2019届二轮复习第三讲不等式学案（全国通用）

第三讲　不等式、线性规划


考点一　不等式的解法
求解不等式的方法
(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．
(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．
[对点训练]
1．(2018·湖南衡阳一模)若a，b，c为实数，且a A．ac2 C．> D．a2>ab>b2
[解析]　∵c为实数，∴取c＝0，得ac2＝0，bc2＝0，此时ac2＝bc2，故选项A不正确；－＝，∵a0，ab>0，∴>0，即>，故选项B不正确；∵a0，∴a2>ab，又∵ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，故选项D正确，故选D．
[答案]　D
2．(2018·福建六校联考)已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2) D．(－2,1)
[解析]　易知f(x)在R上是增函数，∵f(2－x2)>f(x)，∴2－x2>x，解得－2 [答案]　D
3．(2018·贵阳一模)关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　)
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．(1,3)
C．(－1,3)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
[解析]　关于x的不等式ax－b<0即ax ∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为
(x＋1)(x－3)<0，解得－1 ∴所求不等式的解集是(－1,3)．故选C．
[答案]　C
4．(2018·山西太原一模)当x>1时不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，3] B．[3，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
[解析]　∵x>1，∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立，所以最小值为3，∴a≤3，即实数a的取值范围是(－∞，3]．故选A．
[答案]　A
[快速审题]　(1)看到有关不等式的命题或结论的判定，想到不等式的性质．
(2)看到解不等式，想到求解不等式的方法步骤．



(1)求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．
(2)解一元二次不等式恒成立问题的3种方法：①图象法；②分离参数法；③更换主元法．
考点二　基本不等式的应用
1．基本不等式：≥
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
[对点训练]
1．下列结论中正确的是(　　)
A．lgx＋的最小值为2
B．＋的最小值为2
C．的最小值为4
D．当0 [解析]　对于A，lgx可能小于0；对于B，要使函数y＝＋有意义，则x>0，＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝1时取等号；对于C，当且仅当sin2x＝，即sinx＝2时取等号，但sinx的最大值为1；对于D，x－在(0,2]上为增函数，因此有最大值．故选B．
[答案]　B
2．(2018·吉林长春二模)已知x>0，y>0，且x＋y＝2xy，则x＋4y的最小值为(　　)
A．4 B．
C． D．5
[解析]　由x＋y＝2xy得＋＝2.由x>0，y>0，x＋4y＝(x＋4y)＝≥(5＋4)＝，当且仅当＝时等号成立，即x＋4y的最小值为.故选C．
[答案]　C
3．(2018·海淀期末)已知正实数a，b满足a＋b＝4，则＋的最小值为________．
[解析]　∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，∴＋＝[(a＋1)＋(b＋3)]＝≥(2＋2)＝，当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，∴＋的最小值为.
[答案]　
4．(2018·河南洛阳一模)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．
[解析]　依题意知a>0，b>0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立．因为＋＝，所以≥，即ab≥2，所以ab的最小值为2.
[答案]　2
[快速审题]　看到最值问题，想到“积定和最小”，“和定积最大”．



　利用基本不等式求函数最值的3个关注点
(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．
(2)条件：利用基本不等式求最值需满足“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
(3)方法：使用基本不等式时，一般通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式化为ax＋(ab>0)的形式，常用的方法是变量分离法和配凑法．
考点三　线性规划问题
1．线性目标函数z＝ax＋by最值的确定方法
把线性目标函数z＝ax＋by化为y＝－x＋，可知是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．
2．常见的目标函数类型
(1)截距型：形如z＝ax＋by，可以转化为y＝－x＋，利用直线在y轴上的截距大小确定目标函数的最值；
(2)斜率型：形如z＝，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率；
(3)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方；形如z＝|Ax＋By＋C|，表示区域内的动点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍．
[对点训练]
1．(2018·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为(　　)
A．6 B．19
C．21 D．45

[解析]　由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．
作出初始直线l0：3x＋5y＝0，平移直线l0，当直线经过点A(2,3)时，z取最大值，即zmax＝3×2＋5×3＝21，故选C．
[答案]　C
2．(2018·广东肇庆二模)已知实数x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为3，则实数b＝(　　)
A． B．
C．1 D．

[解析]　作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．
由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，
平移初始直线y＝－2x，
由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的纵截距最小，此时z最小，为3，
即2x＋y＝3.
由解得即A，
又点A也在直线y＝－x＋b上，即＝－＋b，∴b＝.故选A．
[答案]　A
3．(2018·江西九江二模)实数x，y满足线性约束条件若z＝的最大值为1，则z的最小值为(　　)
A．－ B．－
C． D．－

