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2019届二轮复习第3讲 不等式学案（全国通用）
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第3讲 不等式
高考定位 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅱ卷)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是( )
A.－15 B.－9 C.1 D.9
解析 可行域如图阴影部分所示，当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，所求最小值为－15.
答案 A
2.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.
解析 由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋≥2＝2·2＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋的最小值为.
答案
3.(2018·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________.
解析 作出可行域为如图所示的△ABC所表示的阴影区域，作出直线3x＋2y＝0，并平移该直线，当直线过点A(2，0)时，目标函数z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6.
答案 6
4.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f >1的x的取值范围是________.
解析 当x≤0时，f(x)＋f ＝(x＋1)＋，
原不等式化为2x＋>1，解得－
当x>时，f(x)＋f ＝2x＋2x－，
又x>时，2x＋2x－>2＋20＝1＋>1恒成立，
综上可知，不等式的解集为.
答案
考 点 整 合
1.不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法.
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间.
(2)简单分式不等式的解法.
①>0(<0)f(x)g(x)>0(<0).
②≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
(3)指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解.
2.几个不等式
(1)a2＋b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当a＝b).
(2)ab≤(a，b∈R).
(3)≥≥≥(a>0，b>0).
(4)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立).
3.利用基本不等式求最值
(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值).
(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值).
4.简单的线性规划问题
解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.
热点一 不等式的解法
【例1】 (1)不等式≤x－2的解集是( )
A.(－∞，0]∪(2，4] B.[0，2)∪[4，＋∞)
C.[2，4) D.(－∞，2]∪(4，＋∞)
(2)设函数f(x)＝则使得f(x)≤1成立的x的取值范围是________.
解析 (1)当x－2>0时，不等式化为(x－2)2≥4，∴x≥4.当x－2<0时，原不等式化为(x－2)2≤4，∴0≤x<2.综上可知，原不等式的解集为[0，2)∪[4，＋∞).
(2)由得0≤x≤9；由得－1≤x<0.故使得f(x)≤1成立的x的取值范围是[－1，9].
答案 (1)B (2)[－1，9]
探究提高 1.解一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集.
2.(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化.
(2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论.
【训练1】 (1)(2018·衡阳一模)已知一元二次不等式f(x)≤0的解集为，则f(ex)>0的解集为( )
A.{x|x<－ln 2或x>ln 3}
B.{x|ln 2
A.{x|x>2或x<－2} B.{x|－2
又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0.
f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.
答案 (1)D (2)C
热点二 基本不等式及其应用
【例2】 (1)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________.
(2)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b(2≤a≤10)，剪去部分的面积为8，则＋的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
解析 (1)∵直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，
∴＋＝1(a>0，且b>0)，
则2a＋b＝(2a＋b)
＝4＋＋≥4＋2＝8.
当且仅当＝，即a＝2，b＝4时上式等号成立.
因此2a＋b的最小值为8.
(2)由题意知，2ab＝8，则b＝(2≤a≤10).所以＋＝＋＝1＋－＝1＋≤1＋＝，当且仅当a＝，即a＝6时，＋取得最大值.
答案 (1)8 (2)C
探究提高 1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.
2.特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解.
(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错.
【训练2】 (1)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________.
(2)(2018·北京海淀区调研)当0
C.[－4，2] D.[－2，4]
解析 (1)∵a，b∈R，ab>0，
∴≥＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当即时取得等号.
∴的最小值是4.
(2)易得＋＝且0
答案 (1)4 (2)D
热点三 简单的线性规划问题
考法1 已知线性约束条件，求线性目标函数最值
【例3－1】 (2017·全国Ⅲ卷)若x，y满足约束条件 则z＝3x－4y的最小值为________.
解析 画出可行域如图阴影部分所示.
由z＝3x－4y，得y＝x－，
作出直线y＝x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(1，1)处取最小值，故zmin＝3×1－4×1＝－1.
答案 －1
探究提高 1.线性规划的实质是把代数问题几何化，需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错.
2.一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的顶点或边界上取得.
【训练3】 (2018·全国Ⅱ卷)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________.
