．圆锥曲线的定义
对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”，抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支．在抛物线的定义中必须注意条件：F∉l，否则定点的轨迹可能是过点F且垂直于直线l的一条直线．
[对点专练7]　已知平面内两定点A(0,1)，B(0，－1)，动点M到两定点A、B的距离之和为4，则动点M的轨迹方程是________．
[答案]　＋＝1
8．圆锥曲线的方程
求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数．
[对点专练8]　与双曲线－＝1有相同的渐近线，且过点(－3,2)的双曲线方程为________．
[答案]　－＝1
9．圆锥曲线的几何性质
椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形．椭圆的焦点在长轴上，椭圆上的点到焦点的最小距离a－c，最大距离a＋c；双曲线的焦点总在实轴上，双曲线上的点到相应焦点的最小距离c－a.
[对点专练9]　已知F1、F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为(　　)
A．(－2,0)　　　　　　 B．(0,1)
C．(2,0) D．(0,1)或(0，－1)
[答案]　D
10．弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
|P1P2|＝或
|P1P2|＝.
(2)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线l交抛物线于C(x1，y1)、D(x2，y2)，则弦长|CD|＝x1＋x2＋p.
[对点专练10]　已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
[答案]　
[易错盘点]
易错点1　直线倾斜角与斜率关系不清致误
【例1】　已知直线xsinα＋y＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是________________．
[错解]　由题意得，直线xsinα＋y＝0的斜率k＝－sinα，
∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，直线的倾斜角的变化范围是.
[错因分析]　直线斜率k＝tanβ(β为直线的倾斜角)在[0，π)上是不单调的且不连续．
[正解]　由题意得，直线xsinα＋y＝0直线的斜率k＝－sinα，
∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，当－1≤k<0时，倾斜角的变化范围是；当0≤k≤1时，倾斜角的变化范围是.
故直线的倾斜角的变化范围是∪.

由直线的斜率求倾斜角，一般利用三角函数的单调性，借助正切函数在[0，π)上的图象，数形结合确定倾斜角的范围．在这里要特别注意，正切函数在[0，π)上的图象并不是单调函数，这一点是最容易被忽略而致错的．
[对点专练1]　
(1)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
(2)已知点A(2,1)，B(－2,2)，若直线l过点P且总与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围是________．
[解析]　(1)直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0，故选D.

(2)当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时，l的斜率逐渐变大直至当l垂直于x轴时，当直线l垂直于x轴时l无斜率，再转时斜率为负值逐渐变大直到PB的位置，所以直线l的斜率k≥kPA＝，或k≤kPB＝－，故k的取值范围是
∪.
[答案]　(1)D　(2)∪
易错点2　忽略斜率不存在的直线致误
【例2】　已知直线l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1与l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0互相垂直，则t的值为________．
[错解]　直线l1的斜率k1＝－，
直线l2的斜率k2＝－，
∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即·＝－1，
解得t＝－1.
[错因分析]　(1)盲目认为两直线的斜率存在，忽视对参数的讨论．(2)忽视两直线有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直这一情形．
[正解]　解法一：(1)当l1，l2的斜率都存在时，
由k1·k2＝－1，得t＝－1.
(2)若l1的斜率不存在，
此时t＝1，l1的方程为x＝，l2的方程为y＝－，
显然l1⊥l2，符合条件；
若l2的斜率不存在，此时t＝－，
易知l1与l2不垂直，综上t＝－1或t＝1.
解法二：l1⊥l2⇔(t＋2)(t－1)＋(1－t)(2t＋3)＝0⇔t＝1或t＝－1.