[解析]　作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝的几何意义是可行域内的点(x，y)与点A(－3,1)两点连线的斜率，当取点B(a,2a＋2)时，z取得最大值1，故＝1，解得a＝2，则C(2,0)．当取点C(2,0)时，z取得最小值，即zmin＝＝－.故选D．
[答案]　D
4．设x，y满足约束条件则z＝(x＋1)2＋y2的取值范围是________．
[解析]　

由解得即C.
(x＋1)2＋y2的几何意义是区域内的点(x，y)与定点(－1，0)间距离的平方．
由图可知，点(－1,0)到直线AB：2x＋y＋1＝0的距离最小，为＝，故zmin＝；点(－1,0)到点C的距离最大，故zmax＝2＋2＝.所以z＝(x＋1)2＋y2的取值范围是.
[答案]　
[快速审题]　(1)看到最优解求参数，想到由最值列方程(组)求解．
(2)看到最优解的个数不唯一，想到直线平行；看到形如z＝(x－a)2＋(y－b)2和形如z＝，想到其几何意义．
(3)看到最优解型的实际应用题，想到线性规划问题，想到确定实际意义．



　求目标函数的最值问题的3步骤
(1)画域，根据线性约束条件，画出可行域；
(2)转化，把所求目标函数进行转化，如截距型，即线性目标函数转化为斜截式；如斜率型，即根据两点连线的斜率公式，转化为可行域内的点与某个定点连线的斜率；平方型，即根据两点间距离公式，转化为可行域内的点与某个定点的距离；
(3)求值，结合图形，利用函数的性质，确定最优解，求得目标函数的最值．

1．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　∵x2－4x＋3<0⇔(x－1)(x－3)<0⇔1 ∴A＝{x|1 ∵2x－3>0⇔x>，∴B＝，
∴A∩B＝＝.故选D．
[答案]　D
2．(2018·北京卷)设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则(　　)
A．对任意实数a，(2,1)∈A
B．对任意实数a，(2,1)∉A
C．当且仅当a<0时，(2,1)∉A
D．当且仅当a≤时，(2,1)∉A
[解析]　若(2,1)∈A，则有解得a>.结合四个选项，只有D说法正确．故选D．
[答案]　D
3．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋b C．a＋b<0 [解析]　解法一：∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，b＝log20.3 ∵0 ∵＝＝＝log20.2，∴b－＝log20.3－log20.2＝log2<1，∴b<1＋⇒ab 解法二：易知0 ∵＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4<1，
即<1，∴a＋b>ab，
∴ab [答案]　B
4．(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
[解析]　由x，y所满足的约束条件画出对应的可行域(如图中阴影部分所示)．

作出初始直线l0：3x＋2y＝0，平移直线l0，当经过点A(2,0)时，z取最大值，即zmax＝3×2＝6.
[答案]　6
5．(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
[解析]　由已知，得2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝，当且仅当2a＝2－3b时等号成立，
由a＝－3b，a－3b＋6＝0，得a＝－3，b＝1，
故当a＝－3，b＝1时，2a＋取得最小值.
[答案]　



1.不等式作为高考命题热点内容之一，多年来命题较稳定，多以选择、填空题的形式进行考查，题目多出现在第5～9或第13～15题的位置上，难度中等，直接考查时主要是简单的线性规划问题，关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上．
2．若不等式与函数、导数、数列等其他知识交汇综合命题，难度较大．

热点课题3　求解不等式中参数范围问题


[感悟体验]
1．(2018·合肥模拟)在区间(1,2)上不等式x2＋mx＋4>0有解，则m的取值范围为(　　)
A．m>－4 B．m<－4
C．m>－5 D．m<－5
[解析]　记f(x)＝x2＋mx＋4，要使不等式x2＋mx＋4>0在区间(1,2)上有解，需满足f(1)>0或f(2)>0，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.故选C．
[答案]　C
2．(2018·海淀模拟)当0 A．[－2,0)∪(0,4] B．[－4,0)∪(0,2]
C．[－4,2] D．[－2,4]
[解析]　因为0 [答案]　D

