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2019届二轮复习集合常用逻辑用语、算法、复数、推理与证明、不等式学案（全国通用）
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一、回扣教材，纠错例析
基础回扣(一) 集合常用逻辑用语、算法、复数、推理与证明、不等式
[要点回扣]
1．集合元素的三个特征
集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
[对点专练1] 集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
[答案] A
2．集合的表示方法
描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝f(x)}——函数的定义域；{y|f(x)}——函数的值域；{(x，y)|y＝f(x)}——函数图象上的点集．
[对点专练2] 集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝ .
[答案] ∅
3．空集问题
遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．
[对点专练3] 设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是 ．
[答案]
4．子集个数的计算
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.
[对点专练4] 满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有 个．
[答案] 7
5．集合中的数形结合
注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．
[对点专练5] 已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝}，B＝{x|0≤x≤2}，则(∁IA)∪B等于( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
[答案] C
6．否命题和命题否定的区别
“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．
[对点专练6] 已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是 .
[答案] 否命题：已知实数a、b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b；命题的否定：已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b
7．充分、必要条件的判断
“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
[对点专练7] 设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的 条件．
[答案] 充分不必要
8．含有量词的命题的否定
要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”．求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．
[对点专练8] 若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围是 ．
[答案] (－∞，－1)∪
9．集合、区间的规范应用
在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．
[对点专练9] 不等式－3x2＋5x－2>0的解集为 ．
[答案]
10．算法
(1)首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．
(2)条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值．
[对点专练10] 执行如图所示的程序框图，则输出a的值为 ．
[答案] 341
11．复数的概念
在复数中，对实数、纯虚数、模、共轭复数的考查是重点．
[对点专练11] 若复数 ＝lg(m2－m－2)＋i·lg(m2＋3m＋3)为实数，则实数m的值为 ．
[答案] －2
12．复数的运算法则
复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用．
[对点专练12] 已知复数 ＝，是 的共轭复数，则||＝ .
[答案] 1
13．合情推理与演绎推理
合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．
[对点专练13] 图1有面积关系：＝，则图2有体积关系： .
[答案] ＝
14．直接证明与间接证明
直接证明——综合法、分析法；间接证明——反证法．
[对点专练14] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设 ．
[答案] 三角形三个内角都大于60°
15．不等式的性质
不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负，两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．
[对点专练15] 已知a，b，c，d为正实数，且c>d，则“a>b”是“ac>bd”的 条件．
[答案] 充分不必要
16．基本不等式
≥(a，b>0)
(1)推广：≥≥≥(a，b>0)，
(2)用法：已知x，y都是正数，则
①若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2；
②若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值s2.
[对点专练16] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则y＝＋的最小值是 ．
[答案] 9
17．线性规划
解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．
[对点专练17] 设定点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满足条件则|PA|的最小值是 ．
[答案]
[易错盘点]
易错点1 忽视元素互异性致误
【例1】 已知集合A＝{1，x,2}，B＝{1，x2}，若A∪B＝A，则x的不同取值有 种情况( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[错解] 由x2＝2，解得x1＝，x2＝－.
由x2＝x，解得x3＝0，x4＝1.
∴选D.
[错因分析] 当x＝1时，集合A、B中元素不满足互异性，错解中忽视了集合中元素的互异性，导致错误．
[正解] ∵A∪B＝A，∴B⊆A.∴x2＝2或x2＝x.由x2＝2，解得x＝±，由x2＝x，解得x＝0或x＝1.当x＝1时，x2＝1，集合A、B中元素不满足互异性，所以符合题意的x为或－或0，共3种情况，故选C.
由集合的关系求参数的值应注意元素性质的具体情况，对求出的参数值要进行验证．
[对点专练1]
(1)已知1∈{m，m2}，则实数m的值( )
A．等于1 B．等于－1
C．等于±1 D．m≠0且m≠1
(2)已知1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，则实数a的值为 ．
[解析] (1)因为集合元素具有互异性，所以m2＝1，解得m＝－1或m＝1(舍)，故选B.
(2)由题意得a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1.解得a＝－1或a＝－2或a＝0.
又当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1不符合集合中元素互异性这一特点．故a≠－2，同理a≠－1，故只有a＝0.
[答案] (1)B (2)a＝0
易错点2 遗忘空集致误
【例2】 已知集合A＝{x∈R|x<－1或x>4}，B＝{x∈R|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是 ．
[错解] 由A∪B＝A知，B⊆A，
∴，
解得a<－4或2
[正解] 由A∪B＝A知，B⊆A.
