2019届二轮复习第5讲选择题技法攻略学案（全国通用）

第五讲　选择题技法攻略

技法指导

方法诠释
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．
适用范围
涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.
【例1】　(1)(2018·吉林长春二模)关于函数y＝2sin＋1，下列叙述有误的是(　　)
A．其图象关于直线x＝－对称
B．其图象可由y＝2sin＋1的图象上所有点的横坐标变为原来的得到
C．其图象关于点对称
D．其值域是[－1,3]
(2)(2018·湖南永州二模)在等差数列{an}中，2a7＝a9＋7，则数列{an}的前9项和S9等于(　　)
A．21 B．35
C．63 D．126
[解题指导]　
(1)→→
(2)→→
[解析]　(1)关于函数y＝2sin＋1，令x＝－，求得y＝－1为函数的最小值，故A项正确；将y＝2sin＋1的图象上各点的横坐标变为原来的倍，可得y＝2sin＋1的图象，故B项正确；令x＝，求得y＝1，可得函数的图象关于点对称，故C项错误；函数的值域为[－1,3]，故D项正确．故选C．
(2)∵在等差数列{an}中，2a7＝a9＋7，
∴2(a1＋6d)＝a1＋8d＋7.化简得a1＋4d＝a5＝7.
∴数列{an}的前9项和S9＝(a1＋a9)＝9a5＝63.故选C．
[答案]　(1)C　(2)C



本例中(1)涉及正弦函数的性质，(2)为数列的基本运算，两题直接法求解比较简单．在扎实掌握“三基”的基础上，准确把握题目特点，可快速地直接法求解．注意平时多记忆，多积累，快而准，避免快中出错．

[对点训练]
1．(2017·浙江卷)椭圆＋＝1的离心率是(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　由椭圆方程＋＝1可知，a＝3，c＝＝，所以e＝.
[答案]　B
2．(2018·安徽合肥一检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为(　　)
A．4π B．8π
C．9π D．36π
[解析]　因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以c＝bcosA＋acosB＝2，由cosC＝得sinC＝，再由正弦定理可得2R＝＝6，即R＝3.所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π，故选C．
[答案]　C

方法诠释
从题干(或选项)出发，通过选取构造特殊情况代入，将问题特殊化，再进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等．
运用范围
适用于题目中含有字母且具有一般性结论的选择题，如定性定值问题.
【例2】　(1)(2018·泰安质检)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2018·杭州模拟)已知函数f(x)满足：f(m＋n)＝f(m)·f(n)，f(1)＝3，则＋＋＋的值等于(　　)
A．36 B．24
C．18 D．12

[解析]　(1)因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以不妨设a＝(1,0)，b＝，则2a－b＝，所以a·(2a－b)＝，故cos〈a,2a－b〉＝＝＝.
(2)取特殊函数，根据条件可设f(x)＝3x，
则有＝＝6，
所以＋＋＋＝6×4＝24，故选B．
[答案]　(1)D　(2)B



　特例法解选择题应注意的两点
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．

[对点训练]
3．已知点E为△ABC的重心，AD为BC边上的中线，令＝a，＝b，过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且＝ma，＝nb，则＋＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．
[解析]　由于题中直线PQ的条件是过点E，所以该直线是一条“动”直线，又因为最后的结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．

解法一：如图1，PQ∥BC，则＝，＝，此时m＝n＝，故＋＝3.
解法二：如图2，取直线BE作为直线PQ，显然，此时＝，＝，故m＝1，n＝，所以＋＝3.
[答案]　A
4.如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P、Q满足A1P＝BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为(　　)

A．3∶1
B．2∶1
C．4∶1
D．∶1
[解析]　将P、Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有VC－AA1B＝VA1－ABC＝.故选B．
[答案]　B

方法诠释
排除法也叫筛选法或淘汰法，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个选项进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得唯一正确的结论．
适用范围
适用于定性型或直接法解决问题很困难或计算较繁的情况.
【例3】　(1)函数f(x)＝的图象是(　　)

(2)设函数f(x)＝若f(x0)>3，则x0的取值范围为(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0,2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D．(－1,3)
[解题指导]　(1)→
→→→
(2)→→
[解析]　(1)因为x≠±1，所以排除A；因为f(0)＝1，所以函数f(x)的图象过点(0,1)，排除D，因为f＝＝，所以排除B，故选C．
(2)取x0＝1，则f(1)＝＋1＝<3，故x0≠1，排除B、D；取x0＝3，则f(3)＝log28＝3，故x0≠3，排除A，故选C．
[答案]　(1)C　(2)C



　排除法的应用技巧
当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．

[对点训练]
5．(2018·郑州检测)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(　　)
A．[－1,2] B．[－1,0]
C．[1,2] D．[0,2]
[解析]　若a＝－1，则f(x)＝
易知f(－1)是f(x)的最小值，排除A，B；
若a＝0，则f(x)＝易知f(0)是f(x)的最小值，排除C．故D正确．
[答案]　D
6．函数y＝2x2－e|x|在区间[－2,2]上的图象大致为(　　)