专题跟踪训练(九)
一、选择题
1．如果a A．< B．ab C．－ab<－a2 D．－<－
[解析]　解法一(利用不等式性质求解)：由a0，ab>0，故－＝>0，即>，故A项错误；由a0，故ab>b2，故B项错误；由a0，即a2>ab，故－ab>－a2，故C项错误；由a0，故－－＝<0，即－<－成立．故D项正确．
解法二(特殊值法)：令a＝－2，b＝－1，则＝－>－1＝，ab＝2>1＝b2，－ab＝－2>－4＝－a2，－＝<1＝－.故A，B，C项错误，D正确．
[答案]　D
2．已知a∈R，不等式≥1的解集为p，且－2∉p，则a的取值范围为(　　)
A．(－3，＋∞) B．(－3,2)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)
[解析]　∵－2∉p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.
[答案]　D
3．(2018·大连一模)设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
[解析]　由题意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)＝3，即f(x)>3，
如果x<0，则x＋6>3，可得－3 如果x≥0，则x2－4x＋6>3，可得x>3或0≤x<1.
综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．
故选A．
[答案]　A
4．(2018·长春第二次质检)若关于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，－2)，则关于x的不等式>0的解集为(　　)
A．(－2,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2)
C．(－∞，－2)∪(0,1) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
[解析]　关于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，－2)，∴a<0，＝－2，∴b＝－2a，∴＝.∵a<0，∴<0，解得x<0或1 [答案]　B
5．(2018·河南平顶山一模)若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．a≥ B．a>
C．a< D．a≤
[解析]　因为对任意x>0，≤a恒成立，
所以对x∈(0，＋∞)，a≥max，
而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，
当且仅当x＝时等号成立，∴a≥.
[答案]　A
6．(2018·江西师大附中摸底)若关于x，y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为(　　)
A．或 B．或
C．1或 D．1或
[解析]　由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，得k＝0或1，当k＝0时，表示区域的面积为；当k＝1时，表示区域的面积为，故选A．
[答案]　A
7．(2018·昆明质检)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为(　　)
A．－4 B．6
C．10 D．17
[解析]　解法一(图解法)：已知约束条件所表示的平面区域为下图中的阴影部分(包含边界)，其中A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线y＝－x＋过点B(3,0)时，z取得最小值2×3＋5×0＝6.

解法二(界点定值法)：由题意知，约束条件所表示的平面区域的顶点分别为A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．将A，B，C三点的坐标分别代入z＝2x＋5y，得z＝10,6,17，故z的最小值为6.
[答案]　B
8．(2018·合肥一模)在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是(　　)
A．(－3,5) B．(－2,4)
C．[－3,5] D．[－2,4]
[解析]　关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为1 [答案]　D
9．若实数x，y满足则z＝的取值范围是(　　)
A． B．
C．[2,4] D．(2,4]

[解析]　作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(不包括边界OB)所示，其中A(1,2)，B(0,2)．
z＝＝＝，则z的几何意义是可行域内的点P(x，y)与点M所连直线的斜率．
可知kMA＝＝，kMB＝＝4，结合图形可得≤z<4.
故z＝的取值范围是.
[答案]　B
10．(2018·四川资阳诊断)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为(　　)
A．5＋2 B．8
C．5 D．9
[解析]　解法一：∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，∴a＝>0，解得b>2.
则a＋2b＝＋2b＝1＋＋2(b－2)＋4≥5＋2＝9，当且仅当b＝3，a＝3时等号成立，其最小值为9.
解法二：∵a>0，b>0，∴ab>0.
∵2a＋b＝ab，∴＋＝1，
∴(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2
＝5＋4＝9.
当且仅当＝时，等号成立，又2a＋b＝ab，即a＝3，b＝3时等号成立，其最小值为9.
[答案]　D
11．(2018·湖南湘东五校联考)已知实数x，y满足且z＝x＋y的最大值为6，则(x＋5)2＋y2的最小值为(　　)
A．5 B．3
C． D．
[解析]　如图，作出不等式组对应的平面区域，
由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直线y＝－x，由图可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，此时z最大，为6，即x＋y＝6.由得A(3,3)，
∵直线y＝k过点A，∴k＝3.
(x＋5)2＋y2的几何意义是可行域内的点(x，y)与D(－5,0)的距离的平方，由可行域可知，[(x＋5)2＋y2]min等于D(－5,0)到直线x＋2y＝0的距离的平方．
则(x＋5)2＋y2的最小值为2＝5.故选A．

[答案]　A
12．(2018·广东清远一中一模)若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为(　　)
A．16 B．9
C．6 D．1
[解析]　∵正数a，b满足＋＝1，∴a＋b＝ab，＝1－>0，＝1－>0，∴b>1，a>1，则＋≥2＝2＝6，∴＋的最小值为6，故选C．
[答案]　C
二、填空题
13．已知集合，则M∩N＝________.
[解析]　不等式<0等价于(x－2)(x－3)<0，
解得2 故不等式<0的解集为(2,3)，即M＝(2,3)．
由log(x－2)≥1，可得解得2 所以N＝.
故M∩N＝.
[答案]　
14．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
[解析]　由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．

当直线x＋y－z＝0经过点A(5,4)时，z＝x＋y取得最大值，最大值为9.
[答案]　9
15．(2018·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为________千元．
[解析]　设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，则z＝2x＋y，作出表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线z＝2x＋y经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150,60)(满足x∈N，y∈N)时，z取得最大值，为360.

[答案]　360
16．(2018·郑州高三检测)若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是________．
[解析]　对于x2＋3xy－1＝0可得y＝，∴x＋y＝＋≥2＝(当且仅当x＝时，等号成立)，故x＋y的最小值是.
[答案]