2019届二轮复习解析几何高考热点链接学案（全国通用）

2019年学  创新课堂·二轮专题

专题六  圆锥曲线

例1（2018•洛阳一模）已知点M，N分别是椭圆的左右顶点，F为其右焦点，|MF|与|FN|的等比中项是，椭圆的离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设不过原点O的直线l与该轨迹交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．

【分析】（1）利用|MF|=a+c，|BN|=a﹣c，是|MF|与|FN|的等比中项．得到（a+c）（a﹣c）=3，结合椭圆的离心率求解即可．

（2）直线l的斜率存在且不为0．设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用判别式以及韦达定理，通过OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，推出m2（4k2﹣3）=0，求出，0＜m2＜6，且m2≠3，然后求解三角形的面积的表达式，求解范围即可．

（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0．

故可设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

由题意可知，△=64km﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=48（4k2﹣m2+3）＞0，

即4k2+3＞m2，

且，

又直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，所以，

将y1，y2代入并整理得m2（4k2﹣3）=0，

因为m≠0，，0＜m2＜6，且m2≠3，

设d为点O到直线l的距离，则有，，

所以，

所以三角形面积的取值范围为．

例2（2018•焦作四模）已知椭圆Γ：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4．

（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；

（Ⅱ）直线l与椭圆Γ交于A，B两点，AB的中点M在圆x2+y2=1上，求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．

【分析】（Ⅰ）根据题意，由椭圆的离心率公式可得，进而可得，则椭圆的方程可以为以，由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得2ab=4，据此解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；

（Ⅱ）根据题意，按直线l的斜率是否存在分2种情况讨论，当直线l的斜率不存在时，令x=±1，易得△AOB的面积，当直线l的斜率存在时，设ly=kx+m，联立直线与椭圆的方程，用k表示△AOB的面积，由基本不等式的性质分析可得△AOB的面积，综合2种情况即可得答案．

【解析】：（Ⅰ）根据题意，椭圆Γ：的离心率为，则，得，，所以，

由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得2ab=4，

所以a=2，b=1，椭圆Γ的标准方程为．

所以，，

将代入x2+y2=1，得，

又因为=，

原点到直线l的距离，

所以学   ]

==×

==．

当且仅当12k2=1+4k2，即时取等号．

综上所述，△AOB面积的最大值为1．

必刷题：

一.选择题

1. （2018•烟台二模）已知双曲线两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】：双曲线两焦点之间的距离为4，

∴2c=4，解得c=2；∴c2=a2+1=4，∴a=；

∴双曲线的渐近线方程是y=±x，

即y=±x．故选：A．

2.（2018•信阳二模）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，），则双曲线的离心率为（　　）

A． B．2 C．或2 D．或2

【答案】A

3. （2018•日照二模）若抛物线y2=2px，（p＞0）上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（　　）

A．y2=4x B．y2=6x C．y2=8x D．y2=10x

【答案】C

【解析】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，

∴，解得p=4，

∴抛物线的标准方程为y2=8x．

故选：C．

4. （2018•天津一模）已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（　　）

A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x

【答案】C

5. （2018•泸州模拟）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B，若，则=（　　）

A．3 B．4 C．6 D．7

【答案】B

【解析】：抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，

设A（﹣1，a），B（m，n），则

∵，∴=，∴m=

∴n=±

∵=，∴a=±2

∵y2=4x的焦点为F（1，0）

∴==4

故选：B．

6. （2018•深圳二模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E、F分别为边CD、AD的中点，M为AE和BF的交点，则以A、B为长轴端点，且经过M的椭圆的标准方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

设椭圆方程：（0＜b＜2），将M代入椭圆方程，解得：b=1，

∴椭圆的标准方程：，

故选：D．

7. （2018•西安二模）已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（　　）

A． B． C．+1 D．﹣1

【答案】C

【解析】：过P作准线的垂线，垂足为N，

则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，

∵|PA|=m|PB|，

∴|PA|=m|PN|

∴=设PA的倾斜角为α，则sinα=，

当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，

设直线PM的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），

即x2﹣4kx+4=0，

∴△=16k2﹣16=0，

∴k=±1， 学  ]