解析 画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.作出直线x＋y＝0，平移该直线，当直线过点B(5，4)时，z取得最大值，zmax＝5＋4＝9.
答案 9
考法2 求非线性目标函数的最值
【例3－2】 (2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy中，M(a，b)为不等式组所表示的区域上任意动点，则的最大值为________.
解析 作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分).则M(a，b)在△AEF内(含边界)，易知表示点M与点B(4，1)连线的斜率，当点M与点A重合时，kAB取最大值，又解得A(3，－1)，
∴的最大值为kAB＝＝2.
答案 2
考法3 线性规划中参数问题
【例3－3】 已知x，y满足约束条件目标函数z＝2x－3y的最大值是2，则实数a＝( )
A. B.1 C. D.4
解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，
∵目标函数z＝2x－3y的最大值是2，由图象知z＝2x－3y经过平面区域的A时目标函数取得最大值2.
由解得A(4，2)，同时A(4，2)也在直线ax＋y－4＝0上，∴4a＝2，则a＝.
答案 A
探究提高 1.非线性目标函数的最值主要涉及斜率、点与点(线)的距离，利用数形结合，抓住几何特征是求解的关键.
2.对于线性规划中的参数问题，需注意：
(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.
(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内.
【训练4】 (1)(2018·西安联考)已知x，y满足约束条件则目标函数z＝的最小值为( )
A. B. C.1 D.
(2)(2018·济南质检)若实数x，y满足且z＝mx－y(m<2)的最小值为－，则m等于( )
A. B.－ C.1 D.
解析 (1)作出约束条件满足的平面区域如图，又z＝表示△PAB区域内的点到原点O(0，0)的距离.∴zmin是点O(0，0)到直线AB的距离，易知O到x＋y－1＝0的距离d＝＝.∴zmin＝.
(2)作不等式组表示的平面区域如图所示，
z＝mx－y(m<2)的最小值为－，可知目标函数的最优解过点A，由解得A，
∴－＝－3，解得m＝1.
答案 (1)B (2)C
1.多次使用基本不等式的注意事项
当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.
2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.
3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.
4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.
一、选择题
1.(2017·全国Ⅰ卷)设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z＝x＋y经过A(3，0)时取得最大值，故zmax＝3＋0＝3.
答案 D
2.(2018·合肥模拟)设函数f(x)＝，则使f(a)＋1≥f(a＋1)成立的a的取值范围是( )
A.(－∞，－2)
B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
D.(－∞，－1)
解析 f(a)＋1≥f(a＋1)＋1≥≥0.∵a2＋3a＋4>0对一切a∈R恒成立，∴原不等式等价于(a＋1)(a＋2)>0，解得a<－2或a>－1.故所求a的取值范围是(－∞，－2)∪(－1，＋∞).
答案 C
3.(2018·西安质检)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )
A.4 B.9 C.10 D.12
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.
x2＋y2表示区域内点到原点距离的平方.
由得A(3，－1).
由图形知，(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.
答案 C
4.已知当x＜0时，2x2－mx＋1＞0恒成立，则m的取值范围为( )
A.[2，＋∞) B.(－∞，2]
C.(－2，＋∞) D.(－∞，－2)
解析 由2x2－mx＋1＞0，得mx＜2x2＋1，
因为x＜0，所以m＞＝2x＋.
又2x＋＝－
≤－2＝－2.
当且仅当－2x＝－，即x＝－时取等号，
所以m＞－2.
答案 C
5.(2018·长沙雅礼中学联考)设x，y满足约束条件若z＝x＋y的最大值为6，则的最大值为( )
A. B.2 C.4 D.5
解析 作出不等式组表示的平面区域如图所示.易知当直线z＝x＋y过点A时，z取到最大值6.又A，∴zmax＝＋a＝6，则a＝4.又＝表示P(x，y)与B(－4，0)两点连线的斜率，当点P位于点C(－3，4)处时，斜率k取到最大值.由kBC＝＝4，知＝4.
答案 C
6.实数x，y满足使z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，则z1＝ax＋y＋1的最小值为( )
A.0 B.－2 C.1 D.－1
解析 画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，因为z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，所以－a＝1，a＝－1，所以当x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1时，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－1，所以ax＋y＋1的最小值是0.
