2019届二轮复习解答客观题常用的6种方法学案（全国通用）
展开二、解答客观题常用的6种方法
(对应学生用书第85页)
选择题、填空题是高考必考的题型，共占80分，因此，探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要的.选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，且答案就在给出的选项中.而填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所以要求所填的是最简最完整的结果.解答选择题、填空题时，对正确性的要求比解答题更高、更严格.它们自身的特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法.
解法1 直接法
直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，得出正确的结论．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．
【例1】 (1)(2018·邢台市期末)设复数z满足z(1＋i)＝i－3，则复数的实部为( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
(2)(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
(1)A (2)D [(1)由z(1＋i)＝i－3，得z＝＝－1＋2i，所以＝＝－2＋i.
故的实部为－2，选A．
(2)过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，
所以＝(0,2)，＝(3,4)，
所以·＝8.故选D.]
■对点即时训练·
1．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝2cos2x B．y＝2sin2x
C．y＝1＋sin D．y＝cos 2x
A [函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得y＝sin，再向上平移1个单位得y＝sin2x＋＋1＝1＋cos 2x＝2cos2x.]
2如图321所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
图321
A．34 B．55 C．78 D．89
B [第一次循环：z＝2，x＝1，y＝2；
第二次循环：z＝3，x＝2，y＝3；
第三次循环：z＝5，x＝3，y＝5；
第四次循环：z＝8，x＝5，y＝8；
第五次循环：z＝13，x＝8，y＝13；
第六次循环：z＝21，x＝13，y＝21；
第七次循环：z＝34，x＝21，y＝34，z＝55.
当z＝55时，退出循环，输出z＝55.]
解法2 特例法
在解决选择题和填空题时，可以取一个(或一些)特殊情况(包括特殊数值、特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果，这种方法称为特值法．特值法由于只需对特殊数值、特殊情形进行检验，省去了推理论证、繁琐演算的过程，提高了解题的速度．特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效．
【例2】 (1)如图322，在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )
图322
A．3∶1
B．2∶1
C．4∶1
D．∶1
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝________.
(1)B (2) [(1)将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有VCAA1B＝VA1ABC＝VABCA1B1C1，VA1C1CBB1＝VABCA1B1C1，所以截后两部分的体积比为2∶1.
(2)令a＝b＝c，则A＝C＝60°，cos A＝cos C＝.
从而＝.]
■对点即时训练·
1．(2017·山东高考)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a＋＜＜log2(a＋b) B．＜log2(a＋b)＜a＋
C．a＋＜log2(a＋b)＜ D．log2(a＋b)＜a＋＜
B [令a＝2，b＝，则a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2 ∈(1,2)，则＜log2(a＋b)＜a＋.]
2.如图323所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.
图323
18 [把平行四边形ABCD看成正方形，则P是对角线的交点，所以AC＝6，·＝18.]
解法3 图解法(数形结合法)
图解法就是根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法，常用于函数、向量、解析几何等问题中，有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，得出结论．
【例3】 (1)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值等于( )
A． B．
C． D．1
(2)已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．
(1)A (2) [(1)法一：(几何法)如图，
a＝，b＝，c＝.由题意有∠AOB＝，点C在圆M上，当点C到达点D时，|c|最大，|c|max＝||＋||＝sin ＋cos ＝.选A．
法二：(建系法或称坐标法)建立如图所示的坐标系，
设点C的坐标为(x，y)．设a＝＝，b＝＝，c＝＝(x，y)．
则(a－c)·(b－c)＝－x，－y·－x，－－y＝0.
化简得＋y2＝，它的轨迹是图中圆M.
当点C到达点D时，|c|最大，|c|max＝||＋||＝sin ＋cos ＝.选A．
(2)因为(－2)2＜8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.
因为点A(－2,4)，
所以不妨设△APF的周长最小时，
点P的坐标为(－2，y0)，
代入x2＝8y，得y0＝，
故使△APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为.]
■对点即时训练·
1．已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝________.
2 [如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为C(0,1)，半径为r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为1.
而S△PBC＝r·|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，则d＝＝＝，化简得k2＝4，因为k＞0，所以k＝2.]
2．设函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等．若方程f(x)＝k(x＋1)(k>0)恰有三个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
[直线y＝kx＋k(k>0)恒过定点(－1,0)，在同一直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象和直线y＝kx＋k(k>0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，
所以≤k<.]
解法4 排除(淘汰)法
排除法(淘汰法)是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．
【例4】 (2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为( )
A B C D
B [当x＜0时，因为ex－e－x＜0，所以此时f(x)＝＜0，故排除A、D；又f(1)＝e－＞2，故排除C，选B.]
■对点即时训练·
设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( )
A．[－1,2] B．[－1,0]
C．[1,2] D．[0,2]
D [若a＝－1，
则f(x)＝
易知f(－1)是f(x)的最小值，排除A，B；
若a＝0，则f(x)＝易知f(0)是f(x)的最小值，故排除C．故选D.]
解法5 构造法
构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．
【例5】 (1)已知m，n∈(2，e)，且－<ln ，则( )
A．m>n
B．m<n
C．m>2＋
D．m，n的大小关系不确定
(2)如图324，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．
图324
(1)A (2)π [(1)由不等式可得：
－<ln m－ln n，
即＋ln n<＋ln m.
设f(x)＝＋ln x(x∈(2，e))，则f′(x)＝－＋＝.
因为x∈(2，e)，
所以f′(x)>0，
故函数f(x)在(2，e)上单调递增．
因为f(n)<f(m)，所以n<m.故选A．
(2)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径.
∴CD＝＝2R，因此R＝，
故球O的体积V＝＝π.]
■对点即时训练·
在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式是_____．
an＝2n－1(n∈N*) [由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，得a1＋1＝2≠0，
∴数列{an＋1}是首项为2，公比q＝2的等比数列，
因此an＋1＝2·2n－1＝2n，
故an＝2n－1(n∈N*)．]
解法6 估值法
估值法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法．由于选择题提供了唯一正确的选择项，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案．
【例6】 (2017·全国卷Ⅱ)如图325，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
图325
A．90π B．63π
C．42π D．36π
B [由题意，知V圆柱＜V几何体＜V圆柱．
又V圆柱＝π×32×10＝90π，
∴45π＜V几何体＜90π.
观察选项可知只有63π符合．故选B.]
■对点即时训练·
1．若a＝20.5，b＝logπ 3，c＝log2 sin ，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
A [由指数函数的性质可知y＝2x在R上单调递增，而0<0.5<1，所以a＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y＝logπx、y＝log2x均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b＝logπ3∈(0,1)；因为sin ∈(0,1)，所以c＝log2sin <0.综上，a>1>b>0>c，即a>b>C．故选A．]
2．若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
D [因为双曲线的一条渐近线经过点(3，－4)，所以＝.
因为e＝>，
所以e>.故选D.]
