2019届二轮复习第4招动点轨迹问题的探究学案（江苏专用）
展开动点轨迹问题的探究
解析几何的相关题型中，常有一类题，需要考生挖掘出题目中动点的轨迹，然后再运用曲线的相关性质去求解.这类题目的解题思路隐藏较深，有时并不会给出明确的提示，考生较难准确的挖掘出其内在信息.本文着力于分析此类求轨迹或者需要先求轨迹再解题的题型，力求帮助考生挖掘隐藏条件，顺利找到解题的切入点.
本文所指轨迹方程，在特殊情况或者题型下，也可以能为不等式.
本文不研究比较浅显的轨迹，如到定点的距离为定值的点的轨迹（圆），到两个点距离相等的点的轨迹（直线）等.
一、轨迹为直线
1、（2010江苏）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，右焦点为，设动点满足,求点的轨迹方程.
解析：本题是一个动点到两个定点的距离之差为定值，直接按照求轨迹方程的基本方法来解决即可.
设点，由已知得，由得，化简得，即的轨迹是直线，轨迹方程是.
2、在平面直角坐标系中，已知满足在轴上，在轴上，点是直角顶点，是斜边上的中点，则最小值是 .
解析：两直角三角形共斜边，可得斜边上的两个中线均相等.若两个直角顶点为定点的话，则斜边上的中点应该是在两定点连线段的中垂线上.
均为直角三角形，且均为斜边，故,设，得，化简得，所以最小值即到的距离.
3、在平面直角坐标系中，，第一象限内取点，使得均为正三角形，若为中点，则最小值为 .
解析：均为定点，若找出的轨迹，则可以轻松的运用线段和差最值的相关技巧解决.
如图，分别过做轴的垂线，垂足分别是，则是中点，且是直角梯形的中位线，故.
，
故的轨迹方程为
如图，作关于的对称点，连接，直线方程为与的轨迹交于点，，故当时，取得最小值为.
4、已知定点,动点在直线上，若将绕顺时针旋转到,中点为，则的最小值为 .
解析：考虑到图形上所有点都按照一定的规则变动，等价于图形按照该规则变动.旋转与放缩均不会改变曲线的形状，只会改变曲线的位置与大小.
.点的轨迹为的轨迹绕顺时针旋转可得，即为，则的轨迹方程为，则的最小值为到的距离，得最小值为1.
5、（2015江苏改），如图1，圆的半径是1，圆的半径是2，过动点分别作圆的切线（分别为切线的切点），使得，试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程.
解析：本题给了切线长之间的等量关系，转化成之间的等量关系去处理.
以为轴，的中点为原点，则.由题可得,即，化简可得其本质与题1一致.
二、轨迹为圆
1、（2008，江苏）满足条件的的面积的最大值是______.
解析：此题是一道非常典型的轨迹问题题型，背景是阿波罗尼斯圆，也是近几年高考的热点.
建系，令，设，由题可得，化简得.
则面积最大时，即离轴最大时，此时.
故.
2、（2015江苏），如图1，圆的半径都是1，过动点分别作圆的切线（分别为切线），使得，试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程.
解析：本题是切线长成比例，依然可以转化为点到两个圆心距离之间的等量关系去处理.
以为轴，的中点为原点，则.由题可得,即，化简可得.
3、已知点是直线与直线的交点，定点，则的最大值为 .
解析：深入发现可得两直线分别过定点，且互相垂直，可以此求出交点的轨迹方程.
分别过定点，且两者互相垂直，则的轨迹是以这两个定点为直径的两个端点的圆的一部分（除去点），得的轨迹方程为即（除去原点）.本题即转化为点到圆上任意点的最大值.=.不共线，故此点可以取到.
4、如图所示，是圆内一点，是圆上两动点，且满足,则弦长的取值范围为 .
解析：设中点，由垂直可得.
，是斜边上的中线，即，化简可得，即的轨迹是以为圆心，为半径的圆.到距离为2.
.
本题可以得到：到两个定点的距离平方和为定值时，点的轨迹为圆（如果存在的话）.
5、已知圆，若直线上存在动点向圆引两条切线，切点分别为，当分别满意以下条件时，求的取值范围.
①；
解析：设，由题得是直角三角形，且，
在直角三角形中，,
.
所以动点的轨迹方程为，同时又在上，可得，得.
②四边形面积为16；
解析：设，由题得是直角三角形，且，
,,由勾股定理可得,点轨迹方程为.同时又在上，可得得.