答案 A
二、填空题
7.(2018·全国Ⅲ卷)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________.
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点A(2，3)时，z＝x＋y取得最大值，故zmax＝2＋×3＝3.
答案 3
8.(2018·天津卷)已知a∈R，函数f(x)＝若对任意x∈[－3，＋∞)，f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是________.
解析 当－3≤x≤0时，f(x)≤|x|恒成立等价转化为x2＋2x＋a－2≤－x恒成立，即a≤－x2－3x＋2恒成立，所以a≤(－x2－3x＋2)min＝2；当x>0时，f(x)≤|x|恒成立等价转化为－x2＋2x－2a≤x恒成立，即a≥恒成立，所以a≥
＝.综上，a的取值范围是.
答案
9.(2018·衡水中学检测)设满足的实数x，y所在的平面区域为Ω，则Ω的外接圆方程是_________________________________.
解析 作出不等式组表示的平面区域Ω如图所示.则区域Ω是四边形ABCO(含内部及边界).易知BC⊥AB，则外接圆的圆心为AC的中点，又A(0，6)，C(2，0)，则该四边形外接圆圆心为(1，3)，半径r＝|AC|＝.故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
答案 (x－1)2＋(y－3)2＝10
10.(2018·湖南长郡中学调研)已知实数x，y满足
则z＝log2的取值范围是________.
解析 作线性约束条件表示的可行域如图所示.
令t＝表示可行域内的点P(x，y)与定点M(1，1)连线的斜率.
易求点B(－1，0)，kMB＝＝，且x＋y＝0的斜率为－1.
∴－1
三、解答题
11.已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；
(2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围.
解 (1)f(x)＞kkx2－2x＋6k＜0.
由已知{x|x＜－3，或x＞－2}是其解集，
得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.
由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.
(2)因为x＞0，f(x)＝＝≤＝，
当且仅当x＝时取等号.
由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，
故t≥，即t的取值范围是.
12.(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长(分钟)
广告播放时长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解 (1)由已知，x，y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分的整数点：
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大.
又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.
解方程组得点M的坐标为(6，3).
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
高考定位 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅱ卷)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是( )
A.－15 B.－9 C.1 D.9
解析 可行域如图阴影部分所示，当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，所求最小值为－15.
答案 A
2.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.
解析 由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋≥2＝2·2＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋的最小值为.
答案
3.(2018·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________.
解析 作出可行域为如图所示的△ABC所表示的阴影区域，作出直线3x＋2y＝0，并平移该直线，当直线过点A(2，0)时，目标函数z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6.
答案 6
4.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f >1的x的取值范围是________.
解析 当x≤0时，f(x)＋f ＝(x＋1)＋，
原不等式化为2x＋>1，解得－
当x>时，f(x)＋f ＝2x＋2x－，
又x>时，2x＋2x－>2＋20＝1＋>1恒成立，
综上可知，不等式的解集为.
答案
考 点 整 合
1.不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法.
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间.
(2)简单分式不等式的解法.
①>0(<0)f(x)g(x)>0(<0).
②≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
(3)指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解.
2.几个不等式
(1)a2＋b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当a＝b).
(2)ab≤(a，b∈R).
(3)≥≥≥(a>0，b>0).
(4)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立).
3.利用基本不等式求最值
(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值).
(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值).
4.简单的线性规划问题
解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.
热点一 不等式的解法
【例1】 (1)不等式≤x－2的解集是( )
A.(－∞，0]∪(2，4] B.[0，2)∪[4，＋∞)
C.[2，4) D.(－∞，2]∪(4，＋∞)
(2)设函数f(x)＝则使得f(x)≤1成立的x的取值范围是________.
解析 (1)当x－2>0时，不等式化为(x－2)2≥4，∴x≥4.当x－2<0时，原不等式化为(x－2)2≤4，∴0≤x<2.综上可知，原不等式的解集为[0，2)∪[4，＋∞).
(2)由得0≤x≤9；由得－1≤x<0.故使得f(x)≤1成立的x的取值范围是[－1，9].
答案 (1)B (2)[－1，9]
探究提高 1.解一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集.
2.(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化.