①当B≠∅时，有，
解得a<－4或2
综上可知，实数a的取值范围是a<－4或a>2.
造成本题错误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质．当题目中出现A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B时，注意对A进行分类讨论，即分为A＝∅和A≠∅两种情况讨论．
[对点专练2]
(1)设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)已知集合A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，p∈R)，若A∩R＋＝∅，则实数p的取值范围为 ．
[解析] (1)因为A＝{2，－3}．由A∪B＝A得B⊆A.当m＝0时，B＝∅，满足；当m≠0时，B＝，所以－＝2或－＝－3，解得m＝－或，故m的取值集合是，故选C.
(2)由－≤0，得p≥－2；
由，
得－4
[答案] (1)C (2)(－4，＋∞)
易错点3 对命题否定不当致误
【例3】 命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是( )
A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数
B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数
D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数
[错解] “都是”的否定是“都不是”，选C.
[错因分析] “x，y都是奇数”的否定中包含三种情况：“x是奇数，y不是奇数”，“x不是奇数，y是奇数”，“x，y都不是奇数”，误把“x，y都不是奇数”作为“x，y都是奇数”的否定而错选C.
[正解] “都是”的否定是“不都是”，故选D.
对条件进行否定时，要搞清条件包含的各种情况，全面考虑；对于和参数范围有关的问题，可以先化简再否定．
[对点专练3]
(1)命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为 ．
(2)已知M是不等式≤0的解集且5∉M，则a的取值范围是 ．
[解析] (1)一般的命题“如果p则q”是由条件p及结论q组成的，条件和结论“换质”又“换位”得“如果非q，则非p”，这称为原命题的逆否命题．
(2)∵5∉M，∴5a－25＝0或>0，解得a＝5或a<－2或a>5，故a的取值范围是(－∞，－2)∪[5，＋∞)．
[答案] (1)若x≠0且y≠0，则xy≠0 (2)(－∞，－2)∪[5，＋∞)
易错点4 充分、必要条件判断不准致误
【例4】 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的 条件．
[错解] 若A⊆C，则∁UC⊆∁UA，又B⊆∁UC，
∴A∩B＝∅，故填“充要”．
[错因分析] 没有理解充分条件的概念，p⇒q只能得到p是q的充分条件，必要性还要检验q⇒p是否成立．
[正解] 若A⊆C，则∁UC⊆∁UA，当B⊆∁UC时，可得A∩B＝∅；若A∩B＝∅，不能推出B⊆∁UC，故填“充分不必要”．
充分、必要条件判断时一定要分清条件和结论，只有充分性和必要性同时成立，才判断为充要条件．
[对点专练4]
(1)设A，B为两个互不相同的集合，命题p：x∈A∩B，命题q：x∈A或x∈B，则綈q是綈p的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
(2)若“x2－2x－8>0”是“x
(2)由x2－2x－8>0得x<－2或x>4；依题意得知，由x4，于是有m≤－2，即m的最大值是－2.
[答案] (1)B (2)－2
易错点5 循环次数把握不准致误
【例5】 执行下边的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝ .
[错解] 3或5.
[错因分析] 陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错．
[正解] n＝1，S＝0,0<0.8，S＝0＋＝，
n＝2，<0.8，S＝＋＝，
n＝3，<0.8，S＝＋＝，
n＝4，>0.8，
故输出n＝4.
解答循环结构的程序(算法)框图，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误．
[对点专练5]
(1)执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a的值为( )
A．4 B．2 C. D．－1
(1)题图 (2)题图
(2)执行如上图所示的程序框图，输出的S的值是 ．
[解析] (1)S和n依次循环的结果如下：，2；1－，4.所以1－＝2，a＝－1，故选D.
(2)由程序框图可知，n＝1，S＝0；S＝cos，n＝2；S＝cos＋cos，n＝3；…；S＝cos＋cos＋cos＋…＋cos＝251cos＋cos＋…＋cos＋cos＋cos＋…＋cos＝251×0＋＋0＋－＋(－1)＋－＋0＝－1－，n＝2015，输出S.
[答案] (1)D (2)－1－
易错点6 复数的概念不清致误
【例6】 若 ＝sinθ－＋i是纯虚数，则tan的值为( )
A．－7 B．7
C．－ D．－7或－
[错解] 由 为纯虚数，知sinθ－＝0，
则sinθ＝，从而cosθ＝±.
