2019届二轮复习第6讲　平面向量学案（全国通用）

第6讲　平面向量

1.(1)[2018·全国卷Ⅰ] 在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则= (　　)

A.- B.- C.+ D.+

(2)[2018·全国卷Ⅲ] 已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　. 

[试做] 

命题角度　向量的线性运算

①观察各向量的位置;

②寻找相应的三角形或多边形;

③运用三角形法则或平行四边形法则找关系;

④用好平面向量的基本定理和共线定理.

2.(1)[2017·全国卷Ⅱ] 已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是(　　)

A.-2  B.-  C.-  D.-1

(2)[2018·全国卷Ⅱ] 已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　)

A.4  B.3  C.2  D.0

[试做] 

命题角度　数量积公式及应用

①根据需要,灵活变形数量积公式求解.

②利用数量积与共线定理可以解决垂直、平行、夹角问题.

③建立坐标系,利用平面向量的坐标运算解题.

小题1平面向量的线性运算

1 (1)已知a=(2,m),b=(1,-2),若a∥(a+2b),则m= (　　)

A.-4   B.4

C.0   D.-2

(2)在△ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数λ和μ,使得=λ+μ,则λ+μ= (　　)

A.   B.-

C.2   D.-2

[听课笔记]   

【考场点拨】

向量的线性运算问题的两点注意:

(1)注意尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量,运用向量加﹑减法运算及数乘运算来求解.

(2)注意结论的使用:O为直线AB外一点,若点P在直线AB上,则有=α+β(α+β=1);若点P满足=,则有=+.

【自我检测】

1.已知向量a=(m,1),b=(1,m),则“m=1”是“a∥b”的 (　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

2.已知O是正三角形ABC的中心,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则的值为 (　　)

A.-   B.-

C.-   D.2

3.已知a=(3,-2m),b=(1,m-2)是同一平面内的两个向量,且该平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是 (　　)

A.  B.∪

C.(-∞,2)   D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

4.如图M2-6-1所示,在正方形ABCD中,P为DC边上的动点,设向量=λ+μ,则λ+μ的最大值为　　　　. 

图M2-6-1

小题2平面向量的数量积及应用

2 (1)已知向量a与b的夹角是,且|a|=1,|b|=2,若(a+λb)⊥a,则实数λ= (　　)

A.   B.-

C.   D.-

(2)已知在△OAB中,OA=OB=2,AB=2,动点P位于线段AB上,则当·取最小值时,向量与的夹角的余弦值为　　        　. 

[听课笔记]   

【考场点拨】

平面向量数量积问题难点突破:(1)借“底”数字化,要先选取一组合适的基底,这是把平面向量“数化”的基础;(2)借“系”坐标化,数形结合,建立合适的平面直角坐标系,将向量的数量积运算转化为坐标运算.

【自我检测】

1.已知两个单位向量a,b的夹角为,则(2a+b)·(a-b)=(　　)

A.1   B.-1

C.   D.-

2.已知向量a,b满足a=(1,),|b|=1,|a+b|=,则a,b的夹角α为 (　　)

A.   B.

C.   D.

3.已知菱形ABCD的一条对角线BD的长为2,点E满足=,点F为CD的中点.若·=-2,则·=　　　　. 

4.若平面向量e1,e2满足|e1|=|3e1+e2|=2,则e1在e2方向上投影的最大值是　　　　. 

第6讲　平面向量

典型真题研析

1.(1)A　(2)　[解析] (1)因为AD为中线,E为AD的中点,所以=+=+=×(+)+(-)=-.

(2)由已知得2a+b=(4,2),由c∥(2a+b)可得=,所以λ=.

2.(1)B　(2)B　[解析] (1)建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(1,).设P(x,y),则·(+)=(-x,-y)·[(2-x,-y)+(1-x,-y)]=(x,y)·(2x-3,2y-)=x(2x-3)+y(2y-)=2x2-3x+2y2-y=2+2-≥-,当且仅当x=,y=时,等号成立,点在平面ABC内部,此时·(+)取得最小值,最小值为-.

(2)a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2-(-1)=3.