(2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论.
【训练1】 (1)(2018·衡阳一模)已知一元二次不等式f(x)≤0的解集为，则f(ex)>0的解集为( )
A.{x|x<－ln 2或x>ln 3}
B.{x|ln 2
A.{x|x>2或x<－2} B.{x|－2
又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0.
f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.
答案 (1)D (2)C
热点二 基本不等式及其应用
【例2】 (1)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________.
(2)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b(2≤a≤10)，剪去部分的面积为8，则＋的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
解析 (1)∵直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，
∴＋＝1(a>0，且b>0)，
则2a＋b＝(2a＋b)
＝4＋＋≥4＋2＝8.
当且仅当＝，即a＝2，b＝4时上式等号成立.
因此2a＋b的最小值为8.
(2)由题意知，2ab＝8，则b＝(2≤a≤10).所以＋＝＋＝1＋－＝1＋≤1＋＝，当且仅当a＝，即a＝6时，＋取得最大值.
答案 (1)8 (2)C
探究提高 1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.
2.特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解.
(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错.
【训练2】 (1)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________.
(2)(2018·北京海淀区调研)当0
C.[－4，2] D.[－2，4]
解析 (1)∵a，b∈R，ab>0，
∴≥＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当即时取得等号.
∴的最小值是4.
(2)易得＋＝且0
答案 (1)4 (2)D
热点三 简单的线性规划问题
考法1 已知线性约束条件，求线性目标函数最值
【例3－1】 (2017·全国Ⅲ卷)若x，y满足约束条件 则z＝3x－4y的最小值为________.
解析 画出可行域如图阴影部分所示.
由z＝3x－4y，得y＝x－，
作出直线y＝x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(1，1)处取最小值，故zmin＝3×1－4×1＝－1.
答案 －1
探究提高 1.线性规划的实质是把代数问题几何化，需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错.
2.一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的顶点或边界上取得.
【训练3】 (2018·全国Ⅱ卷)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________.
解析 画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.作出直线x＋y＝0，平移该直线，当直线过点B(5，4)时，z取得最大值，zmax＝5＋4＝9.
答案 9
考法2 求非线性目标函数的最值
【例3－2】 (2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy中，M(a，b)为不等式组所表示的区域上任意动点，则的最大值为________.
解析 作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分).则M(a，b)在△AEF内(含边界)，易知表示点M与点B(4，1)连线的斜率，当点M与点A重合时，kAB取最大值，又解得A(3，－1)，
∴的最大值为kAB＝＝2.
答案 2
考法3 线性规划中参数问题
【例3－3】 已知x，y满足约束条件目标函数z＝2x－3y的最大值是2，则实数a＝( )
A. B.1 C. D.4
解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，
∵目标函数z＝2x－3y的最大值是2，由图象知z＝2x－3y经过平面区域的A时目标函数取得最大值2.
由解得A(4，2)，同时A(4，2)也在直线ax＋y－4＝0上，∴4a＝2，则a＝.
答案 A
探究提高 1.非线性目标函数的最值主要涉及斜率、点与点(线)的距离，利用数形结合，抓住几何特征是求解的关键.
2.对于线性规划中的参数问题，需注意：
(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.
(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内.
【训练4】 (1)(2018·西安联考)已知x，y满足约束条件则目标函数z＝的最小值为( )
A. B. C.1 D.
(2)(2018·济南质检)若实数x，y满足且z＝mx－y(m<2)的最小值为－，则m等于( )
A. B.－ C.1 D.
解析 (1)作出约束条件满足的平面区域如图，又z＝表示△PAB区域内的点到原点O(0，0)的距离.∴zmin是点O(0，0)到直线AB的距离，易知O到x＋y－1＝0的距离d＝＝.∴zmin＝.
(2)作不等式组表示的平面区域如图所示，
z＝mx－y(m<2)的最小值为－，可知目标函数的最优解过点A，由解得A，
∴－＝－3，解得m＝1.
答案 (1)B (2)C
1.多次使用基本不等式的注意事项
当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.
2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.
3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.
4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.
一、选择题
1.(2017·全国Ⅰ卷)设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z＝x＋y经过A(3，0)时取得最大值，故zmax＝3＋0＝3.
