2019届二轮复习集合、简易逻辑、函数与导数4学案（全国通用）
展开第四讲 导数的简单应用一、考点考频考法分析：考点考频考法模型1导数的几何意义11年21T12年13T13年20T14年21T15年14T17年14T1、求切线方程的三种类型（①已知切点求切线；②已知切线斜率求切线；③已知切线上一点（不一定是切点）求切线）2、已知切线求参数的值（利用几何意义列出关于参数的方程）3、分类讨论解决含参函数的单调性问题（①定义域优先原则；②转化为含参不等式的解法）4、已知函数的单调性求参数的取值范围问题（转化为不等式恒成立问题：①讨论极值点与区间的位置关系，研究函数的最值；②分离参数后构造函数求最值，往往需要二次求导以及洛必达法则）5、求函数极值与最值的标准步骤（套路化，模式化）模型2导数小题压轴题14年12T16年12T模型3利用导数研究函数的单调性12年21T13年20T16年12T16年21T17年21T模型4利用导数求函数的极值与最值历年必考二、高考回放：1、（17全国I，14T）曲线在点（1，2）处的切线方程为 .2、（15新课标I，14T）已知函数的图象在点的处的切线过点，则 .3、（12新课标，13T）曲线y=x(3lnx+1)在点（1,1）处的切线方程为 .4、（16全国I，12T）若函数在单调递增，则a的取值范围是（A）（B）（C）（D） （ ）以下5-11为近七年导数大题，仅供大家分析对比，后面的例习题中还会出现。5、（17全国I，21T）已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x．（1）讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围． 6、（16全国I，21T）已知函数. (I)讨论的单调性；(II)若有两个零点，求的取值范围.7、（15新课标I，21T）设函数.（I）讨论的导函数的零点的个数；（II）证明：当时.8、（14新课标I，21T）设函数，曲线在点处的切线斜率为0（I）求b;（II）若存在使得，求的取值范围。9、（13新课标I，20T）已知函数，曲线在点处切线方程为。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值．10、（12新课标，21T）设函数f(x)= ex－ax－2。(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值．11、（11新课标，21T）已知函数，曲线在点处的切线方程为．（I）求a，b的值；（II）证明：当x>0，且时，．三、模型分解：模型1：导数的几何意义例1、(2017·高考天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为 ．【变式1】（16全国III，16T）已知f(x)为偶函数，当 时，，则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方程式 .模型2：导数小题压轴题例2、定义在R上的函数满足：的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为 （ ）A. B. C. D. 【变式2】（河南濮阳18届上二模）设是定义在上的可导函数为，且有，则不等式的解集为 （ ）A． B． C．（-2018，－2017） D．总结：常见构造函数：(1)xf′(x)＋f(x)联想[xf(x)]′；(2)xf′(x)－f(x)联想′；(3)f′(x)＋f(x)联想′；(4)f′(x)－f(x)联想′；(5)f′(x)±k联想(f(x)±kx)′.模型3：利用导数研究函数的单调性（高频考点）例3、（17全国III，21T）已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，证明． 【变式3】（17全国II，21T）设函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围. 模型4：利用导数求函数的极值与最值（高频考点）例4、（13新课标I，20T）已知函数，曲线在点处切线方程为。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值。 【变式4】 （17北京II，20T） 已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 四、当堂检测：1、（14新课标II，3T）函数在处导数存在，若p：f‘（x0）=0；q：x=x0是的极值点，则 A、是的充分必要条件 B、是的充分条件，但不是的必要条件 ( )C、是的必要条件，但不是的充分条件D、既不是的充分条件，也不是的必要条件2、（14新课标II，11T）若函数在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是（A） （B）（C） （D） ( )3、（13新课标II，11T）已知函数，下列结论中错误的是 ( )（A）， （B）函数的图象是中心对称图形（C）若是的极小值点，则在区间单调递减（D）若是的极值点，则4、设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝ ( )A．0 B．1 C．2 D．