[解析]　f(2)＝8－e2>8－2.82>0，
f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除A，B，
当x>0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，
当x∈，f′(x)<×4－e0＝0，
因为f(x)在区间上单调递减，排除C．
[答案]　D

方法诠释
数形结合法就是根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，利用函数图象或数学表达式的几何意义，将数学问题(如解方程、解不等式、求最值范围等)某些图形结合起来，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫图解法．
适用范围
常用于函数、向量、解析几何或含有几何意义的命题等问题中.
【例4】　(1)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
(2)已知a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则(　　)
A．a⊥e B．a⊥(a－e)
C．e⊥(a－e) D．(a＋e)⊥(a－e)
[快速审题]　(1)看到f(x)的解析式中有对数型函数，及|f(x)|的出现，想到数形结合，通过图象求解．
(2)看到向量的模，想到距离，看到|e|＝1，想到e的几何意义．结合选项，想到判断向量a－e与a，e，(a＋e)的关系．
[解题指导]　(1)→
(2)→→

[解析]　(1)函数y＝|f(x)|的图象如图所示．
①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立．
②当a>0时，只需在x>0时，ln(x＋1)≥ax成立．比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．
③当a<0时，只需x<0时，x2－2x≥ax成立，即a≥x－2成立，∴a≥－2.
综上所述：－2≤a≤0.故选D．

(2)如图，设＝a，＝e，则||，|a－te|表示连接点A与直线OE上的点的线段的长度d，由题意，||为d的最小值，此时⊥，即e⊥(a－e)，故选C．
[答案]　(1)D　(2)C



　数形结合法的应用技巧
数形结合法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果．不过，运用数形结合法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择．

[对点训练]
7．(2018·福建质检)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　

设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，因为|OB|＝a，所以|OA|＝a，所以点A的坐标为，又点A在椭圆上，所以＋＝1，所以a2＝3b2，所以a2＝3(a2－c2)，所以3c2＝2a2，所以椭圆的离心率e＝＝，故选D．
[答案]　D
8．函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3

[解析]　由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝lnx(x>0)的图象，如图所示．
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
[答案]　C


方法诠释
由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量．

适用范围
在数据繁多、计算复杂、精度要求并不太高的情况下，进行粗略计算.
【例5】　(1)若Ω为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过Ω中的那部分区域的面积为(　　)
A． B．1
C． D．2
(2)如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为(　　)

A． B．5
C．6 D．
[解题指导]　(1)→→
→
(2)→
→

[解析]　(1)如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比1大，比S△OAB＝×2×2＝2小．
(2)可连接BE，CE，

问题转化为四棱锥E－ABCD与三棱锥E－BCF的体积之和，而VE－ABCD＝S·h＝×9×2＝6.
所以只有选项D符合题意．
[答案]　(1)C　(2)D



　估算法的应用技巧
估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项．

[对点训练]
9．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π.若f(x)>1对于任意的x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　因为函数f(x)的最小值为－2＋1＝－1，由函数f(x)的图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T＝π，所以＝π，解得ω＝2.
故f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.
由f(x)>1，可得sin(2x＋φ)>0.
又x∈，所以2x∈.
对于选项B，D，若取φ＝，则2x＋∈，在上，sin(2x＋φ)<0，不合题意；对于选项C，若取φ＝，则2x＋∈，在上，sin(2x＋φ)<0，不合题意．故选A．
[答案]　A
10．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是(　　)
A．π B．π
C．4π D．π
[解析]　球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r＝，则S球＝4πR2≥4πr2＝>5π，只有D选项符合，故选D．
[答案]　D

方法诠释
概念辨析法是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目一般是给出一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心．

适用范围
适用于考查数学定义、概念的内涵与外延相关的题目.
【例6】　(1)(2018·北京卷)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为(　　)

A．4－ B．8－
C．8－π D．8－2π
[解题指导]　(1)→→
(2)→→
[解析]　(1)∵＝＝＋i，∴其共轭复数为－i，又－i在复平面内对应的点在第四象限，故选D．
(2)由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱．
V正方体＝23＝8，V半圆柱＝(π×12)×2＝π，
∴三视图对应几何体的体积V＝8－π.
根据祖暅原理，不规则几何体的体积V′＝V＝8－π.
[答案]　(1)D　(2)C



　概念辨析法的应用技巧
创新定义问题要求考生在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的信息进行有效整合，并转化为熟悉的知识加以解决．

[对点训练]
11．下列命题是真命题的是(　　)
A．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
B．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋cosβ
C．向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，则a在b的方向上的投影为2
D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件
[解析]　当φ＝时，f(x)＝cos2x，其为偶函数，故A为假命题；令α＝，β＝－，则cos(α＋β)＝cos＝，cosα＋cosβ＝＋0＝，cos(α＋β)＝cosα＋cosβ成立，故B为真命题；设a与b的夹角为θ，则a在b的方向上的投影为＝＝－2，故C为假命题；|x|≤1，－1≤x≤1，故充分性成立，若x≤1，|x|≤1不一定成立，故为充分不必要条件，D为假命题．
[答案]　B
12．(2018·西安质检)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　)
A．x＋2y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
[解析]　因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(2,0)，B(0,4)，故AB的中点为(1,2)，kAB＝－2，故AB的中垂线为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，故选C．
[答案]　C

