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2019届二轮复习第7讲 三角恒等变换与解三角形学案（全国通用）
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第7讲 三角恒等变换与解三角形
【p26】
【p26】
年份
卷别
题号
考查内容
命题规律
2018
Ⅰ
17
正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数的基本关系式
Ⅱ
15
三角恒等变换
Ⅲ
4
二倍角公式
9
余弦定理、三角形面积公式
2017
Ⅰ
17
正弦定理、余弦定理、和角公式
Ⅱ
17
三角恒等变换、余弦定理
Ⅲ
17
余弦定理、解三角形
2016
Ⅰ
17
正弦定理、余弦定理、和角公式
Ⅱ
9
诱导公式、倍角公式
13
正弦定理、和角公式
Ⅲ
5
倍角公式
8
正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、解三角形
利用主要三角公式变形求值．
题型1：利用主要三角公式直接变形化简含已知角的三角式并求值．
题型2：已知一个角的三角函数，利用主要的三角公式变形，代换，求值，求含该角的三角式的值．
利用正余弦定理，主要的三角公式、基本不等式等知识，通过转化、方程等思想，经过运算、推理、解三角形及有关问题.
备 考 建 议 【p26】
1．三角函数公式众多，化简方法灵活多变，复习中要熟练掌握三角恒等变换的技巧，加深对三角公式的记忆与内在联系的理解．
2. 解三角形内容应用性较强，命题灵活，在解答题与选择填空题位置均有出现，常规命题是主流，也有与实际问题结合起来命题(如利用三角形求解与测量、航海有关的实际问题)的情况，特别是选择填空题位置需要注意．
典 例 剖 析 【p26】
探究一 给值(式)求角
例1(1)已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β等于( )
A．－ B．－π或
C．－π D.
【解析】选C.
因为tan(α＋β)＝＝＝，所以α＋β＝＋kπ，k∈Z，又α，β∈，所以α＋β＝－π.
【点评】给值求角时，注意角的范围的讨论，最好选择单调函数．
(2)已知A∈(0°，180°)，且满足2sin2＋cos＝2.
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)求sin(A＋10°)·[1－tan(A－10°)]的值．
【解析】(Ⅰ)由2sin2＋cos＝2，
得cos＝2，
即cos＝2cos2，
又A∈(0°，180°)，则∈(0°，90°)，
则cos＞0，故cos＝.
从而＝30°，故A＝60°.
(Ⅱ)由(Ⅰ)sin(A＋10°)·[1－tan(A－10°)]
＝sin 70°·(1－tan 50°)
＝sin 70°·
＝sin 70°·
＝
＝＝－1.
【点评】给角求值时，注意化异角为同角，化切为弦，这样便于发现彼此间的联系．
探究二 给值求值
例2 (1)已知cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝，α∈，则tan的值为( )
A. B. C. D.
【解析】选A.
由二倍角公式得cos 2α＋2sin2α－sin α＝，整理得1－2sin2α＋2sin2α－sin α＝，因此sin α＝，由于α∈，∴cos α＝－，tan α＝＝－，
tan＝＝.
(2)已知α∈，且tan＝3，则lg(8sin α＋6cos α)－lg(4sin α－cos α)＝________．
【解析】1
∵α∈且tan＝3，∴＝3，∴tan α＝，
∴lg(8sin α＋6cos α)－lg(4sin α－cos α)＝lg＝lg＝lg 10＝1.
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换、对数及其运算和同角三角函数的图象及其性质，考查了学生综合知识能力的应用和计算能力．其解题的一般思路为：首先运用正切的和的公式并结合已知条件可计算得到tan α的值，然后运用对数运算的法则以及同角三角函数的基本关系即可将所求的结果，转化为有关tan α的求值问题，最后得出所求的结果．
(3)已知cos＝，－<α<0，则sin＋sin α＝__________．
【解析】－
∵cos＝，－<α<0，
∴sin＝＝，
而sin＝sin
＝sincos－cossin＝，
∴sin α＝sin＝sincos－cossin＝，
sin＋sin α＝＋＝－.
