2019届二轮复习函数的概念以及表示学案（江苏专用）

2019届二轮复习  函数的概念以及表示   学案 （江苏专用）

【三年高考】

【2018江苏，理5】函数的定义域为  ▲  ．

分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.

详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.

点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.

【2017江苏，理11】已知函数, 其中e是自然对数的底数. 若,

则实数的取值范围是   ▲   .

【答案】     

【考点】利用函数性质解不等式]

【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内

【2016江苏，理5】函数y=的定义域是      .

【答案】

【解析】

试题分析：要使函数式有意义，必有，即，解得．故答案应填：

【考点】函数定义域

【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先“列”后“解”是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指（对）数不等式、三角不等式等联系在一起.    

【2019年高考命题预测】  | |k ]

纵观以往高考试题，此部分知识在江苏高考命题中多以填空题的形式出现，或与导数结合出一个解答题，主要考查函数的定义域和值域，以及求函数解析式，求函数值，与最值，分段函数求值等．函数作为基础知识，单独命题不多，常以本节知识求函数解析式考查立体几何，解析几何，数列，向量，三角函数等内容最值等问题.具体对函数概念的考察，一般不会以具体形式出现，而是考察通过映射理解函数的本质，体会蕴含在其中的函数思想．对函数定义域的考察，据其内容的特点，在高考中应一般在填空题中出现，而且一般是一个具体的函数，故难度较低．对函数值域的考察，多以基本初等函数为背景，若在填空题中出现，则难度较低；若出现在解答题中，则会利用导数工具求解，难度较大．对函数表示的考察，通过具体问题（几何问题和实际应用）为背景，寻求变量间的函数关系，再求函数的定义域和值域，进而研究函数的性质，寻求问题的结果．对分段函数的考察是重点和热点，往往会以工具的形式和其他知识点结合起来考，以新颖的题型考察函数知识，所以难度会大点．预测2019年可能会有考查函数概念和函数性质的题目出现．

【2019年高考考点定位】 + + ]

高考对函数概念及其表示的考查有三种主要形式：一是考察函数的概念；二是简单函数的定义域和值域；三是函数的解析表示法；其中经常以分段函数为载体考察函数、方程、不等式等知识的相联系.

【考点1】函数的概念与映射的概念

【备考知识梳理】

1.近代定义： 设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为

2.传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x,y 若对于每一个确定的x的值，都有唯一确定的值y与之对应，则x是自变量，y是x的函数．

3.符号表示集合到集合的一个映射，它有以下特点：

(1)对应法则有方向性, 与不同;

(2)集合中任何一个元素,在下在集合中都有唯一的元素与对应;

(3)象不一定有原象,象集与间关系是.

【规律方法技巧】

1. 判定一条曲线是函数图象的方法：作与x轴垂直的直线，若直线与曲线最多有一个交点，则该曲线是函数的图象．

2. 分段函数求值：给定自变量求函数值时，要确定自变量所属区间，从而代入相应的函数解析式；分段函数知道函数值或函数值范围求自变量或自变量取值范围时，要分类讨论并和相应的自变量区间求交集，进而得结果．

3.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合中元素的任意性，集合中元素的唯一性”．

【考点针对训练】

1.给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②是函数；③函数的图象是一条直线；④与是同一个函数．其中正确的有               个.

【答案】1

2.下列对应法则f为A上的函数的个数有         个.

①；

②；

③

【答案】1

【考点2】函数的表示

【备考知识梳理】

1．表示函数的方法有列表法、图象法、解析式法，最常用的方法是解析式法，尤其在实际问题中需要建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域．

2. 若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示．

【规律方法技巧】

求函数的解析式的常用方法：

1.代入法：如已知求时，有.

2.待定系数法：已知的函数类型，要求的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.

3.拼凑法：已知的解析式，要求的解析式时，可从的解析式中拼凑出“”，即用来表示 再将解析式的两边的用代替即可.

4.换元法：令，在求出的解析式，然后用代替解析式中所有的即可.

