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2019届二轮复习第6讲填空题技法攻略学案（全国通用）
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第六讲 填空题技法攻略
技法指导
方法诠释
直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法．
适用范围
涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目.
【例1】 (1)(2018·合肥质检)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝ .
(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为 ．
[解题指导] (1)→
(2)→
→
[解析] (1)a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.
(2)不妨设点M、N在渐近线y＝x上，如图，△AMN为等边三角形，且|AM|＝b，
则A点到渐近线y＝x的距离为b，又将y＝x变形为一般形式为bx－ay＝0，则A(a,0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝＝，所以＝b，即＝，
所以双曲线的离心率e＝＝.
[答案] (1)－6 (2)
直接法求解填空题的关键
利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．
[对点训练]
1．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是 ．
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2D．所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.
[答案] 20
2．(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是 ．
[解析] ∵函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，∴x＝时，函数取得最大值或最小值，
∴sin＝±1.
∴＋φ＝kπ＋(k∈ )，
∴φ＝kπ－(k∈ )，
又－<φ<，∴φ＝－.
[答案] －
方法诠释
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．
适用范围
适用于含有字母且具有定性定值的填空题，结果要唯一.
【例2】 (1)cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值为 ．
(2)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝ .
[解题指导] (1)→→
(2)→→
[解析] (1)令α＝0，则原式＝cos20＋cos2120°＋cos2240°＝.
(2)若四边形ABCD为矩形，建立平面直角坐标系，如图所示．
由＝3，＝2，
知M(6,3)，N(4,4)，
∴＝(6,3)，＝(2，－1)，
·＝6×2＋3×(－1)＝9.
[答案] (1) (2)9
特例法求解填空题的技巧
求值或比较大小等问题的求解均可利用特例法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．
[对点训练]
3．一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为 ．
[解析] 令n＝1，则a1＝48，a1＋a2＝60，
所以a2＝60－48＝12，
所以S3＝3a2＝36.
[答案] 36
4．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·＝ .
[解析] 解法一：如图，可取过焦点的直线为x＝，求出交点A，B，所以·＝×＋1×(－1)＝－.
解法二：设点A(xA，yA)，点B(xB，yB)，由题意，知p＝1.
设AB的方程为y＝k，联立消去x得ky2－2y－k＝0∴yAyB＝－1，∴xAxB＝·＝.则·＝(xA，yA)·(xB，yB)＝xAxB＋yAyB＝－1＝－.
[答案] －
方法诠释
对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．
适用范围
适用于几何意义一般较为明显的题目，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等.
【例3】 (1)设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是 ．
(2)(2018·贵阳模拟)若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是 ．
[快速审题] (1)看到集合A，想到圆，看到集合B，想到直线表示的区域，想到数形结合，借助图形求解．
(2)看到不等式的结构特征，想到函数y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的图象，想到数形结合，通过图象求解．
[解题指导]
[解析] (1)
集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有＝1，又m>0，所以m＝－1，故m的取值范围是m≥－1.
(2)
作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.
[答案] (1)[－1，＋∞) (2)
数形结合法求解填空题的要点
平面几何图形、Venn图、函数的图象等，都是常用的图形．利用函数图象或某些数学知识的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，再辅以简单计算，确定正确答案，从而有效地降低这类客观题的错误率．
[对点训练]
5．已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2＋y2－6x＋9的取值范围是 ．
[解析]
画出可行域如图，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方，
∴d＝2＝()2＝2.
最大值为点Q到点A的距离的平方，
∴d＝16.
∴取值范围是[2,16]．
[答案] [2,16]
6．不等式－kx＋1≤0的解集非空，则k的取值范围为 ．
[解析] 由－kx＋1≤0，得≤kx－1，
设f(x)＝，g(x)＝kx－1，其中－2≤x≤2.
如图，作出函数f(x)，g(x)的图象，不等式的解集非空，即直线l和半圆有公共点．
由图可知kAC＝＝－，
kBC＝＝.
所以k的取值范围为∪.
[答案] ∪
方法诠释
构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．
适用范围
适用于构造函数、数列、几何图形的题目.
【例4】 (1)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意实数x，有f(x)>f′(x)，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)
[解析] (1)令g(x)＝，则g′(x)＝＝<0.∴g(x)在R上是减函数．又y＝f(x)－1为奇函数，∴f(0)－1＝0，∴f(0)＝1，g(0)＝1，∴原不等式等价于g(x)＝<1＝g(0)，∴x>0.故不等式的解集为{x|x>0}．
(2)∵an＝an－1＋3n(n∈N ，n≥2)，
∴－＝3.又∵a1＝3，∴＝1.
∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
∴＝1＋3(n－1)＝3n－2，则an＝(3n－2)·3n.
[答案] (1){x|x>0} (2)(3n－2)·3n
构造法解填空题的技巧
构造法解填空题，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它 于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．
[对点训练]
7.如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于 ．
[解析]
如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD＝＝2R，所以R＝，故球O的体积V＝＝π.
[答案] π
8．(2018·重庆一中模拟)春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率为0.8，鼻炎发作且感冒的概率为0.6，则此人在鼻炎发作的条件下，感冒的概率为 ．
[解析] 设某人鼻炎发作为事件A，某人感冒发作为事件B，则P(A)＝0.8，P(AB)＝0.6，∴P(B|A)＝＝＝0.75.
[答案] 0.75
方法诠释
做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．
适用范围
适用于与正整数n有关和逻辑推理方面的问题.
【例5】 (1)(2018·山西孝义模拟)有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个．若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是 ．
(2)(2018·西安模拟)观察下列各式：
C＝40；
C＋C＝41；
C＋C＋C＝42；
C＋C＋C＋C＝43；
……
照此规律，当n∈N 时，
C＋C＋C＋…＋C＝ .
[解析] (1)若1号是第1名，则甲错，乙对，丙对，丁对，不符合题意；
若2号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；
若3号是第1名，则甲对，乙对，丙错，丁错，不符合题意；
若4号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；
若5号是第1名，则甲对，乙对，丙对，丁错，不符合题意；
若6号是第1名，则甲错，乙错，丙对，丁错，符合题意．
故猜对者是丙．
(2)由题意知C＋C＋C＋…＋C＝4n－1.
[答案] (1)丙 (2)4n－1
归纳推理法求解填空题的技巧
归纳推理法多用于新定义型填空题，只要能读懂题意，认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，关键是找准归纳的对象．
[对点训练]
9．观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是 ．
[解析] 观察表中数据，并计算F＋V分别为11,12,14，又其对应E分别为9,10,12，容易观察并猜想F＋V－E＝2.
[答案] F＋V－E＝2
10．(2018·兰州模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N ,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝ .
[解析] ∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.
[答案] n2
方法诠释
多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论．
适用范围
适用于从多个命题或结论中选出满足条件的命题或结论.
【例6】 (1)(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是 ．(填写所有正确结论的编号)
(2)下列结论：
①若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”成立的一个充分不必要条件是“x＝2，且y＝1”；
②存在a>1，x>0，使得ax
④在锐角△ABC中，若sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则必有A＝2B；
⑤平面上的动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1的点P的轨迹方程为y2＝4x.
其中正确结论的序号为 ．(填写所有正确的结论序号)
[解题指导] (1)→→
(2)→
[解析] (1)
由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝，
过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF，∴BF＝DE＝，
∴△ABF为等边三角形，∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误．
由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．
∴正确的说法为②③.
(2)对于①，显然当x＝2且y＝1时，有x＋2y＝2成立，但当x＋2y＝2时，并不一定能得到x＝2和y＝1，故①正确；对于②，取a＝，x＝3，有()3
正反互推法求解填空题的技巧
正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能．两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断．利用正反互推结合可以快速解决这类问题．
[对点训练]
11．给出以下四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④若ab是正整数，则a，b都是正整数．
其中真命题是 ．(写出所有真命题的序号)
[解析] ①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．故真命题为①③.
[答案] ①③
12．若函数y＝f(x)对定义域D内的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使得f(x1)·f(x2)＝1成立，则称f(x)为“自倒函数”，给出下列四个命题：
①f(x)＝sinx＋是自倒函数；
②自倒函数f(x)的值域可以是R；
③自倒函数f(x)可以是奇函数；
④若y＝f(x)，y＝g(x)都是自倒函数，且定义域相同，则y＝f(x)·g(x)也是自倒函数．
则以上命题正确的是 (写出所有正确命题的序号)．
[解析] 对于①，不妨任取x1∈，则f(x1)∈[－1，＋1]，所以f(x2)＝∈[－1，＋1]．又f(x)在上单调递增，故满足题意，故①正确；对于②，若函数f(x)的值域为R，不妨取f(x1)＝0，则在其定义域内不存在x2，使得f(x1)·f(x2)＝1成立，故②不正确；对于③，设函数f(x)＝，易知f(x)满足题意，显然f(x)为奇函数，故③正确；对于④，取f(x)＝x，x∈(0，＋∞)，g(x)＝，x∈(0，＋∞)，则f(x)，g(x)是自倒函数．但y＝f(x)·g(x)＝x·＝1不是自倒函数，因为对y＝f(x)·g(x)的定义域内的任意x1，x2，都有f(x1)·f(x2)＝1，故④不正确，故填①③.