【点评】在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换，如把＋2α变换成2，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－等．注意若将结论中的角用条件中的角表示往往可能较快找到解题的突破口．
探究三 三角形中边角关系
例3(1)在△ABC中，利用正弦定理解三角形时，其中有两解的选项是( )
A．a＝3，b＝6，A＝30°
B．a＝6，b＝5，A＝150°
C．a＝3，b＝4，A＝60°
D．a＝，b＝5，A＝30°
【解析】选D.
有钝角或直角最多一解，B错．由sin B＝，A中sin B＝1，B＝90°，1解，不符．C中sin B＝2>1，无解．D中sin B＝>，B<150°符合两解．选D.
【点评】在己知两边一对角的题型中，有钝角或直角最多一解，己知角所对边为大边，最多一解，其余情况根据三角形内角和180°，大边对大角来判断．
(2)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin C，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【解析】选D.
由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，
得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，
从而b2sin Acos B＝a2cos Asin B
即sin2Bsin Acos B＝sin2Acos Asin B，
所以sin 2B＝sin 2A.
而0＜A＜π，0＜B＜π，
得0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
故2A＝2B或2A＝π－2B.
即A＝B或A＋B＝.
【点评】分析求解与三角形有关的三角函数问题时，一方面应充分注意三角形三内角之间的相互关系和取值范围，并利用三内角和为180°进行角之间的相互转换，另一方面应充分利用正弦定理和余弦定理进行“边与角”的互化．
(3)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________________________________________________________________________．
【解析】
设AB＝c，则AD＝c，BD＝，BC＝，在△ABD中，由余弦定理得cos A＝＝，则sin A＝.在△ABC中，由正弦定理得＝＝，解得sin C＝.
【点评】应用正弦定理、余弦定理解三角形时，要讲究公式的准确恰当运用，同时由正弦定理求角时，一定要利用大边对大角确认是一解还是两解．
1．解三角形常见类型及解法
在三角形的六个元素中要知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：
已知条件
应用定理
一般解决
一边和二角(如a，B，C)
正弦定理
由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c；S△＝acsin B，在有解时只有一解
两边和夹角(如a，b，C)
余弦定理
由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角，再由A＋B＋C＝180°求出另一角．S△＝absin C，在有解时只有一解
三边(a，b，c)
余弦定理
由余弦定理求出角A，B，再利用A＋B＋C＝180°求出角C.S△＝absin C，在有解时只有一解
两边和其中一边的对角(如a，A，b)
正弦定理
由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°求出角C；再利用正弦定理求出c边．S△＝absin C，可有两解、一解或无解
2.确定三角形的形状主要的途径及方法
途径一：化边为角
途径二：化角为边
主
要
方
法
(1)通过正弦定理实现边角互化
(2)通过余弦定理实现边角互化
(3)通过三角变换找出角之间的关系
(4)通过三角函数值的符号以及正、余弦函数有界性判断三角形形状
探究四 三角形中的三角函数
例4 已知在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝.
(1)求角A的大小；
(2)若>，求角C的取值范围．
【解析】(1)由余弦定理得：＝－2cos B，
又＝－2cos B且cos B≠0，
∴＝－2cos B，∴sin 2A＝1，
又∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)∵B＋C＝π，
∴＝＝＋tan C>，
∴tan C>1，又0
1．要能熟练推证公式，熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用．
如两角和与差的正切公式可变形为：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
余弦二倍角公式有多种形式，即cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，变形公式sin2α＝，cos2α＝.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用．
2．对于形如asin α＋bcos α的式子，都可通过合理的变形，借助两角和与差的三角函数公式的逆用，化为只含有一个三角函数的形式，即asin α＋bcos α＝·sin(α＋φ)，这个公式称为辅助角公式，它在解决三角函数问题中具有广泛的应用．
3．三角恒等变换常用方法：正切化弦、常数代换、角的变换、降幂转化、逆用公式、变形后用公式等．
(1)要注意拆角、拼角技巧．例如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，＝－等．
(2)注意倍角的相对性，如α是的倍角，3α是的倍角等．
(3)要注意公式间的内在联系及特点，解题过程中，要善于观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用、逆用和变形应用，也应注意公式成立的条件．
4．三角函数恒等变换易错点
(1)“给角求值”时没有发现角的内在联系造成错解．
一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合三角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)“给值求值”没有运用整体思想造成繁解．
给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”时忽视对角的范围的限制造成增解．
“给值求角”实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调性区间求得角．
5．正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a＝2Rsin A，sin A＝(其中2R为三角形外接圆的直径)，a2＋b2－c2＝2abcos C等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．
6．三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A＋B)＝sin C，sin＝cos 等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数．
7．解三角形问题中的易错提醒：
(1)忽视解的多种情况；如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π，求C，再由正弦定理或余弦定理求边c，但解可能有多种情况．
(2)忽略角的范围；应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围．
(3)忽视解的实际意义；求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合．
高 考 回 眸 【p28】
考题1[2018·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
【解析】(1)在△ABD中，由正弦定理得
＝.