∴tanθ＝±.由tan＝，
得tan＝－或－7，故选D.
[错因分析] 混淆复数的有关概念，忽视虚部不为0的限制条件．
[正解] 由 为纯虚数，知sinθ－＝0，且cosθ－≠0.则sinθ＝，从而cosθ＝－.所以tanθ＝＝－.
∴tan＝＝＝－7，故选A.
纯虚数是指实部为零且虚部不为零的虚数．
[对点专练6]
(1)复数＋i2(i是虚数单位)的共轭复数为( )
A．－＋i B.－i
C.＋i D．－－i
(2)若复数 1＝4＋29i， 2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数( 1－ 2)i的实部为 ．
[解析] (1)由题意知，＋i2＝－＋i
＝－＋i，其共轭复数为－－i，故选D.
(2)( 1－ 2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，
故( 1－ 2)i的实部为－20.
[答案] (1)D (2)－20
易错点7 忽视基本不等式的应用条件致误
【例7】 函数y＝x＋的值域是 ．
[错解] y＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当x－1＝，即x＝1＋时等号成立，故函数值域为[2＋1，＋∞)．
[错因分析] 错解中直接使用基本不等式，而忽视了x－1<0时的情况．
[正解] 当x>1时，y＝x＋＝x－1＋＋1≥
2 ＋1＝2＋1，当且仅当x－1＝，
即x＝1＋时等号成立；
当x<1时，－y＝－x＋＝1－x＋－1
≥2－1＝2－1，
∴y≤1－2；
当且仅当1－x＝，即x＝1－时等号成立．
∴原函数的值域为(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)．
利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正，二定，三相等”的条件．本例由于忽视了x－1的正、负问题，导致结果错误．在应用基本不等式≥时，首先应考虑a，b是否为正值．
[对点专练7]
(1)x<0，则函数y＝2－x－有( )
A．最小值6 B．最大值6
C．最小值－2 D．最大值－2
(2)函数y＝的最小值为 ．
[解析] (1)因为x<0，所以－x>0，所以－x－≥
2＝4，所以y＝2－x－≥2＋4＝6，当且仅当x＝－2时等号成立，故选A.
(2)y＝＝＋，令t＝，则t≥2，∵y＝t＋在[2，＋∞)上为增函数，∴ymin＝2＋＝.
[答案] (1)A (2)
基础回扣(一) 集合常用逻辑用语、算法、复数、推理与证明、不等式
[要点回扣]
1．集合元素的三个特征
集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
[对点专练1] 集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
[答案] A
2．集合的表示方法
描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝f(x)}——函数的定义域；{y|f(x)}——函数的值域；{(x，y)|y＝f(x)}——函数图象上的点集．
[对点专练2] 集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝ .
[答案] ∅
3．空集问题
遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．
[对点专练3] 设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是 ．
[答案]
4．子集个数的计算
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.
[对点专练4] 满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有 个．
[答案] 7
5．集合中的数形结合
注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．
[对点专练5] 已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝}，B＝{x|0≤x≤2}，则(∁IA)∪B等于( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
[答案] C
6．否命题和命题否定的区别
“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．
[对点专练6] 已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是 .
[答案] 否命题：已知实数a、b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b；命题的否定：已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b
7．充分、必要条件的判断
“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
[对点专练7] 设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的 条件．
[答案] 充分不必要
8．含有量词的命题的否定
要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”．求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．
[对点专练8] 若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围是 ．
[答案] (－∞，－1)∪
9．集合、区间的规范应用
在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．
[对点专练9] 不等式－3x2＋5x－2>0的解集为 ．
[答案]
10．算法
(1)首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．
(2)条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值．
[对点专练10] 执行如图所示的程序框图，则输出a的值为 ．
[答案] 341
11．复数的概念
在复数中，对实数、纯虚数、模、共轭复数的考查是重点．
[对点专练11] 若复数 ＝lg(m2－m－2)＋i·lg(m2＋3m＋3)为实数，则实数m的值为 ．
[答案] －2
12．复数的运算法则
复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用．
[对点专练12] 已知复数 ＝，是 的共轭复数，则||＝ .
[答案] 1
13．合情推理与演绎推理
合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．
[对点专练13] 图1有面积关系：＝，则图2有体积关系： .
