2019届二轮复习满分示范课——解析几何学案（全国通用）

满分示范课——解析几何

(对应学生用书P52)

【典例】　(满分12分)(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝ .

(1)求点P的轨迹方程；

(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.学    ] 学  ]

[规范解答](1)设P(x，y)，M(x0，y0)，

则N(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，1分

由＝ 得x0＝x，y0＝y，3分

因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1，

因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.5分

(2)由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)，   ]

则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，   

·＝3＋3m－tn，7分

＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)，

由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，9分

又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.

所以·＝0，即⊥，11分

又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.12分

高考状元满分心得

1．写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，设P(x，y)，M(x0，y0)，N(x0，0)，就得分，第(2)问中求出－3m－m2＋tn－n2＝1就得分．

2．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出x0＝x，y0＝y，没有则不得分；第(2)问一定要写出·＝0，即⊥，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分．

[解题程序]　第一步：设出点的坐标，表示向量，；

第二步：由＝ ，确定点P，N坐标等量关系；

第三步：求点P的轨迹方程x2＋y2＝2；

第四步：由条件确定点P，Q坐标间的关系；

第五步：由·＝0，证明OQ⊥PF；

第六步：利用过定点作垂线的唯一性得出结论．

 [跟踪训练]

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，

因为A在椭圆C上，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝2，则a＝，b2＝a2－c2＝1.

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)不存在满足条件的直线，理由如下：

设直线的方程为y＝2x＋t，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，

由消去x得9y2－2ty＋t2－8＝0，

所以y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)＞0， 学    ]

故y0＝＝，且－3＜t＜3.

由＝得＝(x1－x2，y4－y2)，

所以有y1－＝y4－y2，y4＝y1＋y2－＝t－.

又－3＜t＜3，所以－＜y4＜－1，

与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾．

因此不存在满足条件的直线．