由题设知，＝，所以sin∠ADB＝.
由题设知，∠ADB<90°，
所以cos∠ADB＝＝.
(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC
＝25＋8－2×5×2×
＝25.
所以BC＝5.
【命题立意】本题考查正弦定理、余弦定理，特殊角的三角函数值，考查学生的数形结合能力、转化与化归的能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象．
考题2[2018·全国卷Ⅱ]已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
【解析】－
因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
所以sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1，
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0，
两式相加得2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝2＋2sin(α＋β)＝1，
所以sin(α＋β)＝－.
【命题立意】本题主要考查三角恒等变换，考查学生分析问题、解决问题的能力．考查的数学核心素养是数学运算．
考题3[2018·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，则C＝( )
A. B. C. D.
【解析】选C.
因为S△ABC＝absin C＝＝＝，
所以sin C＝cos C，即C＝，故选C.
【命题立意】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．
考点限时训练 【p122】
A组 基础演练
1．若＝－，则log(sin θ－cos θ)的值为( )
A．－ B. C．－2 D．2
【解析】选C.
＝＝(cos θ－sin θ)＝
－，∴sin θ－cos θ＝.
于是，log(sin θ－cos θ)＝log＝－2.
2.－tan 20°＝( )
A．1 B.
C. D.
【解析】选C.
＝＝＝.
*3.若△PQR的三个顶点坐标分别为P(cos A，sin A)，Q(cos B，sin B)，R(cos C，sin C)，其中A，B，C是△ABC的三个内角且满足A
B．钝角或直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
【解析】选D.
因为△PQR的三个顶点坐标分别为P(cos A，sin A)，Q(cos B，sin B)，R(cos C，sin C)，其中A，B，C是△ABC的三个内角且满足A
4．(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝__________．
【解析】8
注意到tan(α＋β)＝可化为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．
因此：(1＋tan α)[1＋tan(45°－α)]
＝1＋tan α＋tan(45°－α)＋tan α·tan(45°－α)
＝1＋tan 45°·[1－tan αtan(45°－α)]＋tan αtan(45°－α)＝1＋1＝2，
由于20°＋25°＝21°＋24°＝22°＋23°＝45°，故原式＝2·2·2＝8.
5．已知△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A的值为________．
【解析】
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×cos 120°＝49，即c＝7；根据正弦定理＝，解得sin A＝.
*6.若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________．
【解析】
∵sin A＋sin B＝2sin C.
由正弦定理可得a＋b＝2c，
即c＝，cos C＝＝＝≥＝，
当且仅当3a2＝2b2即＝时等号成立．
∴cos C的最小值为.
7．设函数f(x)＝sin＋cos2x＋sin xcos x.
(1)若|x|<，求函数f(x)的值域；
(2) 设A，B，C为△ABC的三个内角，若f＝，cos＝－，求cos C的值．
【解析】(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋＋
sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝2sin＋.