35、（15福建，文12）“对任意，”是“”的 ( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6、定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)＜，则不等式f(x2)＞的解集为A．(1,2) B．(0,1) C．(－1,1) D．(1，＋∞) ( )7、设函数在R上的导函数为，且和对任意实数都成立，则有A、，且 B、，且 ( )C、，且 D、，且8、（16年济南）已知R上的奇函数满足，则不等式的解集是 ( )A、 B、（0,1） C、 D、9、（13新课标II，12T）若存在正数使成立，则的取值范围是 ( )（A） （B） （C） （D）10、（14年山东20T）设函数 ，其中为常数.若，则曲线在点处的切线方程为 ．11、已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝ ．12、已知函数f(x)＝x2＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为 ．13、（17全国I，21T）已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x．（1）讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围． 14、（16全国II，20T）已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；(II)若当时，，求的取值范围. 15、设f(x)＝ex(ln x－a)(e是自然对数的底数，e＝2.71 828…)(1)若y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝2ex＋b，求a，b的值．(2)若函数f(x)在区间上单调递减，求a的取值范围． 16、（15新课标II，21T）已知函数f（x）=ln x +a（1- x）（I）讨论f（x）的单调性；（II）当f（x）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围. 17、（12新课标，21T）设函数f(x)= ex－ax－2。(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值． 第四讲 答案 高考回放：1、. 2、1； 3、. 4、C；例1、1；【变式1】 例2、B；【变式2】C例3、解：（1）f(x)的定义域为，.若，则当时，，故在单调递增.若，则当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减。（2）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为所以等价于，即.设，则.当时，；当，.所以在（0,1）单调递增，在单调递减.故当时，取得最大值，最大值为.所以当时，，从而当时，，即.【变式3】（21）（12分）解：（1）.令得.当时，；当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）.当时，设函数，因此在单调递减，而，故，所以.当时，设函数，所以在单调递增，而，故.当时，，，取，则，故当时，取，则综上，的取值范围是.例4、【解析】（Ⅰ）=.由已知得=4，=4，故，=8，从而=4，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，==，令=0得，=或=-2，当=-2时，函数取得极大值，极大值为.【变式4】【解析】当堂检测：1、C；2、D；3、C；4、D；5、B；6、C；7、D；8、B；9、D；10、；11、【答案】8；12、【答案】．13、解：（1）函数的定义域为．①若，则，在单调递增．②若，则由得．当时，；当时，；故在单调递减，在单调递增．③若，则由得．当时，；当时，；故在单调递减，在单调递增．（2）①若，则，所以．②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为，从而当且仅当，即时，．③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为，从而当且仅当，即时，．综上，的取值范围是．14、解析：（I）的定义域为.当时，，所以曲线在处的切线方程为（II）当时，等价于令，则，（i）当，时， ，故在上单调递增，因此；（ii）当时，令得，由和得，故当时，，在单调递减，因此.综上，的取值范围是15、x1(1，e)eg′(x) －0＋ g(x)e－111＋g＝ln＋e＝e－1，g(e)＝1＋，因为e－1＞1＋，所以g(x)max＝g＝e－1.故a≥e－1.16、解：（Ⅰ）f（x）的定义域为若则所以单调递增.若，则当时，当时，所以在单调递增，在单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，无最大值；当时，在取得最大值，最大值为.因此 等价于.令，则在单调递增，.于是，当时；当时，.因此，的取值范围是.17、解: (Ⅰ) 的定义域为,; 若,则恒成立,所以在总是增函数.若,令,求得,所以的单增区间是; 令, 求得 ,所以的单减区间是. (Ⅱ) 把 代入得:, 因为,所以,所以:,, ,所以: 令,则,由(Ⅰ)知:在 单调递增,而 ,所以在上存在唯一零点,且; 故在上也存在唯一零点且为,当时, ,当时,,所以在上,;由得:,所以,所以, 由于( )式等价于,所以整数的最大值为2.
