2019届二轮复习第8招直线遇圆锥曲线突破在点线距离学案（江苏专用）
展开直线遇圆锥曲线 突破在点线距离
近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考热点考点，且填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等。
1、直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，有且仅有一个公共点，有两个不同的公共点。
直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的。
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离。对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，同样也不是相切。这三种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线：，圆锥曲线C：，
由，消元可得：，。
， （1）相交；
（2）相切；
（3）相离。
注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件。
2、直线与圆锥曲线相交的弦长公式
有关弦长的问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系“设而不求”，有关焦点弦长的问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简便运算。
（1）斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，，则所得弦长或，其中求与时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：
，
。
（2）当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算（利用两点间距离公式）。
3、弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算。
考点1：直线与圆锥曲线的相交弦问题
【例1】在平面直角坐标系中，已知椭圆：过点，且离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于点，两点，求△面积的最大值.
【解析】（1），，又，，，故所求椭圆的方程为.
（2）设的方程为，点，，联立，整理得，判别式，即.
又，则，
点到直线的距离.
因此，当且仅当即时，等号成立. 故的面积最大值为2.
【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知直线：，抛物线：.
（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；
（2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和.
求证：线段的中点坐标为；
求的取值范围.
【解析】（1）：，与轴的交点坐标为，即抛物线的焦点为，，. 抛物线的方程为.
（2）证明：设点，，则，即，，又、关于对称，，即，
，又的中点在上，.
线段的中点坐标为.
解：的中点为，，即，，即关于的方程，有两个不相等的实数根. ，即，解得，故所求的取值范围为.
考点2：圆锥曲线中的存在性问题
【例3】已知点，，动点满足.
（1）求的轨迹的方程；
（2）是否存在过点的直线与曲线相交于两点，并且曲线存在点，使四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）根据椭圆定义可得，，，所以轨迹的方程为.
（2）假设存在过点的直线. 设，，由题意可知的斜率一定不为0，故不妨设：，代入椭圆方程并整理得，显然，则
假设存在点，使得四边形为平行四边形，其充要条件为，则点的坐标为. 由点在椭圆上，即. 整理得. 又在椭圆上，即，
. 故.
将代入得
，
有解得，故直线的方程是，即.
【例4】已知椭圆：的离心率位，点和点都在椭圆上，直线交轴于点.
（1）求椭圆的方程，并求点的坐标（用表示）；、
（2）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点. 轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意得，解得，故椭圆的方程为.
和点，，设，
直线的方程为，时，，.
（2）点与点关于轴对称，，点.
直线交轴于点，.
存在点，使得，设，
，，
即，，，或.
故轴上存在点，使得，点的坐标为或.
