2019届二轮复习第十章第55讲　双曲线、抛物线学案（全国通用）

第55讲　双曲线、抛物线
考试要求　1.双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)(A级要求)；2.抛物线的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质(A级要求).

诊 断 自 测
1.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是 .
解析　由已知，a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2.
答案　2
2.(2016·四川卷改编)抛物线y2＝4x的焦点坐标是 .
解析　∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为，
∴y2＝4x，则为(1，0).
答案　(1，0)
3.(2018·无锡一模)已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么双曲线的离心率为 .
解析　根据题意，设双曲线的方程为－＝1，则＝，所以＝＝，即双曲线的离心率为.
答案　
4.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，AB＝4，则C的实轴长为 .
解析　由题设C：－＝1.
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4，得A(－4，)，B(－4，－)，
∴AB＝2＝4，
∴a＝2，∴2a＝4.
∴C的实轴长为4.
答案　4
5.已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 .
解析　设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].
答案　[－1，1]
知 识 梳 理
1.双曲线定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P＝{M MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a (2)当2a＝F1F2时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>F1F2时，P点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
3.抛物线的概念
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
4.抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




O(0，0)
对称
轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下

考点一　双曲线、抛物线的定义及标准方程
【例1－1】 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .
解析　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.

根据两圆外切的条件，
得MC1－AC1＝MA，
MC2－BC2＝MB，
因为MA＝MB，
所以MC1－AC1＝MC2－BC2，
即MC2－MC1＝BC2－AC1＝2，
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于C1C2＝6.
又根据双曲线的定义得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
答案　x2－＝1(x≤－1).
【例1－2】 根据下列条件求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；
(3)经过两点P(－3，2)和Q(－6，－7).
解　(1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a>0，b>0).
由题意知2b＝12，e＝＝.
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)∵双曲线经过点M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
规律方法　(1)利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与PF1·PF2的联系.
(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.
(4)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
【训练1】 (1)(2016·浙江卷)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是 .
(2)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则PA＋PF取最小值时点P的坐标为 .
解析　(1)抛物线y2＝4x的焦点F(1，0).准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.
(2)将x＝3代入抛物线方程
y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部，如图.

设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知PA＋PF＝PA＋d，当PA⊥l时，PA＋d最小，最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2，2).
答案　(1)9　(2)(2，2)
考点二　双曲线、抛物线的几何性质
【例2】 (1)(2017·盐城三模)若圆x2＋y2＝r2过双曲线－＝1的右焦点F，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A，B，当四边形OAFB为菱形时，双曲线的离心率为 .
(2)(2016·全国Ⅰ卷改编)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知AB＝4，DE＝2，则C的焦点到准线的距离为 .
解析　(1)若四边形OAFB为菱形，且点A在圆x2＋y2＝r2上，则点A坐标为，此时r＝c.又点A在渐近线上，所以c＝·，即＝，所以e＝ ＝2.
(2)不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2(r>0)，
∵AB＝4，DE＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D，
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，解得p＝4(负值舍去)，
∴C的焦点到准线的距离为4.
答案　(1)2　(2)4
规律方法　双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
【训练2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷改编)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为 .
(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若AF＋BF＝4OF，则该双曲线的渐近线方程为 .
解析　(1)离心率e＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线的定义：
AF＝y1＋，BF＝y2＋，OF＝，
所以AF＋BF＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4OF＝2p，
可得y1＋y2＝p，
联立方程⇒－＝1⇒－＋1＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝－＝×b2＝p，
∴p＝p⇒＝⇒＝.
∴双曲线渐近线方程为y＝±x.
答案　(1)　(2)y＝±x
考点三　直线与抛物线的位置关系
【例3】 (2018·苏北四市联考)已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且AF＝3.

(1)求抛物线E的方程；
(2)(一题多解)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.
法一　(1)解　由抛物线的定义得AF＝2＋.
因为AF＝3，即2＋＝3，解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明　因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，

所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2).
由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1).
由得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，从而B.
又G(－1，0)，
所以kGA＝＝，kGB＝＝－.
所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.
法二　(1)同法一.
(2)证明　设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.

因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2).
由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1).
由
得2x2－5x＋2＝0.
解得x＝2或x＝，
从而B.
又G(－1，0)，
故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0.
从而r＝＝.
又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0.
所以点F到直线GB的距离
d＝＝＝r.
这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.
规律方法　(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
【训练3】 (2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0).

(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；
②求p的取值范围.
(1)解　∵l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2，0).
即抛物线的焦点为(2，0)，∴＝2，∴p＝4.
∴抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)①证明　设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).
则则
∴kPQ＝＝，
又∵P，Q关于l对称.∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p，
∴＝－p，又∵PQ的中点一定在l上，
∴＝＋2＝2－p.
∴线段PQ的中点坐标为(2－p，－p).
②解　∵PQ的中点为(2－p，－p)，
∴
即∴
即关于y的方程y2＋2py＋4p2－4p＝0，有两个不等实根.∴Δ＞0.
即(2p)2－4(4p2－4p)＞0，解得0＜p＜，
故所求p的范围为.