[答案] ＝
14．直接证明与间接证明
直接证明——综合法、分析法；间接证明——反证法．
[对点专练14] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设 ．
[答案] 三角形三个内角都大于60°
15．不等式的性质
不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负，两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．
[对点专练15] 已知a，b，c，d为正实数，且c>d，则“a>b”是“ac>bd”的 条件．
[答案] 充分不必要
16．基本不等式
≥(a，b>0)
(1)推广：≥≥≥(a，b>0)，
(2)用法：已知x，y都是正数，则
①若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2；
②若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值s2.
[对点专练16] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则y＝＋的最小值是 ．
[答案] 9
17．线性规划
解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．
[对点专练17] 设定点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满足条件则|PA|的最小值是 ．
[答案]
[易错盘点]
易错点1 忽视元素互异性致误
【例1】 已知集合A＝{1，x,2}，B＝{1，x2}，若A∪B＝A，则x的不同取值有 种情况( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[错解] 由x2＝2，解得x1＝，x2＝－.
由x2＝x，解得x3＝0，x4＝1.
∴选D.
[错因分析] 当x＝1时，集合A、B中元素不满足互异性，错解中忽视了集合中元素的互异性，导致错误．
[正解] ∵A∪B＝A，∴B⊆A.∴x2＝2或x2＝x.由x2＝2，解得x＝±，由x2＝x，解得x＝0或x＝1.当x＝1时，x2＝1，集合A、B中元素不满足互异性，所以符合题意的x为或－或0，共3种情况，故选C.
由集合的关系求参数的值应注意元素性质的具体情况，对求出的参数值要进行验证．
[对点专练1]
(1)已知1∈{m，m2}，则实数m的值( )
A．等于1 B．等于－1
C．等于±1 D．m≠0且m≠1
(2)已知1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，则实数a的值为 ．
[解析] (1)因为集合元素具有互异性，所以m2＝1，解得m＝－1或m＝1(舍)，故选B.
(2)由题意得a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1.解得a＝－1或a＝－2或a＝0.
又当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1不符合集合中元素互异性这一特点．故a≠－2，同理a≠－1，故只有a＝0.
[答案] (1)B (2)a＝0
易错点2 遗忘空集致误
【例2】 已知集合A＝{x∈R|x<－1或x>4}，B＝{x∈R|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是 ．
[错解] 由A∪B＝A知，B⊆A，
∴，
解得a<－4或2
[正解] 由A∪B＝A知，B⊆A.
①当B≠∅时，有，
解得a<－4或2
综上可知，实数a的取值范围是a<－4或a>2.
造成本题错误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质．当题目中出现A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B时，注意对A进行分类讨论，即分为A＝∅和A≠∅两种情况讨论．
[对点专练2]
(1)设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)已知集合A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，p∈R)，若A∩R＋＝∅，则实数p的取值范围为 ．
[解析] (1)因为A＝{2，－3}．由A∪B＝A得B⊆A.当m＝0时，B＝∅，满足；当m≠0时，B＝，所以－＝2或－＝－3，解得m＝－或，故m的取值集合是，故选C.
(2)由－≤0，得p≥－2；
由，
得－4
[答案] (1)C (2)(－4，＋∞)
易错点3 对命题否定不当致误
【例3】 命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是( )
A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数
B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数
D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数
[错解] “都是”的否定是“都不是”，选C.
[错因分析] “x，y都是奇数”的否定中包含三种情况：“x是奇数，y不是奇数”，“x不是奇数，y是奇数”，“x，y都不是奇数”，误把“x，y都不是奇数”作为“x，y都是奇数”的否定而错选C.
[正解] “都是”的否定是“不都是”，故选D.
对条件进行否定时，要搞清条件包含的各种情况，全面考虑；对于和参数范围有关的问题，可以先化简再否定．
[对点专练3]
(1)命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为 ．
(2)已知M是不等式≤0的解集且5∉M，则a的取值范围是 ．
[解析] (1)一般的命题“如果p则q”是由条件p及结论q组成的，条件和结论“换质”又“换位”得“如果非q，则非p”，这称为原命题的逆否命题．
(2)∵5∉M，∴5a－25＝0或>0，解得a＝5或a<－2或a>5，故a的取值范围是(－∞，－2)∪[5，＋∞)．
[答案] (1)若x≠0且y≠0，则xy≠0 (2)(－∞，－2)∪[5，＋∞)
易错点4 充分、必要条件判断不准致误
【例4】 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的 条件．
[错解] 若A⊆C，则∁UC⊆∁UA，又B⊆∁UC，
∴A∩B＝∅，故填“充要”．
[错因分析] 没有理解充分条件的概念，p⇒q只能得到p是q的充分条件，必要性还要检验q⇒p是否成立．
[正解] 若A⊆C，则∁UC⊆∁UA，当B⊆∁UC时，可得A∩B＝∅；若A∩B＝∅，不能推出B⊆∁UC，故填“充分不必要”．
充分、必要条件判断时一定要分清条件和结论，只有充分性和必要性同时成立，才判断为充要条件．
[对点专练4]
(1)设A，B为两个互不相同的集合，命题p：x∈A∩B，命题q：x∈A或x∈B，则綈q是綈p的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
(2)若“x2－2x－8>0”是“x
(2)由x2－2x－8>0得x<－2或x>4；依题意得知，由x
[答案] (1)B (2)－2
易错点5 循环次数把握不准致误
【例5】 执行下边的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝ .
