2019届二轮复习第6讲 平面向量学案（全国通用）
展开第6讲 平面向量
1.(1)[2018·全国卷Ⅰ] 在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则= ( )
A.- B.-
C.+ D.+
(2)[2014·全国卷Ⅰ] 设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+= ( )
A. B. C. D.
(3)[2018·全国卷Ⅲ] 已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ),若c∥(2a+b),则λ= .
[试做] __________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
命题角度 平面向量的线性运算
解题策略:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或平行四边形;③运用法则找关系;④用好平面向量基本定理和向量共线定理.
2.【引·全国卷】
(1)[2018·全国卷Ⅱ] 已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= ( )
A.4 B.3 C.2 D.0
(2)[2013·全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD的边长为2,E为CD中点,则·= .
[试做] __________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
【荐·地方卷】
[2017·山东卷] 已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是 .
命题角度 平面向量数量积的公式及应用
①定义法;②坐标法;③将向量数量积的几何意义转化为一个向量在另一个向量上的投影与另一向量模的积.
小题1平面向量的线性运算
1 (1)已知D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,=c,则有下列各式:
①=c-b;②=a+b;③=-a+b;④++=0.其中正确的等式有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
(2)在△ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数λ和μ,使得=λ+μ,则λ+μ= ( )
A. B.-
C.2 D.-2
[听课笔记] ______________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
【考场点拨】
高考中向量线性运算的关注点:
(1)解决向量的线性运算问题时应关注两点:①尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中(注意已知条件);②选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量.
(2)向量共线有两个常用结论:①向量a=(x1,y1),b=(x2,y2) 平行,坐标满足的关系为x1y2-x2y1=0;②若O为直线AB外一点,点P在直线AB上,则有=α+β且α+β=1.
【自我检测】
1.下列各组向量中,可以作为基底的是 ( )
A.e1=(0,0),e2=(1,2)
B.e1=(2,-3),e2=,-
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(-1,2),e2=(5,7)
2.已知O是正△ABC的中心,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则的值为 ( )
A.- B.-
C.- D.2
3.设点O在△ABC的外部,且2-3-5=0,则S△ABC∶S△OBC= ( )
A.2∶1 B.3∶1
C.3∶2 D.4∶1
小题2平面向量的数量积及应用
2 (1)已知向量a与b的夹角是,且|a|=1,|b|=2,若(a+λb)⊥a,则实数λ= ( )
A.- B.
C. D.-
(2)已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于 ( )
A., B.-,
C., D.-,-
(3)已知向量m=(1,2),n=(2,3),则m在m-n方向上的投影为 .
[听课笔记] _______________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
【考场点拨】
高考中数量积的解题策略:
(1) 数量积的计算常用方法有三种:数量积的定义,坐标运算,数量积的几何意义.其中坐标运算是处理问题的主要方法,只要能够建立直角坐标系,把向量的坐标表示出来,从而转化为坐标运算.
(2)用数量积可求投影,如a在b方向上的投影为,b在a方向上的投影为.
【自我检测】
1.已知向量a=(-3,2),b=(-1,0), 若λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为 ( )
A.- B.
C.- D.
2.已知两个平面向量a,b满足|a|=1,|a-b|=,且a与b的夹角为120°,则|b|= ( )
A.3 B.2
C.1 D.
3.在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AB=2,E为CD的中点,则·= .
4.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是 .
第6讲 平面向量
典型真题研析
1.(1)A (2)A (3) [解析] (1)如图,=-=-=-×(+)=- ,故选A.
(2)+=+++=+=.
(3)2a+b=(4,2),由c∥(2a+b)可得=,即λ=.
2.【引·全国卷】
(1)B (2)2 [解析] (1)a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3,故选B.
(2)如图建立平面直角坐标系,则=(1,2),=(-2,2),所以·=2.