[答案] ①③
1.解答填空题的策略
填空题的结果必须准确、规范，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”．
2.解答填空题的原则
专题跟踪训练(六)
1．[直接法]对于锐角α，若sin＝，则cos＝ .
[解析] 由α为锐角，且sin＝，可得cos＝，则cos＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝，于是cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.
[答案] －
2．[直接法]已知(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x的系数为2，则实数a的值为 ．
[解析] 因为(1－2x)5的展开式中的常数项为1，x的系数为C×(－2)＝－10；(1＋ax)4的展开式中的常数项为1，x的系数为Ca＝4a，所以(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x的系数为1×4a＋1×(－10)＝2，所以a＝3.
[答案] 3
3．[特例法]已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是 ．
[解析] 令an＝n，则＝＝.
[答案]
4．[特例法]如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为 ．
[解析]
要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点即可．故可以将三条棱长分别取为OA＝6，OB＝4，OC＝2，如图，则可计算S1＝3，S2＝2，S3＝，故S3
[解析] 分别作出函数y＝和y＝|lgx|的图象如图，
不妨设0|lgx2|，
∴－lgx1>lgx2，即lgx1＋lgx2<0，∴0
6．[图解法](2018·陕西师大附中二模)直线y＝x与函数f(x)＝的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 ．
[解析] 画出图象如下图所示．由图可知，当m＝－1时，两个函数图象恰好有3个公共点．将x＝－1向右平移到x＝2的位置，此时函数图象与y＝x只有两个公共点，故m的取值范围是[－1,2)．
[答案] [－1,2)
7．[构造法]已知m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面．给出下列命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α，或n⊥β；
②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，且n∥β.
其中正确的命题序号是 ．
[解析]
①错误．如图在正方体中，平面ABB′A′⊥平面ADD′A′，交线为AA′.直线AC⊥AA′，但AC不垂直平面ABB′A′，同时AC也不垂直平面ADD′A′；②正确．实质上是两平面平行的性质定理；③错误．如图中的正方体所示，直线AC不垂直于平面A′B′C′D′，但AC⊥B′D′，所以AC垂直于平面A′B′C′D′内与直线B′D′平行的无数条直线；④正确．利用线面平行的判定定理和性质定理即可得到．
[答案] ②④
8．[构造法]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1，则{an}的通项公式为 ．
[解析] 由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以an＋＝·3n－1，故an＝.
[答案] an＝
9．[归纳推理法](2018·辽宁丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为 ．
[解析] 因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．
[答案] (4,9)
10．[归纳推理法](2018·沧州联考)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 ．
[解析] 若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．
[答案] 甲
11．[正反互推法]给出以下命题：
①双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±x；
②命题p：“∀x∈R＋，sinx＋≥2”是真命题；
③已知线性回归方程为＝3＋2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；
④设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝0.2，则p(－1<ξ<0)＝0.6.
则正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号)．
[解析] ①由－x2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y＝±x，正确．
②命题不能保证sinx，为正，故错误；
③根据线性回归方程的含义正确；
④P(ξ>1)＝0.2，可得P(ξ<－1)＝0.2，
所以P(－1<ξ<0)＝P(－1<ξ<1)＝0.3，故错误．
综上①③正确．
[答案] ①③
12．[正反互推法]给出下列四个命题：
①若|a|＝|b，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥B．
其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号)．
[解析] ①|a|＝|b|，则a，b大小相等，但方向不一定相同，故两个向量不一定相等，故①错误；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝⇔AB∥CD且AB＝CD⇔四边形ABCD为平行四边形，故②正确；③若a＝b，则a，b大小相等，方向相同，若b＝c，则b，c大小相等，方向相同，则a，c大小相等，方向相同，则a＝c，故③正确；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向，故④错误．故正确命题的序号是②③.