∵|x|<，∴－<2x＋<，
∴－
(2)由f＝，得sin＝1，又A为△ABC的内角，所以A＝，
又因为在△ABC中，cos(A＋C)＝－，所以sin(A＋C)＝，
所以cos C＝cos＝cos＋sin(A＋C)＝.
8．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，∠BEC＝.
(1)求sin∠CED的值；
(2)求BE的长．
【解析】(1)在△CDE中，由余弦定理可得EC2＝CD2＋DE2－2·CD·DE·cos∠EDC，于是由题设可知7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3<0，舍去)．
在△CDE中，令∠CED＝α，由正弦定理可得＝⇒sin α＝＝＝，
即sin∠CED＝.
(2)由题设可得0<α<，于是根据正余弦之间的关系可得cos α＝＝＝，而∠AEB＝－α，
所以cos∠AEB＝cos＝coscos α＋sinsin α＝－cos α＋sin α＝－×＋×＝，
在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝，
所以BE＝＝＝4.
B组 能力提升
9．已知△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，且A＝30°，a＝，b＝2，那么满足条件的△ABC( )
A．有一个解 B．有两个解
C．不能确定 D．无解
【解析】选B.
由余弦定理可得2＝c2＋4－4ccos A，即c2－2c＋2＝0，因判别式Δ＝12－8＝4>0，故C的值有两正解，即满足条件的△ABC有两解，选B.
10．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin B·sin C，则A的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.
在△ABC中，由正弦定理可得sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R为△ABC外接圆的半径)，
由sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C
可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，
∴cos A＝≥，
∴0
C. D．2
【解析】选A.
由题意得：＝，
由正弦定理得，＝，
则sin Asin B－sin Bsin 2C＝sin Asin 2C－sin Bsin 2C，
又sin A≠0，得sin B＝sin 2C，即sin(A＋C)＝sin 2C，
因为，<2C<π，
则A＋C＝2C，得A＝C，即c＝a＝3，且B是锐角，
由sin B＝得cos B＝＝，
由余弦定理得，b2＝2a2－2a2cos B＝3，即b＝，
故选A.
*12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O是△ABC外接圆的圆心，若acos B＝c－b，且＋＝m，则m的值是( )
A. B.
C. D．2
【解析】选C.
因为acos B＝c－b，
由余弦定理得a·＝c－b，
整理得b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝，
即A＝.
因为O是△ABC的外心，
∴·＝2＝c2，
由＋＝m，得
2＋·＝m·
⇒c2＋bccos A＝m×c2
⇒c＋bcos A＝mc
⇒cos B＋cos Acos C＝msin C，
∴m＝2×＝
2×＝
2×＝2sin A＝.
故选C.
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－bcos A＝c，当tan(A－B)取最大值时，角B的值为__________．
【解析】
依题意，由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin，化简得sin Acos B＝3cos Asin B，即tan A＝3tan B．所以tan＝＝＝≤，当且仅当tan2B＝，B＝时等号成立．
*14.已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋sinsin，若x＝x0为函数f(x)的一个零点，则cos 2x0＝__________．
【解析】
由f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋sinsin，
化简可得f(x)＝2sin＋，
又f(x0)＝2sin＋＝0，
得sin＝－<0，
又0≤x0≤得－≤2x0－≤，
所以－≤2x0－≤0，故cos＝.
此时：cos 2x0＝cos＝coscos－sinsin＝.
15．已知向量a＝(2cos2x，)，b＝(1，sin 2x)，函数f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)(x∈R)的单调增区间；
(2)若f＝2，α∈，求sin的值．
【解析】(1)∵a＝(2cos2x，)，b＝(1，sin 2x)，
∴f(x)＝a·b＝2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2)f＝2sin＋1
＝2sin＋1＝2，
∴sin＝－cos 2α＝，
即cos 2α＝－，
∵α∈，∴2α∈[π，2π]，
∴2α＝.
则sin＝sin＝－1.
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A＝，求△ABC的面积．
【解析】(1)由题意得
－＝sin 2A－sin 2B，
即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B，
sin＝sin.
由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，
得2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝.
(2)由c＝，sin A＝，＝，得a＝.
