2019届二轮复习高考四大数学思想回顾学案（全国通用）



一、高考四大数学思想回顾
1　函数与方程思想
函数思想
方程思想
　　函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决.
　　方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决.
　　函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系.

【例1】　(1)(2018·秦皇岛模拟)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)＞f′(x)，且f(0)＝1，则不等式＜1的解集为(　　)
A．(－∞，0)　　　　　 B．(0，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
B　[构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝.由题意得g′(x)＜0恒成立，所以函数g(x)＝在R上单调递减．又g(0)＝＝1，所以＜1，即g(x)＜1，解得x＞0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．故选B.]
(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
①若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
②若T3＝21，求S3.
[解]　①设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝2得d＋q＝3.(*)
由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.(**)
联立(*)和(**)解得(舍去)，
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
②由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.
解得q＝－5或q＝4.
当q＝－5时，由(*)得d＝8，则S3＝21.
当q＝4时，由(*)得d＝－1，则S3＝－6.
[方法归纳]　函数与方程思想在解题中的应用
1．函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y＞0时，就化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
2．数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．
3．解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题，一般利用函数思想来解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，再用函数的知识来解决．
4．立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
■对点即时训练·
1．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
5　2　[(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.
由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1.
所以a2＋b2＝5，ab＝2.]
2．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式．
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
[解]　(1)设需要新建n个桥墩，(n＋1)x＝m，
即n＝－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋(2＋)x ＝＋m＋2m－256(0＜x＜m)．
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋＝.
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；
当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，
所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时，
n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小.
2　数形结合思想
以形助数(数题形解)
以数辅形(形题数解)
借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想.
借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想.
数形结合思想通过“以形助学，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.

【例2】　已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是(　　)
A．5个　　　B．7个 C．9个　　　D．10个
C　[由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f(x)＝lg x，则x∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数.

由图象可知共9个交点，故选C.]
【例3】　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(x)在区间(－1,0)上单调递减，则a2＋b2的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.

C　[f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有f′(x)≤0在区间(－1,0)上恒成立，即
所以画出可行域，则点(a，b)到原点的距离的最小值为＝，无最大值，所以a2＋b2的最小值为.]
[方法归纳]　数形结合思想在解题中的应用
1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．
2．构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数零点的范围．
3．构建解析几何模型求最值或范围．
4．如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的有：
(1)y＝kx＋b中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距．
(2)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率．
(3)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)之间的距离．
(4)导函数f′(x0)表示曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率．
■对点即时训练·
1．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－1,1)　　　　　　 B．(0,2)
C．(0,1) D．(0,1]
C　[当x≥2时，f(x)＝，此时f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
且0＜f(x)≤1.当x＜2时，f(x)＝(x－1)3，此时f(x)过点(1,0)，(0，－1)，

且在(－∞，2)上单调递增．当x→2时，f(x)→1.
如图所示作出函数y＝f(x)的图象，由图可得f(x)在(－∞，2)上单调递增且f(x)＜1，f(x)在[2，＋∞)上单调递减且0＜f(x)≤1，
故当且仅当0＜k＜1时，关于x的方程f(x)＝k有两个不相等的实根，即实数k的取值范围是(0,1)．]
2．若不等式4x2－logax