2019届二轮复习对数与对数函数学案（全国通用）


2019届二轮复习 对数与对数函数 学案 （全国通用）
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；
2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象；
3.体会对数函数是一类重要的函数模型.
4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．

1．对数的概念
一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④logamMn＝logaM.
(2)对数的性质
①alogaN＝ N ；②logaaN＝ N (a>0且a≠1)．
(3)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
3．对数函数的图象与性质

a>1
00
当00且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．
∴3－2a>0.∴a0且a≠1，∴a∈(0,1)∪.

【感悟提升】在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．
【变式探究】(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为(　　)
A． [1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
(3)设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案　(1)D　(2)A　(3)C
解析　(1)∵b.故选C.
【变式探究】(1)设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．ca
(3)已知，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
解析　(1)根据幂函数y＝x0.5的单调性，
可得0.30.51.
（I）求函数的单调区间；
（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；
（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.
【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.
【解析】（I）由已知，，有.
令，解得x=0.
由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：
x

0



0
+


极小值

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.
由，可得曲线在点处的切线斜率为.
因为这两条切线平行，故有，即.
两边取以a为底的对数，得，所以.
（III）曲线在点处的切线l1：.
曲线在点处的切线l2：.
要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，
只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.
即只需证明当时，方程组有解，
由①得，代入②，得. ③
因此，只需证明当时，关于x1的方程③存在实数解.
设函数，
即要证明当时，函数存在零点.
，可知时，；
时，单调递减，
又，，
故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.
由此可得在上单调递增，在上单调递减.
在处取得极大值.
因为，故，
所以.
下面证明存在实数t，使得.
由（I）可得，
当时，有
，
所以存在实数t，使得
因此，当时，存在，使得.
所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.
1、[2017·北京高考]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(　　)
(参考数据：lg 3≈0.48)
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
解析　由题意，lg＝lg＝lg 3361－lg 1080
＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.
又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，
故与最接近的是1093.故选D.
答案　D
2、[2017·天津高考]已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a
答案　C
解析　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，g(x)为偶函数．
又f(x)在R上递增，当x>0时，f(x)>f(0)＝0，且f′(x)>0，
g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，∴g(x)在[0，＋∞)上递增．
a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，由对数函数y＝log2x的性质，知3＝log28>log25.1>log24＝2>20.8，∴c>a>b.故选C.
1、【2016·浙江卷】已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝ ，b＝ ．

2、(2016·全国Ⅰ卷)若a>b>0，0b
C．c>a>b D．c>b>a
【答案】C　
【解析】因为0b.
（2014·天津卷）函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)
【答案】D　
【解析】要使f(x)单调递增，需有解得x0)，g(x)＝logax的图像可能是(　　)

　 　　A　　　　　　　　　　　　B

　 　　C　　　　　　　　　　　　D
【答案】D　
【解析】只有选项D符合，此时00，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.
其中的真命题有 ．(写出所有真命题的编号)
【答案】①③④　
【解析】①中，当ab≥1时，∵b>0，∴a≥1，ln＋(ab)＝ln ab＝bln a＝bln＋a；当0b>1时，右边＝ln a－ln b，左边≥右边成立；若00，左边＝ln＝ln a－ln b>ln a，右边＝ln a，左边≥右边成立，∴③正确；
④中，若00，
b－c＝log510－log714＝(1＋log52)－(1＋log72)＝log52－log72>0，
所以a>b>c，选D.学
（2013·浙江卷）已知x，y为正实数，则(　　)
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
【答案】D　
【解析】∵lg(xy)＝lg x＋lg y，∴2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lgx2lgy，故选择D.