2019届二轮复习高考热点链接三角函数解三角形平面向量学案（全国通用）
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热点一.三角函数 的图像和性质
例1．（2018•北京）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．学 ]
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．
【分析】（I）运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式和周期公式，即可得到所求值；
（Ⅱ）求得2x﹣的范围，结合正弦函数的图象可得2m﹣≥，即可得到所求最小值．
【点评】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，解决这类问题的关键是对函数利用三角函数的恒等变换化函数为一角一函数的形式，再利用正余弦函数的性质求得。
热点二.三角函数变形与解三角形综合
例2．（2018•山东德州一模）已知函数．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若，且锐角△ABC的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，△ABC的外接圆半径是，求△ABC的面积．
【分析】（1）首先通过三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．
（2）利用正弦型函数的性质求出函数的最值，进一步利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果．
（2）由于：，
故：，所以：，
锐角△ABC的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，△ABC的外接圆半径是，所以：令b=2，c=，则利用正弦定理：
解得：sinB=，sinC=，故：cosB=，cosC=．
则：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=．
所以：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理和三角形面积公式的应用．
热点三平面向量与三角函数综合
变式训练3
（2018•咸阳模拟）已知向量=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数∴的图象经过点，b、a、c成等差数列，且•=9，求a的值．
（2）由可得：所以，又因为b，a，c成等差数列，所以2a=b+c，
而，•=bccosA==9，∴bc=18，
，∴．
高考热点训练题
1．（2018•新课标Ⅲ）若sinα=，则cos2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】：B
【解析】：：∵sinα=，
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．
故选：B．
2.(2018年新课标Ⅱ文)若f(x)＝cos x－sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是( )
A. B. C. D.π
【答案】：C
【解析】f(x)＝cos x－sin x＝－(sin x－cos x)＝－sin.由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈ ),得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈ ).取k＝0,得f(x)的一个减区间为.由f(x)在[0,a]是减函数,得a≤[0,a]是减函数,所以a的最大值是. 学
3（2018•新课标Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（ ）
A． B． C． D．1
【答案】：B
4. 已知△ABC中，A=，B=，，则b等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】：D
【解析】∵A=，B=，，∴由正弦定理，可得：，故选：D．
5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】：C
【解析】由，得：或-1(舍去);
∴，故选：C
6 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=3，c=4，则sinA=（ ）
A. B. C. D.
【答案】：B
7锐角△ABC中，A,B,C对边分别是a，b，c，若，则△ABC的面积是（ ）。
A. B. C. D.
【答案】：D
【解析】，所以，所以，因为，根据正弦定理得：
.
8. （2018•琼海模拟）若=（1，1），=（1，﹣1），=（﹣2，4），则以、为基底表示的等于（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】：A
【解析】由=（1，1），=（1，﹣1），=（﹣2，4），
设=x+y，则，解得，
∴=﹣3．故选：A．
9（2018•贵阳二模）如图，在三角形ABC中，BE是AC边上的中线，O是BE边的中点，若=，=，则=（ ）
A．+ B．+ C．+ D．+
【答案】：D
10（2018•和平区一模）如图，在直角梯形 ABCD 中，AB∥DC，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E 为AD 的中点，若=，则λ+μ的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】：B
【解析】如图所示，建立直角坐标系．
不妨设AB=1，则D（0，0），C（2，0），A（0，2），
B（1，2），E（0，1）．
=（﹣2，2），=（﹣2，1），=（1，2），
∵=，∴（﹣2，2）=λ（﹣2，1）+μ（1，2），
∴，
解得λ=，μ=．
则λ+μ=．
故选：B．
11 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，满足sinA=2sinBcosC，且，点O是△ABC外一点，，，则平面四边形面积的最大值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】：D
当时，取得最大值是，故选：D．
12（2018•西宁一模）如图在边长为1的正方形组成的 格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请找出D点的位置，计算的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】：B
∴D（2，3），
∴•=2×4+3×1=11，
故选：B．
13 （2018•广西二模）已知向量的夹角为120°，且，则向量在向量方向上的投影为 ．
【答案】：
∴向量在向量方向上的投影为
|2+3|cos
=|2+3|×
=
=．
故答案为：．
14. 在△ABC中，角A,B,C对边分别是a，b，c，并且则△ABC的面积是 。
【答案】 ：
15．（2018•安顺三模）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则f（0）= ．
【答案】：﹣
【解析】：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，
A=，T=4×（﹣）=π，
∴ω==2，
又x=时，f（）=sin（2×+φ）=﹣，
∴+φ=+2kπ，k∈ ；
∴φ=﹣+2kπ，k∈ ；
∴f（x）=sin（2x﹣+2kπ）=sin（2x﹣）；
∴f（0）=sin（﹣）=﹣．
故答案为：﹣．
16(2018年江苏)已知函数y=sin（2x+φ）（-＜φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为 ．
【答案】：-
【解析】∵y=sin（2x+φ）（-＜φ＜）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈ ，即φ=kπ-，∵-＜φ＜，∴当k=0时，φ=-．故答案为-．
17. （2018•海淀区二模）如图，已知函数f（x）=Asinx（ωx+φ）（）在一个周期内的图象经过，，三点
（Ⅰ）写出A，ω，φ的值；
（Ⅱ）若，且f（α）=1，求cos2α的值．
【解析】：（Ⅰ）由题意可得A=2，=﹣，
∴ω=2，再结合五点法作图可得2×+φ=0，
求得．
18．（2018•门头沟区一模）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣1+2cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期：
（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．
【解析】：（1）函数f（x）=2sinxcosx﹣1+2cos2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
∴它的最小正周期为=π．
（2）在区间[]上，2x+∈[﹣，]，
所以，当2x+=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣1；
当2x+=时，函数f（x）取得最大值为2．
19. 已知△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量并且。
（1）求∠B；
（2）若M是BC中点，且AM=AC，求的值。
（2）设AB=c、BC=a，
在△ABC中，由余弦定理得，…………7分
在△ABM中同理可得，
因为AM=AC，所以=，
化简得3a=2c，…………9分
代入得，
，则AC=，
在△ABC中，由正弦定理得，
则．…………12分
20（2018春•咸阳期末）已知，，是同一平面的三个向量，其中=（1，）． 学 ]
（Ⅰ）若||=4，且，求的坐标；
（Ⅱ）若||=1，且（）⊥（），求与的夹角θ．
（Ⅱ）∵；
∴，即；
∴；
∴；
∵θ∈[0，π]；
∴．
21.（2018春•濮阳期末）如图，已知向量．
（1）若∥，求x与y之间的关系；
（2）在（1）的条件下，若有，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．
【解析】：（1）∵，
又，
∴x（y﹣2）﹣y（x+4）=0⇒x+2y=0①