[错解] 3或5.
[错因分析] 陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错．
[正解] n＝1，S＝0,0<0.8，S＝0＋＝，
n＝2，<0.8，S＝＋＝，
n＝3，<0.8，S＝＋＝，
n＝4，>0.8，
故输出n＝4.
解答循环结构的程序(算法)框图，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误．
[对点专练5]
(1)执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a的值为( )
A．4 B．2 C. D．－1
(1)题图 (2)题图
(2)执行如上图所示的程序框图，输出的S的值是 ．
[解析] (1)S和n依次循环的结果如下：，2；1－，4.所以1－＝2，a＝－1，故选D.
(2)由程序框图可知，n＝1，S＝0；S＝cos，n＝2；S＝cos＋cos，n＝3；…；S＝cos＋cos＋cos＋…＋cos＝251cos＋cos＋…＋cos＋cos＋cos＋…＋cos＝251×0＋＋0＋－＋(－1)＋－＋0＝－1－，n＝2015，输出S.
[答案] (1)D (2)－1－
易错点6 复数的概念不清致误
【例6】 若 ＝sinθ－＋i是纯虚数，则tan的值为( )
A．－7 B．7
C．－ D．－7或－
[错解] 由 为纯虚数，知sinθ－＝0，
则sinθ＝，从而cosθ＝±.
∴tanθ＝±.由tan＝，
得tan＝－或－7，故选D.
[错因分析] 混淆复数的有关概念，忽视虚部不为0的限制条件．
[正解] 由 为纯虚数，知sinθ－＝0，且cosθ－≠0.则sinθ＝，从而cosθ＝－.所以tanθ＝＝－.
∴tan＝＝＝－7，故选A.
纯虚数是指实部为零且虚部不为零的虚数．
[对点专练6]
(1)复数＋i2(i是虚数单位)的共轭复数为( )
A．－＋i B.－i
C.＋i D．－－i
(2)若复数 1＝4＋29i， 2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数( 1－ 2)i的实部为 ．
[解析] (1)由题意知，＋i2＝－＋i
＝－＋i，其共轭复数为－－i，故选D.
(2)( 1－ 2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，
故( 1－ 2)i的实部为－20.
[答案] (1)D (2)－20
易错点7 忽视基本不等式的应用条件致误
【例7】 函数y＝x＋的值域是 ．
[错解] y＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当x－1＝，即x＝1＋时等号成立，故函数值域为[2＋1，＋∞)．
[错因分析] 错解中直接使用基本不等式，而忽视了x－1<0时的情况．
[正解] 当x>1时，y＝x＋＝x－1＋＋1≥
2 ＋1＝2＋1，当且仅当x－1＝，
即x＝1＋时等号成立；
当x<1时，－y＝－x＋＝1－x＋－1
≥2－1＝2－1，
∴y≤1－2；
当且仅当1－x＝，即x＝1－时等号成立．
∴原函数的值域为(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)．
利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正，二定，三相等”的条件．本例由于忽视了x－1的正、负问题，导致结果错误．在应用基本不等式≥时，首先应考虑a，b是否为正值．
[对点专练7]
(1)x<0，则函数y＝2－x－有( )
A．最小值6 B．最大值6
C．最小值－2 D．最大值－2
(2)函数y＝的最小值为 ．
[解析] (1)因为x<0，所以－x>0，所以－x－≥
2＝4，所以y＝2－x－≥2＋4＝6，当且仅当x＝－2时等号成立，故选A.
(2)y＝＝＋，令t＝，则t≥2，∵y＝t＋在[2，＋∞)上为增函数，∴ymin＝2＋＝.
[答案] (1)A (2)
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