考点考法探究

小题1

例1　(1)A　(2)B　[解析] (1)根据题意,a=(2,m),b=(1,-2),

则a+2b=(4,m-4),

若a∥(a+2b),则有4m=2(m-4),即m-4=2m,

解得m=-4.故选A.

(2)因为点D在边BC上,所以存在t∈R,使得=t=t(-).

因为M是线段AD的中点,所以

=(+)=(-+t-t)=-(t+1)+t,

又=λ+μ,所以λ=-(t+1),μ=t,

所以λ+μ=-.故选B.

【自我检测】

1.A　[解析] 向量a=(m,1),b=(1,m),

若a∥b,则m2=1,解得m=±1,

所以“m=1”是“a∥b”的充分不必要条件.

故选A.

2.C　[解析] 延长CO交AB于点D.

∵==×(+)=(-+-)=-,

∴λ=,μ=-,∴=-.

3.B　[解析] 由题意可知,平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c=λa+μb,

∴a,b是一组基底,

∴a,b不共线,

则3(m-2)≠-2m,

解得m≠,

故m的取值范围是∪.故选B.

4.3　[解析] 以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系(图略),设正方形ABCD的边长为2,

则C(2,2),B(2,0),D(0,2),P(x,2),x∈[0,2],

∴=(2,2),=(2,-2),=(x,2).∵=λ+μ,

∴

∴

∴λ+μ=.

令f(x)=(0≤x≤2),

∵f(x)在[0,2]上单调递减,

∴f(x)max=f(0)=3,故λ+μ的最大值为3.

小题2

例2　(1)B　(2)-　[解析] (1)因为|a|=1,|b|=2,且向量a与b的夹角为,所以a·b=|a|·|b|cos=1.

因为(a+λb)⊥a,所以(a+λb)·a=a2+λa·b=+λ=0,

所以λ=-.

(2)因为OA=OB=2,AB=2,所以∠OAB=,

所以·=·(+)=||2+||·||cos=||2-||=-,

当且仅当||=时,·取得最小值-,此时||==,

所以向量与的夹角的余弦值为=-.

【自我检测】

1.C　[解析] (2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b2=2-1×1×cos-1=.

2.C　[解析] 由题得|a|==2,∵|a+b|=,

∴a2+2a·b+b2=3,∴4+1+2×2×1·cos α=3,

∴cos α=-.∵α∈[0,π],∴α=π.

3.-7　[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,设C(t,0)(t>0),则A(-t,0),B(0,-1),D(0,1),

E,F,∴=(t,1),=,=(-t,1),=.

∵·=-2,∴-t2+=-2,解得t2=5,

∴·=-t2+=-7.

4.-　[解析] 由|e1|=|3e1+e2|=2,可得

∴4=36+6|e1|·|e2|cos<e1,e2>+,

∴e1在e2方向上的投影为|e1|cos<e1,e2>==-≤-×2=-,当且仅当|e2|=,即|e2|=4时,等号成立.

 [备选理由] 例1考查向量的模,通过转化为二次函数的形式求最值;例2进一步强化平面向量数量积的运算,是对例题的补充强化.

例1　[配例1使用] 已知点A(4,3)和点B(1,2),点O为坐标原点,则|+t|(t∈R)的最小值为 (　　)

A.5   B.5

C.3   D.

[解析] D　由题意得=(4,3),=(1,2),则

|+t|==,

结合二次函数的性质可得,当t=-2时,|+t|取得最小值,此时|+t|==.

例2　[配例2使用] 已知腰长为2的等腰直角三角形ABC中,M为斜边AB的中点,点P为该平面内一动点,若||=2,则(·+4)·的最小值为　　　　. 

[答案] 48-32

[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-,-),B(,-),M(0,-).

设P(2cos θ,2sin θ),则=(--2cos θ,--2sin θ),=(-2cos θ,--2sin θ),=(-2cos θ,-2sin θ),=(-2cos θ,--2sin θ),

∴(·+4)·=8(sin θ+2)2,

∴当sin θ=-1时,上式取得最小值,最小值为48-32.