2019届二轮复习满分示范课——立体几何学案（全国通用）
展开满分示范课——立体几何
【典例】 (满分12分)(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积．
[规范解答](1)在平面ABCD中，
因为∠BAD＝∠ABC＝90°.
所以BC∥AD，1分
又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD.
所以直线BC∥平面PAD.3分
(2)解：如图，取AD的中点M，连接PM，CM，
由AB＝BC＝AD及BC∥AD，
∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，7分
因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.8分
设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x，
如图，取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，
所以PN＝x.
因为△PCD的面积为2，
所以×x×x＝2，
解得x＝－2(舍去)或x＝2.10分
于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.
所以四棱锥PABCD的体积V＝××2＝4.12分
高考状元满分心得
1．写全得分步骤：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写．如第(1)问中的BC∥AD，第(2)问中CM⊥AD，PM⊥CM，PN＝x等．
2．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，在第(2)问的求解过程中，证明CM⊥AD时，利用第(1)问证明的结果BC∥AD.
3．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在解立体几何类解答题时，一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD两个条件，否则不能得全分，在第(2)问中，证明PM⊥平面ABCD时，一定写全三个条件，如平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM⊥AD一定要有，否则要扣分，再如第(2)问中，一定要分别求出BC，AD及PM，再计算几何体的体积．
[解题程序] 第一步：根据平面几何性质，证BC∥AD.
第二步：由线面平行判定定理，证线BC∥平面PAD.学
第三步：判定四边形ABCM为正方形，得CM⊥AD.
第四步：证明直线PM⊥底面ABCD.
第五步：利用面积求边BC，并计算相关量．
第六步：计算四棱锥PABCD的体积．
[跟踪训练]
1.(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．
(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且OP＝2.
连接OB.因为AB＝BC＝AC，
所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2，知OP⊥OB.
又OP⊥AC，且OB∩AC＝O，
所以PO⊥平面ABC.
(2)解：如图，作CH⊥OM，垂足为H.
又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，
∠ACB＝45°. 学 ]
所以OM＝，CH＝＝. 学 ]
所以点C到平面POM的距离为.
2.(2018·潍坊模拟)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1＝4，AB＝BC＝2，AC＝2，点M是棱AA1上不同于A，A1的动点．
(1)证明：BC⊥B1M；
(2)若∠CMB1＝90°，判断点M的位置并求出此时平面MB1C把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比．
(1)证明：在△ABC中，因为AB2＋BC2＝8＝AC2，
所以∠ABC＝90°，所以BC⊥AB，
又因为BC⊥BB1，BB1∩AB＝B，
所以BC⊥平面ABB1A1又B1M⊂平面ABB1A1，
所以BC⊥B1M.
(2)解：当∠CMB1＝90°时，设AM＝t(0＜t＜4)，
所以A1M＝4－t，
则在Rt△MAC中，CM2＝t2＋8，
同理得B1M2＝(4－t)2＋4，B1C2＝16＋4＝20，
据B1C2＝MB＋MC2，所以t2＋8＋(4－t)2＋4＝20，
整理得，t2－4t＋4＝0，所以t＝2，
故M为AA1的中点．
此时平面MB1C把此棱柱分成两个几何体为：四棱锥CABB1M和四棱锥B1A1MCC1.
由(1)知四棱锥CABB1M的高为BC＝2， 学 ] | |k ]
S梯形ABB1M＝×2＝6，
所以V锥CABB1M＝×6×2＝4，
又V柱＝×2×2×4＝8，
所以V锥B1A1MCC1＝8－4＝4，
故两部分几何体的体积之比为1∶1.
