2019届二轮复习模板 数列问题学案（全国通用）
展开模板3 数列问题
(满分15分)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和. | ||
满分解答 | 得分说明 | 解题模板 |
解 (1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝， ∴a1＝2， (3分) 所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列， (6分) 因此{an}的通项公式an＝2＋3(n－1)＝3n－1. (7分) | ①牢记等差、等比数列的定义：在判断数列为等差或等比数列时，应根据定义进行判断，所以熟练掌握定义是解决问题的关键，如本题第(2)问，要根据定义判断＝. ②注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求得bn＋1与bn的关系. |
第一步：将n＝1代入关系式anbn＋1＋bn＋1＝nbn，求出a1的值； 第二步：利用等差数列的通项公式求出an；
第三步：将第(1)问中求得的an代入关系式anbn＋1＋bn＋1＝nbn，求得bn＋1与bn的关系； 第四步：判断数列{bn}为等比数列； 第五步：代入等比数列的前n项和公式求Sn. 第六步：反思检验，规范解题步骤. |
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn， 得bn＋1＝＝≠0，则＝， (11分) 因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列， (12分) 设数列{bn}的前n项和为Sn，则 Sn＝＝－. (15分) | ③写全得分关键：写清解题过程的关键点，有则给分，无则没有分，同时解题过程中计算准确，是得分的根本保证．如本题第(1)问要写出a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，才能得出a1，并指出数列{an}的性质，否则不能得全分．第(2)问中一定要写出求bn＋1＝的步骤并要指明{bn}的性质；求Sn时，必须代入求和公式而不能直接写出结果，否则要扣分. | |
【训练3】 (2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.
(1)求通项公式an；
(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．
解 (1)由题意得则
又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，同时a2＝3a1，
∴数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.
(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1.
当n≥3时，由于3n－1>n＋2，
故bn＝3n－1－n－2，n≥3.
设数列{bn}的前n项和为Tn，
则T1＝2，T2＝3，
当n≥3时，Tn＝3＋－＝，此时T2符合，T1不符合，
∴Tn＝
