2019届二轮复习两条直线的位置关系学案（全国通用）

2019年高考数学讲练测【新课标版 】【讲】

【考纲解读】

【知识清单】

1.两条直线平行与垂直

1．两直线的平行关系

(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有.

 (2)对于两条直线，有

.

2．两条直线的垂直关系

(1) 对于两条直线，其斜率为，有.

(2)对于两条直线，有.

2.距离问题

1．两点间的距离公式

设两点，则.

2．点到直线的距离公式

设点，直线，则点到直线的距离

.

3．两平行线间的距离公式

设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离

.

3.两条直线的交点

1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.

2.两条直线，联立方程组，

若方程组有无数组解，则重合．

4.对称问题

1.中点坐标公式

2．两条直线的垂直关系

(1) 对于两条直线，其斜率为，有.

(2)对于两条直线，有.

【重点难点突破】

考点1  两条直线平行与垂直

【1-1】【2018届四川省南充高级中学9月检测】已知直线.若，则实数的值是（   ）

A. 或    B. 或    C.     D.

【答案】A

【解析】，则 即 经检验都符合题意

故选A.

【1-2】【2018届北京市丰台区第12中学高三上期中】“”是“直线与直线垂直”的（    ）．

A． 充分必要条件    B． 充分而不必要条件

C． 必要而不充分条件    D． 既不充分也不必要条件

【答案】D

【领悟技法】

1.解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，不要忘记斜率不存在时的讨论．

2.可将方程化成斜截式，利用斜率和截距进行分析；也可直接利用一般式套用两直线垂直与平行的条件求解．一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即的系数是否为0）.

【触类旁通】

【变式一】【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟】已知直线： ，直线： ，若，则（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

 【变式二】【北京市一零一中学2018届3月模拟】已知直线l1：x+ay-1=0，l2：（a+1）x-ay=0，若p：l1∥l2；q：a=-2，则p是q的（    ）

A． 充要条件    B．充分不必要条件

C． 必要不充分条件    D． 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】因为等价于，解得或是的必要不充分条件，故选C.

【综合点评】

给定两条直线的方程，可以判断两条直线是否平行、相交或垂直.若是告诉我们两条直线平行或是垂直，则可得两直线的斜率间的关系．

考点2 距离问题

【2-1】【四川省成都市第七中学2018届高三上模拟】当点到直线的距离最大时， 的值为（    ）

A．     B． 0    C．     D． 1

【答案】C

【解析】直线过定点Q(2,1),所以点到直线的距离最大时PQ垂直直线,即 ,选C.

【2-2】已知直线与直线平行，则它们之间的距离是        ．

【答案】2

【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.

【领悟技法】

1.求点到直线的距离，一般先把直线方程化为一般式．

2.求两条平行线间的距离有两种思路：

（1）利用“化归”法将两条平行线的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

（2）直接应用两平行直线之间的距离公式.

【触类旁通】

【变式一】【上海市金山中学2018届高三上期中】若直线与直线之间的距离是，则         .

【答案】0

【变式二】【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】点到直线的距离是          ．

【答案】

【解析】点到直线的距离是

【综合点评】

涉及距离公式问题，主要有两类，一是给定点和直线，则可求相关的距离；二是已知某距离，利用距离公式确定相关的量.

考点3  两条直线的交点

【3-1】经过两条直线和=0的交点，且斜率为的直线方程是（　　）

A．2x+y﹣7=0        B．2x﹣y﹣7=0

C．2x+y+7=0         D．2x﹣y+7=0

【3-2】等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A(0,4)，则点B的坐标可能是(　　)

A． (2,0)或(4,6)    B． (2,0)或(6,4)

C． (4,6)    D． (0,2)

【答案】A

【解析】设，则，得，所以，

又，得，

解得，或，所以点的坐标为或，故选A.

【领悟技法】

涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征.

【触类旁通】

【变式一】【陕西省黄陵中学2018届高三（重点班）上期中】直线l经过点(0,-1),且通过第二、三、四象限，并与坐标轴围成三角形面积为2的直线方程为(    )

A． x+y+4=0    B． x+4y+4=0    C． 4x+y+16=0    D． x+y-4=0

【答案】B

【变式二】已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在第一象限及轴上.

【答案】见解析

【解析】(1) 设的交点为，代入两直线的方程得：.∴选B．

(2)因为两直线交于一点，所以. 解方程组得即交点为.

若，则.当时，，此时交点在第二象限内.又因为为任意实数时，都有，故，所以，交点不可能在轴上.

【综合点评】

涉及两直线的交点问题，即解方程组问题；注意利用数形结合思想，将直线的交点问题与方程组求解问题灵活的加以转化.

考点4  对称问题

【4-1】【宁夏银川一中2018届高三第五次月考】点P（2,5）关于x+y+1=0的对称点的坐标为（   ）

A． (6,3)    B． (3,-6)    C． (-6,-3)    D． (-6,3)

【答案】C

【解析】设关于的对称点为，则，解得，即关于的对称点坐标为；故选C.

【4-2】已知直线若直线与关于对称,则的方程是 (  )

【4-3】直线关于点对称的直线方程为        .

【答案】

【解析】设对称直线为，则有，解这个方程得或.结合图形可看出时两直线都在点的同侧，故舍去.所以对称直线的方程中．

【领悟技法】

涉及对称问题，主要有以下几种情况：

1．若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组，解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标.

2．若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线的距离的二倍，则有，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程．

3．若直线关于直线对称，则在直线上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程．

【触类旁通】

【变式一】在△ABC中，已知A（2，3），角B的外角平分线为Y轴，角C的平分线为：x+y=4,求BC边所在的直线方程.

【答案】

【变式二】光线从发出射到直线：x+y=4上的E点，经反射到y轴上F点，再经y轴反射又回到Q点，求直线EF的方程.

【答案】

【解析】

设Q关于y轴的对称点为，则的坐标为.

设Q关于的对称点为，则中点为G，G在l上.

，       ①

又   ②

由①②得       

由物理学知识可知，、在直线EF上，.

直线EF方程为:，即.

【综合点评】

对称问题实际上是两直线位置关系的应用，主要是应用转化与化归思想、数形结合思想分析求解.

【易错试题常警惕】

易错典例：已知△ABC的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，又知∠C的平分线所在的直线方程为2x－3y＋6＝0，求三角形各边所在直线的方程．

易错分析：(1)不能结合图形，分析直线的位置关系；（2）计算能力差，解方程组有误．

温馨提醒：在两直线位置关系问题研究中，涉及两直线的交点问题，即解方程组问题；涉及两直线的垂直、平行的判定，一般将直线化成斜截式方程再进行判定.注意点：一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即的系数是否为0）；数形结合思想，是解析几何分析问题、解决问题的重要特征，要注意将几何问题与代数问题灵活地加以转化.

【学 素养提升之思想方法篇】

数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想

数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.

在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：

【典例】已知一组动直线方程为.

(1) 求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标;

(2) 若直线与轴正半轴，轴正半分别交于点两点，求面积的最小值.

【答案】定点为（4,1）, 最小值为8.

【解析】

（1）直线方程，整理可得：恒成立，由此，解得，由此直线恒过定点（4,1）.