一、必做题
1.(2016·全国Ⅰ卷改编)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 .
解析　∵方程－＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得
－m2 答案　(－1，3)
2.(2018·盐城模拟)已知双曲线－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A，B两点，若AB＝5，则△ABF1的周长为 .
解析　由双曲线－＝1，知a＝4.
由双曲线定义AF1－AF2＝BF1－BF2＝2a＝8，
∴AF1＋BF1＝AF2＋BF2＋16＝21，
∴△ABF1的周长为AF1＋BF1＋AB＝21＋5＝26.
答案　26
3.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3，2)，则PB＋PF的最小值为 .
解析　如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，

则P1Q＝P1F.则有PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4.
即PB＋PF的最小值为4.
答案　4
4.已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 .
解析　由题意易知点F的坐标为(－c，0)，A，
B，E(a，0)，
∵△ABE是锐角三角形，∴·>0，
即·＝·>0，
整理得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0，
∴e(e＋1)2(e－2)<0，
解得e∈(0，2)，又e>1，∴e∈(1，2).
答案　(1，2)
5.(2016·浙江卷)设双曲线x2－＝1的左、焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则PF1＋PF2的取值范围是 .
解析　如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而F1F2＝4，由对称性不妨设P在右支上，

设PF2＝m，
则PF1＝m＋2a＝m＋2，
由于△PF1F2为锐角三角形，
结合实际意义需满足解得－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，
∴2＜2m＋2＜8.
答案　(2，8)
6.(2017·全国Ⅱ卷改编)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为 .
解析　取渐近线y＝x，化成一般式bx－ay＝0，圆心(2，0)到直线的距离为＝，又由c2＝a2＋b2得c2＝4a2，e2＝4，e＝2.
答案　2
7.(2015·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6).当△APF周长最小时，该三角形的面积为 .
解析　设左焦点为F1，PF－PF1＝2a＝2，
∴PF＝2＋PF1，△APF的周长为AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，△APF周长最小即为AP＋PF1最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1.与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2，2)，此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12.
答案　12
8.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则此双曲线的离心率e的最大值为 .
解析　由定义知PF1－PF2＝2a.
又PF1＝4PF2，∴PF1＝a，PF2＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝－e2.
要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝，
即e的最大值为.
答案　
9.(2018·南京师大附中模拟)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点在双曲线的顶点上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过M(－1，0)的直线l与抛物线C交于E，F两点，又过E，F作抛物线C的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程.
解　(1)双曲线的离心率e＝＝，
又a>0，∴a＝1，双曲线的顶点为(0，1)，
又p>0，
∴抛物线的焦点为(0，1)，
∴抛物线方程为x2＝4y.
(2)由已知可知，直线l的斜率存在且不为零，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，
∵y＝x2，∴y′＝x，
∴切线l1，l2的斜率分别为，，
当l1⊥l2时，·＝－1，∴x1x2＝－4，
由得x2－4kx－4k＝0，
∴Δ＝(－4k)2－4(－4k)>0，
∴k<－1或k>0.①
解x2－4kx－4k＝0得x1，2＝2k±2.
x1·x2＝－4k＝－4，∴k＝1，满足①，
即直线的方程为x－y＋1＝0.
10.(2018·南通、扬州、泰州三市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F.
(1)求抛物线的方程；
(2)若A为抛物线上一点(异于原点O)，点A处的切线交x轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论.
解　(1)由题意得点P到准线的距离等于PO，
由抛物线的定义得点P到准线的距离为PF，
所以PO＝PF，即点P在线段OF的中垂线上，
所以＝，p＝3，
所以抛物线的方程为y2＝6x.
(2)四边形AEBF为菱形，理由如下：

由抛物线的对称性，设点A在x轴的上方，所以点A处切线的斜率为，
所以点A处切线的方程为y－y0＝，
令上式中y＝0，得x＝－y，
所以B点坐标为，
又E，F，
所以＝，＝，
所以＝，所以FA∥BE，
又AE∥FB，故四边形AEBF为平行四边形，
再由抛物线的定义，得AF＝AE，所以四边形AEBF为菱形.
二、选做题
11.已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得(＋2)·＝0(其中O为坐标原点)，且||＝|2|，则双曲线的离心率为 .
解析　∵＝－2，
∴(＋)·＝(＋2)·(－2)＝0，
即2－＝0，∴|2|＝||＝c，
在△MF1F2中，边F1F2上的中线等于F1F2的一半，可得1⊥2.
∵||＝||，
∴可设|2|＝λ(λ>0)，|1|＝λ，
得(λ)2＋λ2＝4c2，解得λ＝c，
∴|1|＝c，|2|＝c，
∴根据双曲线定义得2a＝|1|－|2|＝(－1)c，
∴双曲线的离心率e＝＝＋1.
答案　＋1
12.(2017·浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，
过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求PA·PQ的最大值.
解　(1)由题意得P(x，x2)，－＜x＜.
设直线AP的斜率为k，
故k＝＝x－∈(－1，1)，
故直线AP斜率的取值范围为(－1，1).
(2)由(1)知P，－＜x＜，
则直线AP的方程为：y＝kx＋k＋，
直线BQ的方程为：y＝－x＋＋，
联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ＝，
因为PA＝＝(k＋1)，
PQ＝(xQ－x)＝－，
所以PA·PQ＝－(k－1)(k＋1)3，
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，
则f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
当k∈时，f′(k)＞0；当k∈时，f′(k)＜0，
所以f(k)在区间上单调递增，在区间上单调递减.因此当k＝时，PA·PQ取得最大值.