1．解答选择题的策略
充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简
解法等．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．初选后认真检验，确保准确．
2．解答选择题的原则
小题巧解，小题不能大做.
专题跟踪训练(五)
1．[直接法](2018·广西三市第一次联考)在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　由题可知该组数据的极差为48－20＝28，则该组数据的中位数为61－28＝33，易得被污染的数字为2.
[答案]　B
2．[直接法](2018·湖南永州三模)已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：
①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.
其中一定正确的结论是(　　)
A．①② B．①③④
C．①③ D．①②④
[解析]　∵a1＋5a3＝S8，∴a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，∴a1＝－9d，∴an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，∴a10＝0，故①一定正确，∴Sn＝na1＋＝－9nd＋＝(n2－19n)，∴S7＝S12，故③一定正确，显然②S10最小与④S20＝0不一定正确，故选C．
[答案]　C
3．[特例法]计算＝(　　)
A．－2 B．2
C．－1 D．1
[解析]　取α＝，则原式＝
＝＝1.故选D．
[答案]　D
4．[特例法]已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A＝60°，·＋·＝2m·，则m的值为(　　)
A． B．
C．1 D．
[解析]　

如图，当△ABC为正三角形时，∠A＝∠B＝∠C＝60°，取D为BC的中点，＝，则有＋＝2m·，
∴(＋)＝2m×，
∴·2＝m，∴m＝.
故选A．
[答案]　A
5．[排除法](2018·重庆一诊)若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,1) B．(－1,2)
C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
[解析]　当a＝0时，P(1,1)，Q(3,0)，因为kPQ＝＝－<0，此时过点P(1,1)，Q(3,0)的直线的倾斜角为钝角，排除C，D；当a＝1时，P(0,2)，Q(3,2)，因为kPQ＝0，不符合题意，排除B，选A．
[答案]　A
6．[排除法](2018·武汉二检)函数f(x)＝sin2x＋eln|x|图象的大致形状是(　　)

[解析]　因为f(x)＝sin2x＋eln|x|，所以f(－x)＝－sin2x＋eln|x|.
显然f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，所以函数f(x)为非奇非偶函数，可排除A，C．由f＝－1＋<0，可排除D．选B．
[答案]　B
7．[图解法]已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为(　　)

A．60° B．90°
C．120° D．150°
[解析]　如图，因为〈a，b〉＝120°，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所以在△OBC中，BC与CO的夹角为90°，即a与c的夹角为90°.
[答案]　B
8．[图解法](2018·东北三校联考)函数f(x)＝|x－1|＋2cosπx(－2≤x≤4)的所有零点之和等于(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
[解析]　由f(x)＝|x－1|＋2cosπx＝0，
得|x－1|＝－2cosπx，
令g(x)＝|x－1|(－2≤x≤4)，
h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)，
又因为g(x)＝|x－1|＝
在同一坐标系中分别作出函数g(x)＝|x－1|(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)的图象(如图)，

由图象可知，
函数g(x)＝|x－1|关于x＝1对称，
又x＝1也是函数h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)的对称轴，
所以函数g(x)＝|x－1|(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)的交点也关于x＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.
[答案]　C
9．[估算法]图中阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是(　　)


[解析]　由题图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B．
[答案]　B
10．[估算法]已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积是(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　容易得到△ABC的面积为，而三棱锥的高一定小于球的直径2，所以V<××2＝，立即排除A、C、D，答案选B．
[答案]　B
11．[概念辨析法](2018·南昌一模)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sinα>sinβ”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]　若α＝2π＋，β＝，α>β，但sinα＝sinβ，若α＝，β＝2π＋，sinα>sinβ，但此时α>β不成立，因而“α>β”是“sinα>sinβ”的既不充分也不必要条件．
[答案]　D
12．[概念辨析法](2018·襄阳调研)非空集合A中的元素个数用(A)表示，定义(A－B)＝若A＝{－1,0}，B＝{ 2－2x－3|＝a}，且(A－B)≤1，则实数a的所有可能取值为(　　)
A．{a|a≥4} B．{a|a>4或a＝0}
C．{a|0≤a≤4} D．{a|a≥4或a＝0}

[解析]　因为A＝{－1,0}，所以集合A中有2个元素，即(A)＝2.因为B＝{ 2－2x－3|＝a}，所以(B)就是函数f(x)＝|x2－2x－3|的图象与直线y＝a的交点个数，作出函数f(x)的图象如图所示．
由图可知，(B)＝0或(B)＝2或(B)＝3或(B)＝4.
①当(A)≥(B)时，又(A－B)≤1，则(B)≥(A)－1，所以(B)≥1，又(A)≥(B)，所以1≤(B)≤2，所以(B)＝2，由图可知，a＝0或a>4；
②当(A)<(B)时，又(A－B)≤1，则(B)≤(A)＋1，即(B)≤3，又(A)<(B)，所以2<(B)≤3，所以(B)＝3，由图可知，a＝4.
综上所述，a＝0或a≥4，故选D．
[答案]　D