由a
所以，△ABC的面积为S＝acsin B＝.
【p26】
【p26】
年份
卷别
题号
考查内容
命题规律
2018
Ⅰ
17
正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数的基本关系式
Ⅱ
15
三角恒等变换
Ⅲ
4
二倍角公式
9
余弦定理、三角形面积公式
2017
Ⅰ
17
正弦定理、余弦定理、和角公式
Ⅱ
17
三角恒等变换、余弦定理
Ⅲ
17
余弦定理、解三角形
2016
Ⅰ
17
正弦定理、余弦定理、和角公式
Ⅱ
9
诱导公式、倍角公式
13
正弦定理、和角公式
Ⅲ
5
倍角公式
8
正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、解三角形
利用主要三角公式变形求值．
题型1：利用主要三角公式直接变形化简含已知角的三角式并求值．
题型2：已知一个角的三角函数，利用主要的三角公式变形，代换，求值，求含该角的三角式的值．
利用正余弦定理，主要的三角公式、基本不等式等知识，通过转化、方程等思想，经过运算、推理、解三角形及有关问题.
备 考 建 议 【p26】
1．三角函数公式众多，化简方法灵活多变，复习中要熟练掌握三角恒等变换的技巧，加深对三角公式的记忆与内在联系的理解．
2. 解三角形内容应用性较强，命题灵活，在解答题与选择填空题位置均有出现，常规命题是主流，也有与实际问题结合起来命题(如利用三角形求解与测量、航海有关的实际问题)的情况，特别是选择填空题位置需要注意．
典 例 剖 析 【p26】
探究一 给值(式)求角
例1(1)已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β等于( )
A．－ B．－π或
C．－π D.
【解析】选C.
因为tan(α＋β)＝＝＝，所以α＋β＝＋kπ，k∈Z，又α，β∈，所以α＋β＝－π.
【点评】给值求角时，注意角的范围的讨论，最好选择单调函数．
(2)已知A∈(0°，180°)，且满足2sin2＋cos＝2.
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)求sin(A＋10°)·[1－tan(A－10°)]的值．
【解析】(Ⅰ)由2sin2＋cos＝2，
得cos＝2，
即cos＝2cos2，
又A∈(0°，180°)，则∈(0°，90°)，
则cos＞0，故cos＝.
从而＝30°，故A＝60°.
(Ⅱ)由(Ⅰ)sin(A＋10°)·[1－tan(A－10°)]
＝sin 70°·(1－tan 50°)
＝sin 70°·
＝sin 70°·
＝
＝＝－1.
【点评】给角求值时，注意化异角为同角，化切为弦，这样便于发现彼此间的联系．
探究二 给值求值
例2 (1)已知cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝，α∈，则tan的值为( )
A. B. C. D.
【解析】选A.
由二倍角公式得cos 2α＋2sin2α－sin α＝，整理得1－2sin2α＋2sin2α－sin α＝，因此sin α＝，由于α∈，∴cos α＝－，tan α＝＝－，
tan＝＝.
(2)已知α∈，且tan＝3，则lg(8sin α＋6cos α)－lg(4sin α－cos α)＝________．
【解析】1
∵α∈且tan＝3，∴＝3，∴tan α＝，
∴lg(8sin α＋6cos α)－lg(4sin α－cos α)＝lg＝lg＝lg 10＝1.
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换、对数及其运算和同角三角函数的图象及其性质，考查了学生综合知识能力的应用和计算能力．其解题的一般思路为：首先运用正切的和的公式并结合已知条件可计算得到tan α的值，然后运用对数运算的法则以及同角三角函数的基本关系即可将所求的结果，转化为有关tan α的求值问题，最后得出所求的结果．
(3)已知cos＝，－<α<0，则sin＋sin α＝__________．
【解析】－
∵cos＝，－<α<0，
∴sin＝＝，
而sin＝sin
＝sincos－cossin＝，
∴sin α＝sin＝sincos－cossin＝，
sin＋sin α＝＋＝－.