∴P（2，1）， 学   ]

∴双曲线的实轴长为丨PA丨﹣丨PB丨=2（﹣1）   

∴双曲线的离心率为=+1．

故选：C．

8.（2018•柳州一模）设P为椭圆C：（a＞b＞0）上的动点，F1、F2为椭圆C的焦点，I为△PF1F2的内心，则直线IF1和直线IF2的斜率之积（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】：如图，连接PI并延长交x轴于G，

由角平分线定理可得：=，=，  + +k ]

∴===e，

设P（x0，y0），I（xI，yI），G（xG，0），由题意可知：，则=b2，

∴=，则yI=，

∵=，即=，则xG=x0，=，得xI=x0，

∴=，=，则•==•=，

故选：A．

9. （2018•郑州一模）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】：方法一：依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），

∴直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），

则bx=ay﹣ab，x=y﹣a，

∵PF1⊥PF2，则•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（）2+y2﹣c2，

由e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），

∴e2=．

椭圆的离心率的平方，

故选B．

方法二：由直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，

由题意可知：直线AB与圆O：x2+y2=c2相切，

可得d==c，两边平方，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，e4﹣3e2+1=0，

∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．

椭圆的离心率的平方，

故选B．

10. （2018•西宁二模）抛物线y2=4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（　　）

A．10 B．11 C．12 D．6+

【答案】B

11. （2018•乌鲁木齐二模）已知点P是双曲线的渐近线上的动点，过点P作圆（x﹣5）2+y2=5的两条切线，则两条切线夹角的最大值为（　　） 学      

A．90° B．60° C．45° D．30°

【答案】B

12. （2018•榆林二模）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（　　）

A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（1，）∪（，+∞）

【答案】D

【解析】：设双曲线的左焦点F1（﹣c，0），

令x=﹣c，可得y=±=±，   ]

可得A（﹣c，），B（﹣c，﹣），

又设D（0，b），可得=（c，b﹣），

=（0，﹣），=（﹣c，﹣b﹣），

由△ABD为钝角三角形，可能∠DAB为钝角，可得•＜0，

即为0﹣•（b﹣）＜0，

化为a＞b，即有a2＞b2=c2﹣a2，

可得c2＜2a2，即e=＜，

又e＞1，可得1＜e＜，

可能△ADB中，∠ADB为钝角，可得•＜0，

即为c2﹣（+b）（﹣b）＜0，

化为c4﹣4a2c2+2a4＞0，

由e=，可得e4﹣4e2+2＞0，

又e＞1，可得e＞．

综上可得，e的范围为（1，）∪（．+∞）．

故选：D．

二、填空题

13. （2018•钦州三模）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为　　．

【答案】

∴双曲线的一条渐近线方程为y=x，即x﹣4y=0

∴双曲线的焦点到其渐近线的距离为=，

故答案为：

14. （2018•漳州模拟）已知F是双曲线（a＞0，b＞0）的、右焦点，A是双曲线上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，=||2，直线OA的方程y=，则双曲线的离心率为　　．

【答案】 学   ]

15. （2018•唐山二模）椭圆右焦点为F，存在直线y=t与椭圆C交于A，B两点，使得△ABF为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率e=　　．

【答案】﹣1

【解析】：要使△ABF为等腰直角三角形，则B（c，2c）．

，又a2=b2+c2，∴b2=2ac，

⇒c2+2ac﹣a2=0，⇒e2+2e﹣1=0，且0＜e＜1，

∴e=﹣1．

16. （2018•汉中二模）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线C上的两个动点，若x1+x2+2=2|MN|，则∠MFN的最大值为　　．

【答案】