答案 D
2.(2018·合肥模拟)设函数f(x)＝，则使f(a)＋1≥f(a＋1)成立的a的取值范围是( )
A.(－∞，－2)
B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
D.(－∞，－1)
解析 f(a)＋1≥f(a＋1)＋1≥≥0.∵a2＋3a＋4>0对一切a∈R恒成立，∴原不等式等价于(a＋1)(a＋2)>0，解得a<－2或a>－1.故所求a的取值范围是(－∞，－2)∪(－1，＋∞).
答案 C
3.(2018·西安质检)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )
A.4 B.9 C.10 D.12
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.
x2＋y2表示区域内点到原点距离的平方.
由得A(3，－1).
由图形知，(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.
答案 C
4.已知当x＜0时，2x2－mx＋1＞0恒成立，则m的取值范围为( )
A.[2，＋∞) B.(－∞，2]
C.(－2，＋∞) D.(－∞，－2)
解析 由2x2－mx＋1＞0，得mx＜2x2＋1，
因为x＜0，所以m＞＝2x＋.
又2x＋＝－
≤－2＝－2.
当且仅当－2x＝－，即x＝－时取等号，
所以m＞－2.
答案 C
5.(2018·长沙雅礼中学联考)设x，y满足约束条件若z＝x＋y的最大值为6，则的最大值为( )
A. B.2 C.4 D.5
解析 作出不等式组表示的平面区域如图所示.易知当直线z＝x＋y过点A时，z取到最大值6.又A，∴zmax＝＋a＝6，则a＝4.又＝表示P(x，y)与B(－4，0)两点连线的斜率，当点P位于点C(－3，4)处时，斜率k取到最大值.由kBC＝＝4，知＝4.
答案 C
6.实数x，y满足使z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，则z1＝ax＋y＋1的最小值为( )
A.0 B.－2 C.1 D.－1
解析 画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，因为z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，所以－a＝1，a＝－1，所以当x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1时，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－1，所以ax＋y＋1的最小值是0.
答案 A
二、填空题
7.(2018·全国Ⅲ卷)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________.
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点A(2，3)时，z＝x＋y取得最大值，故zmax＝2＋×3＝3.
答案 3
8.(2018·天津卷)已知a∈R，函数f(x)＝若对任意x∈[－3，＋∞)，f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是________.
解析 当－3≤x≤0时，f(x)≤|x|恒成立等价转化为x2＋2x＋a－2≤－x恒成立，即a≤－x2－3x＋2恒成立，所以a≤(－x2－3x＋2)min＝2；当x>0时，f(x)≤|x|恒成立等价转化为－x2＋2x－2a≤x恒成立，即a≥恒成立，所以a≥
＝.综上，a的取值范围是.
答案
9.(2018·衡水中学检测)设满足的实数x，y所在的平面区域为Ω，则Ω的外接圆方程是_________________________________.
解析 作出不等式组表示的平面区域Ω如图所示.则区域Ω是四边形ABCO(含内部及边界).易知BC⊥AB，则外接圆的圆心为AC的中点，又A(0，6)，C(2，0)，则该四边形外接圆圆心为(1，3)，半径r＝|AC|＝.故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
答案 (x－1)2＋(y－3)2＝10
10.(2018·湖南长郡中学调研)已知实数x，y满足
则z＝log2的取值范围是________.
解析 作线性约束条件表示的可行域如图所示.
令t＝表示可行域内的点P(x，y)与定点M(1，1)连线的斜率.
易求点B(－1，0)，kMB＝＝，且x＋y＝0的斜率为－1.
∴－1
三、解答题
11.已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；
(2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围.
解 (1)f(x)＞kkx2－2x＋6k＜0.
由已知{x|x＜－3，或x＞－2}是其解集，
得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.
由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.
(2)因为x＞0，f(x)＝＝≤＝，
当且仅当x＝时取等号.
由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，
故t≥，即t的取值范围是.
12.(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长(分钟)
广告播放时长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解 (1)由已知，x，y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分的整数点：
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大.
又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.
解方程组得点M的坐标为(6，3).
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
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