规范答题示范——等差数列与等比数列解答题

【典例】 (12分)(2017·天津卷)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).

[信息提取]

❶看到求等差数列{an}和等比数列{bn}的通项公式，想到利用基本量法分别求等差、等比数列的公差和公比；

❷看到求数列{a2nbn}的前n项和，想到利用错位相减法求数列的前n项和.

[规范解答]

[高考状元满分心得]

❶牢记等差、等比数列的相关公式：熟记等差、等比数列的通项公式及前n项和公式，解题时结合实际情况合理选择.如第(1)问运用了等差、等比数列的通项公式.

❷注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上得出数列{a2nbn}，分析数列特征，想到用错位相减法求数列的前n项和.

[解题程序]

第一步：利用基本量法求{bn}的通项；

第二步：由b3＝a4－2a1，S11＝11b4构建关于a1与d方程(组)，求an；

第三步：由第(1)问结论，表示出{a2nbn}的通项；

第四步：利用错位相减法求数列前n项和Tn.

第五步：反思检验，规范解题步骤.

【巩固提升】 (2018·德州二模)设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，n∈N*.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)记Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，求Tn.

(1)证明　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，

所以(n－1)(Sn－Sn－1)＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，

即(n－1)Sn＝2nSn－1＋n(n－1)，则＝2×＋1，

所以＋1＝2×，又＋1＝2，

故数列是首项为2，公比为2的等比数列.

(2)解　由(1)知＋1＝·2n－1＝2n，

所以Sn＝n·2n－n，

故Tn＝(1×2＋2×22＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n).

设M＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，

则2M＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1，

所以－M＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，

所以M＝(n－1)·2n＋1＋2，

所以Tn＝(n－1)·2n＋1＋2－.