5.方程组法：已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边的所有的，得到关于的方程组，解之即可得出.

6.赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式.

7.若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．

8.应用题求解析式可用待定系数法求解．

注意：求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错．

【考点针对训练】

1.已知一次函数满足，求.

【答案】或

【考点3】分段函数及其应用

【备考知识梳理】

1．分段函数是一个函数，而不是几个函数；

2．分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集；

【规律方法技巧】

1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．

2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．

【考点针对训练】

3.已知函数，那么的值是                     .

【答案】2

【解析】表示当自变量 时对应的函数值；根据分段函数的定义,当 时,； 因为, 所以.

4.设函数若，则实数的取值范围是     

【答案】

【考点4】定义域和值域

【备考知识梳理】

在实际问题中，通过选择变量，写出函数解析式，进而确定定义域和值域，再研究函数的性质是函数思想解决实际问题的体现，定义域就是使得实际问题或者具体问题有意义的自变量的取值范围，值域就是与定义域相应的函数值的取值范围．     

1. 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.

2．求函数定义域的步骤：①写出使函数有意义的不等式（组）；②解不等式（组）；③写出函数的定义域（注意用区间或集合的形式写出）

3.在函数中与自变量相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域..函数的值域与最值均在定义域上研究.函数值域的几何意义是对应函数图像上纵坐标的变化范围.

4.函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．在函数概念的三要素中，值域是由定义域和对应关系所确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用．

【规律方法技巧】

1.求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解析式，应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式，就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.     ]

2.求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.

3.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.

4.对于复合函数求定义域问题，若已知的定义域，则复合函数的定义域由不等式得到.

5.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.

6.与定义域有关的几类问题

第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；

第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；

第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．！ 

第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．

7.函数值域的求法:

利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.

利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x的范围.

利用三角函数的有界性,如.

利用“分离常数”法:形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.

利用换元法:形如型,可用此法求其值域.

利用基本不等式法:

导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域

8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．

9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部     分剔除.

【考点针对训练】

1.已知的定义域为，则函数的定义域为            .

【答案】

2.若函数的定义域为R，则的取值范围为        ．

【答案】     

【解析】函数的定义域为R，所以对恒成立，因此有，解得，即的取值范围为.

3.函数的定义域是，则其值域是           .

【答案】

【解析】当时，，此时.当时，，

此时，，即，

综上函数的值域为.

4.已知函数，试判断此函数在上的单调性，并求此函数在上的最大值和最小值.

【答案】最大值和最小值分别为2和

【解析】设、是区间［2,6］上的任意两个实数,且, 则 =- ==.由于，得，,于是,即. 所以函数是区间［2,6］上的减函数. 因此函数在区间［2,6］的两个端点上分别取得最大值与最小值, 故函数在上的最大值和最小值分别为2和.   

【两年模拟详解析】

1．【江苏省苏州市2018届高三调研测试（三）数试题】如果函数在其定义域内总存在三个不同实数，满足，则称函数具有性质.已知函数具有性质 ，则实数的取值范围为          . , ,  ,X,X,K]

【答案】

方程在R上有三个不同的实数根即函数与的图象有三个交点.

，

.

故答案为：

点睛：（1）零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解，体现了数形结合的思想．

（2）求零点范围时用数形结合求解可减少思维量，作图时要尽量准确.

2．【2018年全国普通高等校招生统一考试数（江苏卷）】函数满足，且在区间上，则的值为    ．

【答案】

【解析】

点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.     

3．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数试题】已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝，若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a的取值范围是      ．

【答案】

【解析】分析：利用换元法设t=f（x），则g（t）=a分别作出两个函数的图象，根据a的取值确定t的取值范围，利用数形结合进行求解判断即可．

详解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图：

，，

点睛：本题主要考查根的个数的判断，利用换元法转化为两个函数的交点个数问题，利用分类讨论和数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．

4．【江苏省海门中2018届高三5月考试（最后一卷）数试题】已知函数，则不等式的解集为      .