解决含有参数的直线的位置关系式问题时，切记对直线的斜率存在与不存在进行分类讨论，以避免出错．
[对点专练2]　
(1)“直线ax－y＝0与直线(a＋1)x－ay＝1垂直”是“a＝－2”成立的是(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)过点A(2，－3)与圆C：x2＋y2－2x＝0相切的直线方程为________．
[解析]　(1)由直线ax－y＝0与直线(a＋1)x－ay＝1垂直，得a(a＋1)＋a＝0，解得a＝0或a＝－2，故选B.
(2)圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.
①当直线的斜率不存在时，直线x＝2与圆C相切；
②当直线斜率存在时，设直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，
由＝1，得k＝－.
∴直线方程为y＋3＝－(x－2)，即4x＋3y＋1＝0.
故所求直线方程为x＝2或4x＋3y＋1＝0.
[答案]　(1)B　(2)x＝2或4x＋3y＋1＝0
易错点3　忽视圆的条件致误
【例3】　已知过点P(2,1)有且只有一条直线与圆C：x2＋y2＋2ax＋ay＋2a2＋a－1＝0相切，则实数a＝________.
[错解]　∵过点P有且只有一条直线与圆C相切，
∴点P在圆C上，
∴4＋1＋4a＋a＋2a2＋a－1＝0.
得a＝－1或a＝－2.
[错因分析]　忽视了x2＋y2＋2ax＋ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件．
[正解]　由(2a)2＋a2－4(2a2＋a－1)>0，
即3a2＋4a－4<0，得－2 ∵过点P有且只有一条直线与圆C相切，
∴点P在圆C上，得4＋1＋4a＋a＋2a2＋a－1＝0，解得a＝－1或a＝－2(舍去)．
综上所述，a的值为－1.

二元二次方程表示圆是有条件的，必须有D2＋E2－4F>0.本题的失分原因是忽视了这个条件．在解决此类问题时，可以直接判断D2＋E2－4F>0，也可以配方后，判断方程右侧大于0，因为右侧相当于r2.
[对点专练3]　
(1)若圆x2＋y2＋mx－＝0与直线y＝－1相切，其圆心在y轴的左侧，则m＝________.
(2)已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，过点A(1,2)与圆C相切的直线有两条，则a的取值范围为______________________．
[解析]　(1)圆的标准方程为x＋2＋y2＝2，圆心到直线y＝－1的距离＝|0－(－1)|，解得m＝±，因为圆心在y轴的左侧，所以m＝.
(2)将圆C的方程配方有2＋(y＋1)2＝，∴>0.①
∴圆心C的坐标为，半径r＝.
当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，∴|AC|>r，
即>，
化简得a2＋a＋9>0.②
由①②得－ ∴a的取值范围是－ [答案]　(1)　(2)－ 易错点4　忽视圆锥曲线的焦点位置致误
【例4】　已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率为________．
[错解]　据已知得＝，故双曲线的离心率e＝
＝.
[错因分析]　只要mn>0，方程－＝1就表示双曲线．错解中错将双曲线误认为焦点在x轴上．事实上只要m<0，n<0时焦点在y轴上，此时应有＝.
[正解]　分两种情况讨论：
①m>0，n>0；＝，＝＝，
e＝＝＝.
②m<0，n<0；＝，＝＝，
e＝＝＝.
所以双曲线的离心率为或.

求与椭圆或双曲线的离心率有关的问题时，一定要关注焦点的位置对离心率的影响，必要时进行分类讨论．
[对点专练4]　
(1)已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则实数k的值为(　　)
A．3　　　　　　　　 B．3或
C． D．或
(2)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为(　　)
A．2或 B．2或
C． D．2
[解析]　(1)①当焦点在x轴上时，a2＝5，b2＝k，c2＝5－k，e2＝＝＝2解得k＝3；②当焦点在y轴上时，a2＝k，b2＝5，c2＝a2－b2＝k－5，e2＝＝＝2，解之得k＝.综合①②知，适合条件的实数k＝3或，故选B.
(2)①当双曲线的焦点在x轴上时，由题意知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝tan＝，所以b＝a，c＝＝2a，故双曲线C的离心率e＝＝＝2；
②当双曲线的焦点在y轴上时，由题意知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝tan＝，所以a＝b，c＝＝2b，故双曲线C的离心率e＝＝＝.
综上所述，双曲线C的离心率为2或，故选B.
[答案]　(1)B　(2)B
易错点5　忽视限制条件致误
【例5】　已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．

[错解]　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－
|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2.
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数．
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1.
[错因分析]　错误运用双曲线定义出错．本题中，|MC2|－|MC1|＝2，与双曲线定义相比，左边少了外层绝对值，因此只能是双曲线的一支．如果不注意，就会得出错误的结果，即点M的轨迹方程为x2－＝1.