【荐·地方卷】
[解析] 由题意不妨取e1=(1,0),e2=(0,1),由条件可设a=e1-e2=(,-1),b=e1+λe2=(1,λ),
所以cos<a,b>=cos 60°==,所以-λ=,解得λ=.
考点考法探究
小题1
例1 (1)C (2)B [解析] (1)∵D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,=c,∴==(+)=(b+c)=b+c,①不正确;=+=+=a+b,②正确;
=+=+=+(+)=++=+=b-a,③正确;
++=(+)+(+)+(+)=(c-b)+(-c+a)+(b-a)=0,④正确.故选C.
(2)如图所示,因为点D在边BC上,所以存在t∈R,使得=t=t(-).因为M是线段AD的中点,所以=(+)=(-+t-t)=-(t+1)+t,又=λ+μ,所以λ=-(t+1),μ=t,所以λ+μ=-.故选B.
【自我检测】
1.D [解析] 作为基底的两个向量不能是共线向量,通过计算可知选项A,B,C中的两个向量均为共线向量,故不能作为基底,故选D.
2.C [解析] 由题知,O是正△ABC的中心,延长CO交AB于点D.∵==(+)=(-+-)=-,∴λ=,μ=-,∴=-.故选C.
3.B [解析] 由2-3-5=0,得2(-)=3(+).取BC的中点D,则有=3,由此可得CA∥OD,且点A到BC的距离是点O到BC的距离的3倍,故有S△ABC∶S△OBC=3∶1.故选B.
小题2
例2 (1)A (2)D (3)- [解析] (1)根据题意可知|a|=1,|b|=2,且a·b=|a||b|cos=1,因为(a+λb)⊥a,所以(a+λb)·a=a2+λa·b=+λ=0,得λ=-.故选A.
(2)设向量c=(x,y),根据向量平行及垂直的性质,由(c+a)∥b,c⊥(a+b),得解得则c=-,-.故选D.
(3)m-n=(1,2)-(2,3)=(-1,-1),则m在m-n方向上的投影为==-.
【自我检测】
1.A [解析] 依题意,λa+b=(-3λ,2λ)+(-1,0)=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2),又λa+b与a-2b垂直,所以-1·(-3λ-1)+2·2λ=0,得λ=-.故选A.
2.C [解析] 把|a-b|=两边平方得a2+b2-2a·b=3,化简得1+|b|2-2|a||b|cos120°=3,∴|b|2+|b|-2=0,解得|b|=-2(舍)或|b|=1.故选C.
3.-4 [解析] 在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AB=2,E为CD的中点,因为=+=+,所以·=-·
+=-·-·||2=-2×2cos 60°-×22=- 4.
4.(-∞,-6)∪-6, [解析] 由a·b<0,即2λ-3<0,得λ<.由a∥b得6=-λ,即λ=-6,此时b=-3a,a·b<0,但a与b的夹角为π.因此λ<,且λ≠-6.
[备选理由] 对于向量的综合应用,例1涉及较少,备用例1是对例1的拓展和延伸;例2是向量数量积的基本应用,综合性一般,备用例2是对例2的延伸和补充.
例1 [配例1使用] 已知P为△ABC所在平面内一点,++=0,||=||=||=2,则△PBC的面积等于 ( )
A.3 B.2
C. D.4
[解析] C 分别取边BC,AC的中点D,E,则+=2,=2,因为++=0,所以=-,所以E,D,P三点共线,且||=||=1.又||=||=2,所以⊥,所以||=2,所以△PBC的面积S=×2×1=.故选C.
例2 [配例2使用] 在正方形ABCD中,点E为BC的中点,若点F满足=λ,且·=0,则λ= ( )
A. B.
C. D.
[解析] A ∵·=0,=λ,∴(+)·(+)=+·(+λ)=+·(+λ+λ)=0.又·=0, ∴(+)·(+)=(λ-1)||2+||2=0,即λ-1=-,∴λ=.故选A.