【点评】在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换，如把＋2α变换成2，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－等．注意若将结论中的角用条件中的角表示往往可能较快找到解题的突破口．
探究三 三角形中边角关系
例3(1)在△ABC中，利用正弦定理解三角形时，其中有两解的选项是( )
A．a＝3，b＝6，A＝30°
B．a＝6，b＝5，A＝150°
C．a＝3，b＝4，A＝60°
D．a＝，b＝5，A＝30°
【解析】选D.
有钝角或直角最多一解，B错．由sin B＝，A中sin B＝1，B＝90°，1解，不符．C中sin B＝2>1，无解．D中sin B＝>，B<150°符合两解．选D.
【点评】在己知两边一对角的题型中，有钝角或直角最多一解，己知角所对边为大边，最多一解，其余情况根据三角形内角和180°，大边对大角来判断．
(2)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin C，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【解析】选D.
由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，
得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，
从而b2sin Acos B＝a2cos Asin B
即sin2Bsin Acos B＝sin2Acos Asin B，
所以sin 2B＝sin 2A.
而0＜A＜π，0＜B＜π，
得0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
故2A＝2B或2A＝π－2B.
即A＝B或A＋B＝.
【点评】分析求解与三角形有关的三角函数问题时，一方面应充分注意三角形三内角之间的相互关系和取值范围，并利用三内角和为180°进行角之间的相互转换，另一方面应充分利用正弦定理和余弦定理进行“边与角”的互化．
(3)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________________________________________________________________________．
【解析】
设AB＝c，则AD＝c，BD＝，BC＝，在△ABD中，由余弦定理得cos A＝＝，则sin A＝.在△ABC中，由正弦定理得＝＝，解得sin C＝.
【点评】应用正弦定理、余弦定理解三角形时，要讲究公式的准确恰当运用，同时由正弦定理求角时，一定要利用大边对大角确认是一解还是两解．
1．解三角形常见类型及解法
在三角形的六个元素中要知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：
已知条件
应用定理
一般解决
一边和二角(如a，B，C)
正弦定理
由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c；S△＝acsin B，在有解时只有一解
两边和夹角(如a，b，C)
余弦定理
由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角，再由A＋B＋C＝180°求出另一角．S△＝absin C，在有解时只有一解
三边(a，b，c)
余弦定理
由余弦定理求出角A，B，再利用A＋B＋C＝180°求出角C.S△＝absin C，在有解时只有一解
两边和其中一边的对角(如a，A，b)
正弦定理
由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°求出角C；再利用正弦定理求出c边．S△＝absin C，可有两解、一解或无解
2.确定三角形的形状主要的途径及方法
途径一：化边为角
途径二：化角为边
主
要
方
法
(1)通过正弦定理实现边角互化
(2)通过余弦定理实现边角互化
(3)通过三角变换找出角之间的关系
(4)通过三角函数值的符号以及正、余弦函数有界性判断三角形形状
探究四 三角形中的三角函数
例4 已知在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝.
(1)求角A的大小；
(2)若>，求角C的取值范围．
【解析】(1)由余弦定理得：＝－2cos B，
又＝－2cos B且cos B≠0，
∴＝－2cos B，∴sin 2A＝1，
又∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)∵B＋C＝π，
∴＝＝＋tan C>，
∴tan C>1，又0
1．要能熟练推证公式，熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用．
如两角和与差的正切公式可变形为：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
余弦二倍角公式有多种形式，即cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，变形公式sin2α＝，cos2α＝.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用．
2．对于形如asin α＋bcos α的式子，都可通过合理的变形，借助两角和与差的三角函数公式的逆用，化为只含有一个三角函数的形式，即asin α＋bcos α＝·sin(α＋φ)，这个公式称为辅助角公式，它在解决三角函数问题中具有广泛的应用．
3．三角恒等变换常用方法：正切化弦、常数代换、角的变换、降幂转化、逆用公式、变形后用公式等．
(1)要注意拆角、拼角技巧．例如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，＝－等．
(2)注意倍角的相对性，如α是的倍角，3α是的倍角等．
(3)要注意公式间的内在联系及特点，解题过程中，要善于观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用、逆用和变形应用，也应注意公式成立的条件．
4．三角函数恒等变换易错点
(1)“给角求值”时没有发现角的内在联系造成错解．
一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合三角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)“给值求值”没有运用整体思想造成繁解．
给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”时忽视对角的范围的限制造成增解．
“给值求角”实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调性区间求得角．
5．正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a＝2Rsin A，sin A＝(其中2R为三角形外接圆的直径)，a2＋b2－c2＝2abcos C等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．
6．三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A＋B)＝sin C，sin＝cos 等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数．
7．解三角形问题中的易错提醒：
(1)忽视解的多种情况；如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π，求C，再由正弦定理或余弦定理求边c，但解可能有多种情况．
(2)忽略角的范围；应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围．
(3)忽视解的实际意义；求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合．
高 考 回 眸 【p28】
考题1[2018·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
【解析】(1)在△ABD中，由正弦定理得
＝.