[答案] ②③
技法指导
方法诠释
直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法．
适用范围
涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目.
【例1】 (1)(2018·合肥质检)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝ .
(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为 ．
[解题指导] (1)→
(2)→
→
[解析] (1)a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.
(2)不妨设点M、N在渐近线y＝x上，如图，△AMN为等边三角形，且|AM|＝b，
则A点到渐近线y＝x的距离为b，又将y＝x变形为一般形式为bx－ay＝0，则A(a,0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝＝，所以＝b，即＝，
所以双曲线的离心率e＝＝.
[答案] (1)－6 (2)
直接法求解填空题的关键
利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．
[对点训练]
1．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是 ．
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2D．所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.
[答案] 20
2．(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是 ．
[解析] ∵函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，∴x＝时，函数取得最大值或最小值，
∴sin＝±1.
∴＋φ＝kπ＋(k∈ )，
∴φ＝kπ－(k∈ )，
又－<φ<，∴φ＝－.
[答案] －
方法诠释
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．
适用范围
适用于含有字母且具有定性定值的填空题，结果要唯一.
【例2】 (1)cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值为 ．
(2)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝ .
[解题指导] (1)→→
(2)→→
[解析] (1)令α＝0，则原式＝cos20＋cos2120°＋cos2240°＝.
(2)若四边形ABCD为矩形，建立平面直角坐标系，如图所示．
由＝3，＝2，
知M(6,3)，N(4,4)，
∴＝(6,3)，＝(2，－1)，
·＝6×2＋3×(－1)＝9.
[答案] (1) (2)9
特例法求解填空题的技巧
求值或比较大小等问题的求解均可利用特例法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．
[对点训练]
3．一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为 ．
[解析] 令n＝1，则a1＝48，a1＋a2＝60，
所以a2＝60－48＝12，
所以S3＝3a2＝36.
[答案] 36
4．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·＝ .
[解析] 解法一：如图，可取过焦点的直线为x＝，求出交点A，B，所以·＝×＋1×(－1)＝－.
解法二：设点A(xA，yA)，点B(xB，yB)，由题意，知p＝1.
设AB的方程为y＝k，联立消去x得ky2－2y－k＝0∴yAyB＝－1，∴xAxB＝·＝.则·＝(xA，yA)·(xB，yB)＝xAxB＋yAyB＝－1＝－.
[答案] －
方法诠释
对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．
适用范围
适用于几何意义一般较为明显的题目，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等.
【例3】 (1)设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是 ．
(2)(2018·贵阳模拟)若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是 ．
[快速审题] (1)看到集合A，想到圆，看到集合B，想到直线表示的区域，想到数形结合，借助图形求解．
(2)看到不等式的结构特征，想到函数y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的图象，想到数形结合，通过图象求解．
[解题指导]
[解析] (1)
集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有＝1，又m>0，所以m＝－1，故m的取值范围是m≥－1.
(2)
作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.
[答案] (1)[－1，＋∞) (2)
数形结合法求解填空题的要点
平面几何图形、Venn图、函数的图象等，都是常用的图形．利用函数图象或某些数学知识的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，再辅以简单计算，确定正确答案，从而有效地降低这类客观题的错误率．
[对点训练]
5．已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2＋y2－6x＋9的取值范围是 ．
[解析]
画出可行域如图，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方，
∴d＝2＝()2＝2.
最大值为点Q到点A的距离的平方，
∴d＝16.
∴取值范围是[2,16]．
[答案] [2,16]
6．不等式－kx＋1≤0的解集非空，则k的取值范围为 ．
[解析] 由－kx＋1≤0，得≤kx－1，
设f(x)＝，g(x)＝kx－1，其中－2≤x≤2.
如图，作出函数f(x)，g(x)的图象，不等式的解集非空，即直线l和半圆有公共点．
由图可知kAC＝＝－，
kBC＝＝.
所以k的取值范围为∪.
[答案] ∪
方法诠释
构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．
适用范围
适用于构造函数、数列、几何图形的题目.
【例4】 (1)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意实数x，有f(x)>f′(x)，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)
[解析] (1)令g(x)＝，则g′(x)＝＝<0.∴g(x)在R上是减函数．又y＝f(x)－1为奇函数，∴f(0)－1＝0，∴f(0)＝1，g(0)＝1，∴原不等式等价于g(x)＝<1＝g(0)，∴x>0.故不等式的解集为{x|x>0}．
(2)∵an＝an－1＋3n(n∈N ，n≥2)，
∴－＝3.又∵a1＝3，∴＝1.
∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
∴＝1＋3(n－1)＝3n－2，则an＝(3n－2)·3n.
[答案] (1){x|x>0} (2)(3n－2)·3n
构造法解填空题的技巧
构造法解填空题，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它 于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．
[对点训练]
7.如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于 ．
[解析]
如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD＝＝2R，所以R＝，故球O的体积V＝＝π.
[答案] π
8．(2018·重庆一中模拟)春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率为0.8，鼻炎发作且感冒的概率为0.6，则此人在鼻炎发作的条件下，感冒的概率为 ．
[解析] 设某人鼻炎发作为事件A，某人感冒发作为事件B，则P(A)＝0.8，P(AB)＝0.6，∴P(B|A)＝＝＝0.75.
[答案] 0.75
方法诠释
做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．
适用范围
适用于与正整数n有关和逻辑推理方面的问题.
【例5】 (1)(2018·山西孝义模拟)有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个．若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是 ．
(2)(2018·西安模拟)观察下列各式：
C＝40；
C＋C＝41；
C＋C＋C＝42；
C＋C＋C＋C＝43；
……
照此规律，当n∈N 时，
C＋C＋C＋…＋C＝ .
[解析] (1)若1号是第1名，则甲错，乙对，丙对，丁对，不符合题意；
若2号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；
若3号是第1名，则甲对，乙对，丙错，丁错，不符合题意；
若4号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；
若5号是第1名，则甲对，乙对，丙对，丁错，不符合题意；
若6号是第1名，则甲错，乙错，丙对，丁错，符合题意．
故猜对者是丙．
(2)由题意知C＋C＋C＋…＋C＝4n－1.
[答案] (1)丙 (2)4n－1
归纳推理法求解填空题的技巧
归纳推理法多用于新定义型填空题，只要能读懂题意，认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，关键是找准归纳的对象．
[对点训练]
9．观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是 ．
[解析] 观察表中数据，并计算F＋V分别为11,12,14，又其对应E分别为9,10,12，容易观察并猜想F＋V－E＝2.
[答案] F＋V－E＝2
10．(2018·兰州模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N ,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝ .
[解析] ∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.
[答案] n2
方法诠释
多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论．
适用范围
适用于从多个命题或结论中选出满足条件的命题或结论.
【例6】 (1)(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是 ．(填写所有正确结论的编号)
(2)下列结论：
①若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”成立的一个充分不必要条件是“x＝2，且y＝1”；
②存在a>1，x>0，使得ax
④在锐角△ABC中，若sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则必有A＝2B；
⑤平面上的动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1的点P的轨迹方程为y2＝4x.
其中正确结论的序号为 ．(填写所有正确的结论序号)
[解题指导] (1)→→
(2)→
[解析] (1)
由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝，
过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF，∴BF＝DE＝，
∴△ABF为等边三角形，∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误．
由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．
∴正确的说法为②③.
(2)对于①，显然当x＝2且y＝1时，有x＋2y＝2成立，但当x＋2y＝2时，并不一定能得到x＝2和y＝1，故①正确；对于②，取a＝，x＝3，有()3
正反互推法求解填空题的技巧
正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能．两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断．利用正反互推结合可以快速解决这类问题．
[对点训练]
11．给出以下四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④若ab是正整数，则a，b都是正整数．
其中真命题是 ．(写出所有真命题的序号)
[解析] ①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．故真命题为①③.
[答案] ①③
12．若函数y＝f(x)对定义域D内的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使得f(x1)·f(x2)＝1成立，则称f(x)为“自倒函数”，给出下列四个命题：
①f(x)＝sinx＋是自倒函数；
②自倒函数f(x)的值域可以是R；
③自倒函数f(x)可以是奇函数；
④若y＝f(x)，y＝g(x)都是自倒函数，且定义域相同，则y＝f(x)·g(x)也是自倒函数．
则以上命题正确的是 (写出所有正确命题的序号)．
[解析] 对于①，不妨任取x1∈，则f(x1)∈[－1，＋1]，所以f(x2)＝∈[－1，＋1]．又f(x)在上单调递增，故满足题意，故①正确；对于②，若函数f(x)的值域为R，不妨取f(x1)＝0，则在其定义域内不存在x2，使得f(x1)·f(x2)＝1成立，故②不正确；对于③，设函数f(x)＝，易知f(x)满足题意，显然f(x)为奇函数，故③正确；对于④，取f(x)＝x，x∈(0，＋∞)，g(x)＝，x∈(0，＋∞)，则f(x)，g(x)是自倒函数．但y＝f(x)·g(x)＝x·＝1不是自倒函数，因为对y＝f(x)·g(x)的定义域内的任意x1，x2，都有f(x1)·f(x2)＝1，故④不正确，故填①③.
