2019届二轮复习第6招数列函数性（单调性与周期性）学案（江苏专用）
展开数列函数性（单调性与周期性）
一、函数的单调性与单调数列
函数的单调性的证明一般有两类，定义法或者导数法；而对于数列而言，证明其单调性或求最大最小值，常见的思路是利用与，及与的大小关系来判断，除此之外，还可以用函数的一些思路来证明数列的单调性.
例1、求数列的最大项
解析：此题如果用常规的求最大项的方法，无论是“作差”或者“作商”，计算量都会比较大，而若是考虑其函数性，将数列看做函数，那么可以看出来，这个函数化简后，分母其实是一个“勾函数”的形式，显然在时取得最大值。当然，对于数列而言，我们的自变量必须为正整数，所以必须对附近的两个正整数进行代入检验，可得时，都为最大项。
例2、已知数列是以为首项，为公比的等比数列，令若中每一项总小于它后面的项，求的范围。
解析：，那么即对于恒成立。
即对于恒成立。
①时，上述不等式等价于即，显然成立，所以；
②时，上述不等式等价于，设，显然这个是单调递增函数，时，有，所以
综上，
这里需要注意的是：函数单调是数列单调的充分不必要条件，用函数的单调性处理数列的单调性问题时，必须检验其必要性。如下题：
例3、数列的通项公式为，若中每一项总小于它后面的项，求的取值范围。
解析：此题不等价于“在上单调增”。对于此类题目建议使用“作差”去判断的范围，即对于恒成立。
如果要从函数的单调性的角度来思考，本题应该等价于以下命题“在上单调增，且”
答案为。
例4、（2014 南京1模20题）设等差数列的前项和为，已知，.
（1）求；
（2）若从中抽取一个公比为的等比数列，其中，且，.
①当取最小值时，求的通项公式；
②若关于的不等式有解，试求的值.
答案：（1）（2）①②
解析：：②因为，所以
当不是自然数时，不全是正整数，不合题意，所以
不等式有解，即有解.
令发现，即都有成立，即时都有解.
令，.
设，可得在上单调增,得，
即，，，是递减数列
中最大项为，若，则对应的符合要求；若，则不存在这样的
令，，即都有成立，即时都有解.
当时，，则恒成立，不存在这样的.
故可取的值为.
例5、使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 .
解析：设，，
所以单调减，得，，得符合要求的.
此题单调性的运用是利用两项作差得到的，要注意的是的项数不能数错.
例6、已知数列满足：，若数列的最小项为1，则的值为 .
解析，设，则，列表可得极小值为，考虑到数列的下标必须为正整数，所以，，，显然最小，可得.
二、函数的周期性与周期数列
若数列满足以下条件，请求出数列的周期
① 恒成立
② 恒成立
③ 若且，
④ 若,且
⑤ 若，且
⑥
⑦
⑧ ，
⑨ ，，，
解析：
① .
② .
③ 得.
本结论可以与抽象函数中，得结合理解.
④ 得.
本结论可以与抽象函数中，得结合理解.
⑤ 得
本结论可以与抽象函数中，得结合理解.
⑥ ，可以结合进行理解
⑦ ,作差可得，得，即或者，代入得，即，矛盾，舍去.故.
⑧ ，作差得，又，得即.
⑨证明方法都是类似的，仅以第一个为例：
法一、，故，即.
法二、可以构造，得，根据三角函数的性质，可得，即.
例7、已知数列满足，它的前项和为.若，则的值为 .
解析：，得，故
例8、已知数列满足且 ，求 .
解析：，，做差得，即，
三、其他类型
例9、已知正项数列满足，证明.
解析：此题常规方法是用数学归纳法，实际上，如果从函数的角度来出发，那么此题可以用另一方法解决.具体如下：
把看做函数
，等号当且仅当时，取等号时有即数列为的常数列，显然不符合，所以
，又即，得证.
例10、设数列为等差数列，数列为等比数列．若，，且，则数列的公比为 ．
解析：这道题目是使用构造法构造一元二次方程去解决的.
如题，有.
，那么可得，是方程或者的根，显然第一个解是不符合，舍去，得；又，又
可得.
例11、设…，均为正数，证明：若……，则.
解：构造函数，定义域为，令，列表可得在上递增，在上递减，故函数在处取得最大值，当时有即，
∵，∴
∵∴即.
例12、等比数列中，，函数，则 .
解析：考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有项均取0，则只与函数的一次项有关；得：.