③；
解析：设,由勾股定理得，且
，
代入可得.解得(舍)或，
得点轨迹方程为,即.
6、在中，所对的边分别为，若，则面积的最大值为________.
解析：本题中变量较多，将看作参量，则可以判断到距离平方和为定值，根据题4的结论，可以初步判断的轨迹为圆（部分）.
设，
由，可得,
化简可得，.
，当且仅当时取等号.
7、已知圆上存在点，过向椭圆作切线，切线互相垂直，则的范围是 .
解析：先考虑特殊情况，其中一条切线斜率不存在时，易得；再考虑一般情形，研究两条切线斜率均存在的情况
设，切线方程为，与椭圆联立可得，
化简得，由相切可得
即
，又因为两切线垂直，即此方程两根，
故，即点轨迹方程为.
又在圆上，故.
结论：若过向椭圆所作两条切线互相垂直，则的轨迹方程为.
8、已知是圆上两动点，若动点满足，则的取值范围是 .
解析：
画图分析可得，
当在圆内时，，此时显然符合.
当在圆上时，，此时也符合.
当在圆外时，当分别为过的两条切线的切点时，取得最大当共线时，取得最小，值为.
故只需切线的夹角不小于即可.
，得，，
综上，满足.
三、轨迹为椭圆（双曲线、抛物线）
1、已知在平面直角坐标系中，坐标分别为,若在直线上，且满足，求的坐标.
解析：本题给的是角之间的倍数关系，在解析几何中，与角联系最紧密的就是倾斜角，继而可以与斜率产生关联.
设，由题直线满足，直线满足，根据二倍角公式得，
由于不与共线，得，继而化简可得.轨迹为双曲线的一部分.
与联立求解可得，此即点坐标.
在三角形问题中，通过建系可以把角处理成为倾斜角及其相关角，继而转化为斜率，并利用三角函数公式得到斜率之间的等量或者不等关系，进一步求出动点的轨迹方程
2、已知，分别在轴上，若直线上存在一点满足，求的范围.
解析：题目中给到了长度及所在的位置，可以求出两点横纵坐标之间的关系，再利用向量之间的关系找到坐标与坐标之间的关系，即可求出的轨迹方程.
设，由题可得，且
得，代入并化简可得.即求直线与该椭圆有公共点即可.
联立得，即，
得.
3、（2010北京理改）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，动点满足直线与的斜率之积等于,求动点的轨迹方程.
解析，本题比较简单，直接根据题目意思，表示出斜率并列出等式即可.但要注意的是完备性.
设，则有，化简得.
4、已知点在圆上，过作轴于点，以为圆心，为半径的圆交于点，又与交于点，求点的轨迹方程.
解析：设，则圆方程为，方程，联立两圆方程可得所在直线方程，与方程联立可得点坐标，又，故满足.
5、线段与互相垂直平分于点，，若对于任意的非零实数，直线上总存在动点满足，求所取得值的集合.
解析：本题应该尝试求出的轨迹方程，再根据其图像与直线恒有交点去处理为宜.
如图建系，设，则有
整理后可得.
即方程组，当取任意非零实数时，方程组均有解.
代入化简可得.
①当时，，符合;
②当时，
即，可得得，
综上，.
总结：
常见轨迹为直线的情况有以下几种：
1、到两个定点的距离平方之差为定值；
2、到两个定点的距离相等；
3、计算或几何图形可以判断出为直线；
常见轨迹为圆的情况有以下几种：
1、到两个定点的距离之比为定值（不为1）；
2、到两个定圆的切线长之比为定值；
3、到定点的距离与到定圆的切线长之比为定值；
4、到两个定点的距离平方和为定值；
5、与两个定点连线互相垂直；
6、与两个定点各自连线斜率乘积为-1（同5，圆的一部分）；
7、向定圆作两条切线：
①切线夹角为定值；
②围成的四边形面积为定值；
③切线对应向量数量积为定值（此处可能轨迹为一组同心圆）；
8、向椭圆所作切线互相垂直；
常见轨迹为椭圆、双曲线、抛物线：
1、与两个定点连线斜率乘积为定值（除了-1和0之外）；
2、将圆上所有的点的横纵坐标分别按照确定的规律进行放缩可得椭圆.
另外，定义法、相关点法、消参法都可以求出轨迹方程，如果题目中有此类信息，可以考虑先求轨迹方程.
还有一类情形，将曲线上所有的点都按照统一的规则进行旋转、平移、放缩，得到的图形与原图形相似，如题4.