[答案] ①③
1.解答填空题的策略
填空题的结果必须准确、规范，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”．
2.解答填空题的原则
专题跟踪训练(六)
1．[直接法]对于锐角α，若sin＝，则cos＝ .
[解析] 由α为锐角，且sin＝，可得cos＝，则cos＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝，于是cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.
[答案] －
2．[直接法]已知(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x的系数为2，则实数a的值为 ．
[解析] 因为(1－2x)5的展开式中的常数项为1，x的系数为C×(－2)＝－10；(1＋ax)4的展开式中的常数项为1，x的系数为Ca＝4a，所以(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x的系数为1×4a＋1×(－10)＝2，所以a＝3.
[答案] 3
3．[特例法]已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是 ．
[解析] 令an＝n，则＝＝.
[答案]
4．[特例法]如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为 ．
[解析]
要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点即可．故可以将三条棱长分别取为OA＝6，OB＝4，OC＝2，如图，则可计算S1＝3，S2＝2，S3＝，故S3
[解析] 分别作出函数y＝和y＝|lgx|的图象如图，
不妨设0
∴－lgx1>lgx2，即lgx1＋lgx2<0，∴0
6．[图解法](2018·陕西师大附中二模)直线y＝x与函数f(x)＝的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 ．
[解析] 画出图象如下图所示．由图可知，当m＝－1时，两个函数图象恰好有3个公共点．将x＝－1向右平移到x＝2的位置，此时函数图象与y＝x只有两个公共点，故m的取值范围是[－1,2)．
[答案] [－1,2)
7．[构造法]已知m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面．给出下列命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α，或n⊥β；
②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，且n∥β.
其中正确的命题序号是 ．
[解析]
①错误．如图在正方体中，平面ABB′A′⊥平面ADD′A′，交线为AA′.直线AC⊥AA′，但AC不垂直平面ABB′A′，同时AC也不垂直平面ADD′A′；②正确．实质上是两平面平行的性质定理；③错误．如图中的正方体所示，直线AC不垂直于平面A′B′C′D′，但AC⊥B′D′，所以AC垂直于平面A′B′C′D′内与直线B′D′平行的无数条直线；④正确．利用线面平行的判定定理和性质定理即可得到．
[答案] ②④
8．[构造法]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1，则{an}的通项公式为 ．
[解析] 由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以an＋＝·3n－1，故an＝.
[答案] an＝
9．[归纳推理法](2018·辽宁丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为 ．
[解析] 因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．
[答案] (4,9)
10．[归纳推理法](2018·沧州联考)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 ．
[解析] 若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．
[答案] 甲
11．[正反互推法]给出以下命题：
①双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±x；
②命题p：“∀x∈R＋，sinx＋≥2”是真命题；
③已知线性回归方程为＝3＋2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；
④设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝0.2，则p(－1<ξ<0)＝0.6.
则正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号)．
[解析] ①由－x2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y＝±x，正确．
②命题不能保证sinx，为正，故错误；
③根据线性回归方程的含义正确；
④P(ξ>1)＝0.2，可得P(ξ<－1)＝0.2，
所以P(－1<ξ<0)＝P(－1<ξ<1)＝0.3，故错误．
综上①③正确．
[答案] ①③
12．[正反互推法]给出下列四个命题：
①若|a|＝|b，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥B．
其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号)．
[解析] ①|a|＝|b|，则a，b大小相等，但方向不一定相同，故两个向量不一定相等，故①错误；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝⇔AB∥CD且AB＝CD⇔四边形ABCD为平行四边形，故②正确；③若a＝b，则a，b大小相等，方向相同，若b＝c，则b，c大小相等，方向相同，则a，c大小相等，方向相同，则a＝c，故③正确；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向，故④错误．故正确命题的序号是②③.
[答案] ②③
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