2019届二轮复习利用空间向量求空间角学案（全国通用）
展开利用空间向量求空间角
一、高考考纲要求：
能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用．
二、命题趋势：
在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多.
三、教目标
知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；
过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展生的空间想象能力和几何直观能力；
情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力.
四、教重难点
重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角；
难点：将立体几何问题转化为向量问题.
五、教过程
（一）空间角公式
1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线，的方向向量分别为,,异面直线，所成的角为，则.
2、线面角公式：设直线为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成的角，则.
3、面面角公式：设，分别为平面、的法向量，二面角为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中.
（二）典例分析
如图，已知：在直角梯形中，，，面，且.求：
（1）异面直线和所成的角的余弦值；
（2）与面所成角的正弦值；
（3）二面角的余弦值.
解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，于是我们有，，，，
（1），
所以异面直线和所成的角的余弦值为.
（2）设平面的法向量，
则，即
取，则，，所以，
.
（3）由（2）知平面的法向量，
又平面，是平面的法向量，
令，则有.
∴二面角的余弦值为.
（三）巩固练习
1、在长方体中，，，点、分别，的中点，求：
（1）异面直线和所成的角的余弦值；（2）与平面所成角的正弦值；
（3）平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
解析：以为原点，分别以射线，，，为轴、轴、轴的非负半轴建立空间直角坐标系，由于，，所以，，，，，，，，则，，，，.
（1），
∴异面直线和所成的角余弦值为；
（2）设平面的法向量，则有
则，即
令，则，，所以，
又设与平面所成的角为，
则.
（3）由（2）知平面的法向量，
又平面，是平面的法向量，
令，则.
故所成的锐二面角的余弦值为.
2、如图所示，四棱锥，为边长为的正三角形，，，垂直于平面于，为的中点，，求：
（1）异面直线与所成角的余弦值；
（2）平面与平面所成二面角的余弦值.
解：（Ⅰ）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A−xy ，
因为AD=1，CD=，AC=2，
所以AD⊥CD，∠DAC=，
∴ADBC．
，，，，
，， 则，，
∴，
∴异面直线AB与PC所成角的余弦值为．
（Ⅱ）设平面PAB法向量为=(x1，y1， 1)，
可得
令，则，
又，
设平面PCD法向量为，
可得
令，则=，则
．
∴平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为．
（四）课堂小结
1．用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应线段的向量．
2．合理建立空间直角坐标系
(1)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点．
(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系．
[易错防范
1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．
2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．
（五）课后作业
三维设计——课时跟踪检测（四十八）