【答案】（0，2）.

【解析】分析：首先确定函数的单调性， 然后结合函数的单调性求解不等式的解集即可.

详解：由函数的解析式可得：，

由于，当且仅当，即时等号成立，

据此可得：，则函数是上的单调递减函数，

注意到，则题中的不等式等价于，

结合函数的单调性脱去符号有：，

解得，即不等式的解集为.

点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

5．【江苏省扬州树人校2018届高三模拟考试（四）数试题】已知函数的最小值为，则实数的取值集合为          ．   ]

【答案】.      

∵函数 最小值为，

∴，解得，不合题意，舍去．

③当，即时，则，

∴在上上先减后增，最小值为；在上的最小值为．

∵函数 最小值为，

∴，解得或（舍去）．

综上可得或，

∴实数的取值集合为．

点睛：本题考查分段函数的最值，解题的关键是根据与0,1的大小关系进行分类讨论，然后通过讨论函数的单调性得到最小值，再根据函数的最小值为可得所求．

6．【江苏省苏州市第五中校2018届高三上期期初考试数（文）试题】已知，则不等式的解集为        ．

【答案】 

【解析】

【分析】

，

不等式等价为，

则，

即，得，

则，即.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式判断函数的单调性的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解是解决本题的关键.

7．【江苏省苏州市第五中校2018届高三上期期初考试数（文）试题】函数的定义域为      ．

【答案】

【解析】

【分析】

【点睛】

本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题.

8．【江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数试题】若是定义在上的周期为3的函数，且,则的值为         ．

【答案】

【解析】分析：由题意可得f（0）=f（3），解得a=0，由分段函数求得f（1）．

详解：f（x）是定义在R上的周期为3的函数，

且，可得f（0）=f（3），

即有a=﹣18+18=0，

则f（a+1）=f（1）=1+1=2，

故答案为：2

点睛：本题主要考查函数的周期性和分段函数求值，意在考查对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.

9．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018年度高三教情况调研（二）数试题】已知函数若存在实数，满足，则的最大值是    ．

【答案】.

由函数图象可知：＜c＜e2，

设g（c）=（c﹣6）lnc，则=lnc+1﹣，

显然在（，e2]上单调递增，     

∵=2﹣＜0，=3﹣＞0，

∴在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，

在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，

又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，

∴g（c）的最大值为g（e2）=2e2﹣12．

故答案为：2e2﹣12

点睛: （1）本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像；其二是从图像里能发现a+b=-6, ＜c＜e2；其三是能够想到构造函数g（c）=（c﹣6）lnc，利用导数求函数的最大值.（2）本题要求函数的图像和性质掌握的比较好，属于中档题.

10．【江苏省南京师范大附属中、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考数调研测试试题】设是定义在上且周期为的函数，在区间上，其函数解析式是，其中.若，则的值是          ．

【答案】

【一年原创真预测】

1.已知函数在上的最大值分别为，则=        ．

【答案】1

【解析】因为，所以函数的图象关于点对称，因此=1

【入选理由】本题考查函数最值、对称性等基础知识，意在考查生的基本运算能力.函数的最值是高考考试的重点，本题巧妙的通过对称性来解，要比直接去求简单得多，此题体现出题人构思巧妙，不失一个好题，故选此题.

2. 设函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一的，使得成立（其中为常数），则称函数在上为一个“度”函数.则下列函数①②③④中是“度”函数的为　　　　．

【答案】③

【入选理由】本题考查新定义函数问题，考查对新定义的理解与应用能力以及基本的逻辑推理能力等．新定义问题是考查生接受新事物能力，一般紧扣住题意即可，往往生对新知识理解不到位容易出错，故选此题.

3. 已知，对，使成立，则a的取值范围是                       .

【答案】[-1，1]

【入选理由】分段函数在自变量的不同范围内解析式不同，本题转化为函数的值域是函数值域的子集．本题是分段函数的灵活应用，解题关键是转化，试题立意较新，故选此题.