由题设知，＝，所以sin∠ADB＝.
由题设知，∠ADB<90°，
所以cos∠ADB＝＝.
(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC
＝25＋8－2×5×2×
＝25.
所以BC＝5.
【命题立意】本题考查正弦定理、余弦定理，特殊角的三角函数值，考查学生的数形结合能力、转化与化归的能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象．
考题2[2018·全国卷Ⅱ]已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
【解析】－
因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
所以sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1，
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0，
两式相加得2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝2＋2sin(α＋β)＝1，
所以sin(α＋β)＝－.
【命题立意】本题主要考查三角恒等变换，考查学生分析问题、解决问题的能力．考查的数学核心素养是数学运算．
考题3[2018·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，则C＝( )
A. B. C. D.
【解析】选C.
因为S△ABC＝absin C＝＝＝，
所以sin C＝cos C，即C＝，故选C.
【命题立意】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．
考点限时训练 【p122】
A组 基础演练
1．若＝－，则log(sin θ－cos θ)的值为( )
A．－ B. C．－2 D．2
【解析】选C.
＝＝(cos θ－sin θ)＝
－，∴sin θ－cos θ＝.
于是，log(sin θ－cos θ)＝log＝－2.
2.－tan 20°＝( )
A．1 B.
C. D.
【解析】选C.
＝＝＝.
*3.若△PQR的三个顶点坐标分别为P(cos A，sin A)，Q(cos B，sin B)，R(cos C，sin C)，其中A，B，C是△ABC的三个内角且满足A
B．钝角或直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
【解析】选D.
因为△PQR的三个顶点坐标分别为P(cos A，sin A)，Q(cos B，sin B)，R(cos C，sin C)，其中A，B，C是△ABC的三个内角且满足A
4．(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝__________．
【解析】8
注意到tan(α＋β)＝可化为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．
因此：(1＋tan α)[1＋tan(45°－α)]
＝1＋tan α＋tan(45°－α)＋tan α·tan(45°－α)
＝1＋tan 45°·[1－tan αtan(45°－α)]＋tan αtan(45°－α)＝1＋1＝2，
由于20°＋25°＝21°＋24°＝22°＋23°＝45°，故原式＝2·2·2＝8.
5．已知△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A的值为________．
【解析】
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×cos 120°＝49，即c＝7；根据正弦定理＝，解得sin A＝.
*6.若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________．
【解析】
∵sin A＋sin B＝2sin C.
由正弦定理可得a＋b＝2c，
即c＝，cos C＝＝＝≥＝，
当且仅当3a2＝2b2即＝时等号成立．
∴cos C的最小值为.
7．设函数f(x)＝sin＋cos2x＋sin xcos x.
(1)若|x|<，求函数f(x)的值域；
(2) 设A，B，C为△ABC的三个内角，若f＝，cos＝－，求cos C的值．
【解析】(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋＋
sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝2sin＋.
∵|x|<，∴－<2x＋<，
∴－
(2)由f＝，得sin＝1，又A为△ABC的内角，所以A＝，
又因为在△ABC中，cos(A＋C)＝－，所以sin(A＋C)＝，
所以cos C＝cos＝cos＋sin(A＋C)＝.
