2019届二轮复习函数的性质学案（全国通用）
展开第一讲 函数的性质
一、知识要点
1、映射
对于任意两个集合，依对应法则，若对中的任意一个元素在中都有唯一一个元素与之对应，则称为一个映射，记作其中称为像，称为原像。
如果是一个映射且对任意都有则是到上称之为单射.
如果是映射且对任意都有一个使得则称是到上的满射.
如果既是单射又是满射，则是到上叫做一一映射.
如果是从集合到集合上的一一映射，并且对于中每一个元素，使在中的原像和它对应，这样所得的映射叫做的逆映射，记作
2、函数方程问题
（1）代换法（或换元法）
把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得位置函数
例.设求的解. （【解析】分别用带入）
（2）待定系数法
当函数方程中的未知数是多项式时，可待定系数而求解.
例.已知是一次函数，且，求. （【解析】设求解）
3、函数对称性以及周期性
1）已知函数，若函数图像与图像关于：
直线对称，则；
直线对称，则；
点对称，则。
2）已知函数图像关于：
直线对称，则；
点对称，则，即。
3）常用：若函数图像与图像关于：
轴对称，则；
轴对称，则；
原点对称，则。
4）若，则图像关于直线对称；
若，则图像关于点对称；
若与关于直线对称；
5）若，则函数是以为周期的函数。
6）若，则，即；
若，则，即；
若，则，即。
7）若关于直线和对称，则为以为周期的周期函数；
若关于点和对称，则为以为周期的周期函数；
若关于点和对称，则为以为周期的周期函数。
4、抽象函数问题的解法
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号极其满足的条件的函数，如给出定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等，它是高中函数的难点，也是与高等数学函数部分的一个衔接点。
（1）函数性质法
函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性等）反映出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，才能够将抽象函数问题化难为易。常用的方法有：①利用奇偶性整体思考；②利用单调性等价转化；③利用周期性回归已知；④利用对称性数形结合；⑤借助特殊点列方程。
（2）特殊化方法
① 在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将换成或将换成其他字母等；
② 在求函数值时，可用特殊值代入；
③ 研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或通过具体模型函数为解答综合题提供思路和方法。
5、函数的迭代
一个函数的自复合，叫做迭代。我们用表示的次迭代函数。
即
如果 则称有迭代周期
迭代问题的解法通常是找它的迭代周期。一般来说，若的图像关于直线对称，则一定有.它的迭代周期就是2.下面是几个常见函数的迭代周期。
迭代周期是3；
迭代周期是4；
6、凹凸函数
设为定义在区间上的函数，若对上任意两点、和实数总有则称为上的凸函数（有时也称下凸函数）。反之，如果总有不等式则称则称为上的凹函数（有时也称上凸函数）。
特别地，时，有（凸函数）或（凹函数）。
如何判断一个函数是凸函数（凹函数）？除了定义以外，还有下面的定理：
设为上二阶可导函数，则为上的凸（凹）函数的充要条件是
凸函数更一般的情形是下面的琴生不等式：若为上的凸函数，则对任意
，且则
二、热身练习
1、（2009复旦）若要求关于的函数的定义域是则、的取值范围是（ ）
【解析】选A.由对
恒成立这样的不存在。
2、（2010复旦）某校有一个班级，设变量是该班同学的姓名，变量是该班同学的学号，变量是该班同学的身高，变量是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中正确的是（ ）
是的函数 是的函数 是的函数 是的函数
【解析】按照函数的定义，由于班上可能会有相同的姓名，故A不正确。而任意一个学生的学号是唯一的，也对应了一个唯一的身高，故选项B正确；同理，均不正确。
3、（2007复旦）设是定义在实数集上的周期为的周期函数，且是偶函数。已知当时，则当时，的表达式为（ ）
【解析】选A 可以考虑特殊值。，
。符合条件的只有选项A了。
4、（2006复旦）设有三个函数，第一个是，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线对称，则第三个函数是（ ）
【解析】选。第二个函数是第三个函数为，即
三、真题讲解
1、（2005交大）函数的最大值为最小值为求实数、.
【解析】即.
显然，这个关于的方程必有实数根，从而有
。根据题意，
故，所以解得.
2、（2006复旦）设且下列不等式中成立的是（ ）
① XIAN 数
②
③
④
①③ ①④ ②③ ②④
【解析】选B这是一道和凸函数有关的问题，分别画出,的草图。由图像可知是下凸函数，是上凸函数，故选B
3、（2009清华）求证：
【解析】本题考查的是前文中证明函数是凸函数的充要条件。首先构造函数
先证明它是凸函数。事实上故是上的凸函数，从而证毕！
4、（2007交大）已知函数对于定义若则.
【解析】本题考查迭代周期问题。计算得
故以6为周期. 注：条件可以不用。
5、（2007北大）求
【解析】
故，所以
.
6、（2002交大）函数有且
求满足的关系；
证明：存在这样的使
【解析】因为有且所以，且
（因为），
故即
令而故在之间必有一解，所以存在，是的
四、强化训练
（A组）
1、（2004复旦）若存在使对任意（为函数的定义域），都有
则称函数有界。问函数在上是否有界？
【解析】令则，
若令且则当时，，，
故在上无界.注：本题中的有无穷多个赋值方式，如令事实上，只要使均可。
2、（2007复旦）若且则
不是与无关的常数
【解析】选D. 由得故
3、（2005复旦）定义在上的函数满足，
则
【解析】 令令
4、设
且，则的值有（ ）
【解析】因为，故为偶函数.在时，有
.当时，
恒有 故选！
5、（2000交大）求函数的反函数
【解析】由得
6、 （模拟题）求函数在区间上的值域.
【解析】，值域为
7、（模拟题）已知是定义在上的函数，且
（1）试证明是周期函数；
（2）若试求
【解析】（1）又条件可知故用换上式的，得
所以，即是以8为周期的周期函数。
（2）.
8、（模拟题）已知是一次函数，且.求
【解析】设则有
.
依此类推有：
由题设可得：故解得.
所以或.
9、（模拟题）已知实数满足求.
【解析】记则
故.
10、（2001交大）已知函数的最小值是，试着写出的解析表达式。
【解析】其对称轴为
当时，在上单调递增，从而
当即时，在上单调递减，从而
当时，
故
（B组）
1、（2008交大）已知函数且没有实数根.那么是否有实数根？并证明你的结论.
【解析】法一：利用，得到，故没有实数根（本方法计算量过大）
法二：若则对一切恒成立.
故有；
同理时则对一切恒成立.
故有；所以没有实数根
2、 （模拟题）已知函数
（1）函数的图像与直线均无公共点，求证:
（2）若且，又时，恒有，求的解析式.
【解析】（1）函数与直线无公共点，无实数解.
故，即.
同理 函数与直线无公共点，即有.
两式相加 得即
（2），又时，恒有
故有
故.又.故
故在处取得最小值而且从而是函数的对称轴.
故。
3、（模拟题）已知且当时有.求
【解析】把已知条件中的等式进行整理，得到：
把依次用代换，得：
上述的个等式相加，可以得到：
所以 故
4、（模拟题）已知是定义在上的不恒为的函数，且对于任意的，有
.
（1）求的值.
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论.
（3）若，求数列的前项和.
【解析】（1）令，则；令，则，
。
（2）令则
再令则
故，即是奇函数。
（3）当时，.
令则有
故，
故
又因为
故. .