[正解]　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－
|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2.
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数．
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x<0)．

应注意平面内到两个定点F1，F2的距离之差等于定长2a(a>0)的点的轨迹不一定是双曲线；当定长2a<|F1F2|时，表示的只是双曲线的一支；当2a＝|F1F2|时，表示的是一条射线；当2a>|F1F2|时，点的轨迹不存在．
[对点专练5]　
(1)直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点．则实数m的取值范围是(　　)
A．(0,1) 　　　 B．(0,5)
C．[1,5)∪(5，＋∞) 　　　 D．(1，＋∞)
(2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为________．
[解析]　(1)由于直线恒过点(0,1)，若恒有交点，所以m≥1，但是当m＝5时曲线表示的是圆，故选C.
(2)设|PF2|＝m，∠F1PF2＝θ(0<θ≤π)，
当点P在右顶点处时，θ＝π.e＝＝＝＝3.
当θ≠π，由条件，得|PF1|＝2m，|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cosθ，且||PF1|－|PF2||＝m＝2a.
所以e＝＝＝.
又－1 综上，e∈(1,3]．
[答案]　(1)C　(2)(1,3]
易错点6　忽视“Δ>0”致误
【例6】　已知椭圆C：＋y2＝1，过点M(2,0)的直线与椭圆C交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足＋＝t(O为坐标原点)，当|AB|<时，求实数t的取值范围．
[错解]　由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0.
设直线AB的方程为y＝k(x－2)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，
由，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.
x1＋x2＝，x1x2＝，
∵＋＝t，∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，
x＝＝，
y＝＝[k(x1＋x2)－4k]＝.
∵P点在椭圆上，
∴＋＝2，
∴16k2＝t2(1＋2k2)．
∵|AB|＝|x1－x2|<，
∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<.
∴(1＋k2)<，
得(4k2－1)(14k2＋13)>0，∴k2>.
∵t2＝＝8－，且1＋2k2>，
∴ 故实数t的取值范围是
∪.
[错因分析]　求t的范围的前提是直线AB与椭圆相交，联立方程后忽略了Δ>0这一条件．
[正解]　由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0.
设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，
由，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.
由Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－2)>0，得k2<.
x1＋x2＝，x1x2＝，
∵＋＝t，
∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，x＝＝，
y＝＝[k(x1＋x2)－4k]＝.
∵点P在椭圆C上，
∴＋2＝2，
∴16k2＝t2(1＋2k2)．
∵|－|<，∴|x1－x2|<，
∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<，
∴(1＋k2)<，
∴(4k2－1)(14k2＋13)>0，∴k2>.
∴ ∵16k2＝t2(1＋2k2)，∴t2＝＝8－，
又<1＋2k2<2，∴ ∴－2 ∴实数t的取值范围为∪.

直线与圆锥曲线相交求参数范围、最值、存在性等问题时，要注意Δ>0这一重要条件．
[对点专练6]　
如图所示，椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其中e＝，焦距为2，过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在点A，M之间．又线段AB的中点的横坐标为，且＝λ.

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求实数λ的值．
[解]　(1)由条件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2－c2＝3，
椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．
由题知，AB所在直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)．
由消去y，得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，①
由Δ＝322k4－4(4k2＋3)(64k2－12)＝144(1－4k2)>0，解得k2<，且，
由＝＝，可得k2＝，
将k2＝代入方程①，得7x2－8x－8＝0，
x1,2＝＝.
又因为＝(4－x1，－y1)，＝(x2－4，y2)，
＝λ，
所以λ＝，所以λ＝.