8．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，∠BEC＝.
(1)求sin∠CED的值；
(2)求BE的长．
【解析】(1)在△CDE中，由余弦定理可得EC2＝CD2＋DE2－2·CD·DE·cos∠EDC，于是由题设可知7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3<0，舍去)．
在△CDE中，令∠CED＝α，由正弦定理可得＝⇒sin α＝＝＝，
即sin∠CED＝.
(2)由题设可得0<α<，于是根据正余弦之间的关系可得cos α＝＝＝，而∠AEB＝－α，
所以cos∠AEB＝cos＝coscos α＋sinsin α＝－cos α＋sin α＝－×＋×＝，
在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝，
所以BE＝＝＝4.
B组 能力提升
9．已知△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，且A＝30°，a＝，b＝2，那么满足条件的△ABC( )
A．有一个解 B．有两个解
C．不能确定 D．无解
【解析】选B.
由余弦定理可得2＝c2＋4－4ccos A，即c2－2c＋2＝0，因判别式Δ＝12－8＝4>0，故C的值有两正解，即满足条件的△ABC有两解，选B.
10．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin B·sin C，则A的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.
在△ABC中，由正弦定理可得sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R为△ABC外接圆的半径)，
由sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C
可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，
∴cos A＝≥，
∴0
C. D．2
【解析】选A.
由题意得：＝，
由正弦定理得，＝，
则sin Asin B－sin Bsin 2C＝sin Asin 2C－sin Bsin 2C，
又sin A≠0，得sin B＝sin 2C，即sin(A＋C)＝sin 2C，
因为
则A＋C＝2C，得A＝C，即c＝a＝3，且B是锐角，
由sin B＝得cos B＝＝，
由余弦定理得，b2＝2a2－2a2cos B＝3，即b＝，
故选A.
*12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O是△ABC外接圆的圆心，若acos B＝c－b，且＋＝m，则m的值是( )
A. B.
C. D．2
【解析】选C.
因为acos B＝c－b，
由余弦定理得a·＝c－b，
整理得b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝，
即A＝.
因为O是△ABC的外心，
∴·＝2＝c2，
由＋＝m，得
2＋·＝m·
⇒c2＋bccos A＝m×c2
⇒c＋bcos A＝mc
⇒cos B＋cos Acos C＝msin C，
∴m＝2×＝
2×＝
2×＝2sin A＝.
故选C.
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－bcos A＝c，当tan(A－B)取最大值时，角B的值为__________．
【解析】
依题意，由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin，化简得sin Acos B＝3cos Asin B，即tan A＝3tan B．所以tan＝＝＝≤，当且仅当tan2B＝，B＝时等号成立．
*14.已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋sinsin，若x＝x0为函数f(x)的一个零点，则cos 2x0＝__________．
【解析】
由f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋sinsin，
化简可得f(x)＝2sin＋，
又f(x0)＝2sin＋＝0，
得sin＝－<0，
又0≤x0≤得－≤2x0－≤，
所以－≤2x0－≤0，故cos＝.
此时：cos 2x0＝cos＝coscos－sinsin＝.
15．已知向量a＝(2cos2x，)，b＝(1，sin 2x)，函数f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)(x∈R)的单调增区间；
(2)若f＝2，α∈，求sin的值．
【解析】(1)∵a＝(2cos2x，)，b＝(1，sin 2x)，
∴f(x)＝a·b＝2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2)f＝2sin＋1
＝2sin＋1＝2，
∴sin＝－cos 2α＝，
即cos 2α＝－，
∵α∈，∴2α∈[π，2π]，
∴2α＝.
则sin＝sin＝－1.
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A＝，求△ABC的面积．
【解析】(1)由题意得
－＝sin 2A－sin 2B，
即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B，
sin＝sin.
由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，
得2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝.
(2)由c＝，sin A＝，＝，得a＝.
由a
所以，△ABC的面积为S＝acsin B＝.
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