2019届二轮复习第9讲　三角恒等变换与解三角形学案（全国通用）

第9讲　三角恒等变换与解三角形

1.(1)[2015·全国卷Ⅰ] 已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.

①若a=b,求cos B;

②若B=90°,且a=, 求△ABC的面积.

(2)[2015·全国卷Ⅱ] △ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.

①求;

②若∠BAC=60°,求∠B.

[试做] _______________________________________________________________________________________

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命题角度　解三角形的问题

(1)近五年的高考试题中,经常出现的题型有:正弦定理、余弦定理与三角变换的综合;正弦定理、余弦定理与三角形面积的综合;正弦定理、余弦定理与三角变换及三角形面积的综合.

(2)解三角形问题的步骤:

第一步,利用正、余弦定理进行边角转化;

第二步,利用三角恒等变换求边与角;

第三步,代入数据求值;

第四步,转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性.

(3)解三角形问题的总体思路是转化思想和消元.

解答1三角形基本量的求解

1 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c-b=2bcos A.

(1)若a=2,b=3,求边c的长;

(2)若C=,求角B的大小.

[听课笔记] _______________________________________________________________________________________

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2 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且2ccos B=2a-b.

(1)求角C的大小;

(2)当c=3时,求a+b的取值范围.

[听课笔记] _______________________________________________________________________________________

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【考场点拨】

求解三角形中的边和角等基本量,需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:

第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.

第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.

第三步:求结果.

解答2与三角形面积有关的问题

3 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asin B+bcos(B+C)=0,a=.

(1)求角A的大小;

(2)若b=2,求△ABC的面积.

[听课笔记]  ______________________________________________________________________________________

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【考场点拨】

高考中与三角形面积有关问题的解题策略:

(1)三角形的面积问题,归根结底是解三角形问题,有时和其他知识综合考查,如求面积最大值(最小值)时,常与函数、基本不等式等结合考查.

(2)在解与三角形面积有关的问题时,要熟记30°,45°,60°等特殊角的三角函数值,以便在解题中应用.

【自我检测】

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a·cos C=(2b-c)cos A.

(1)求角A的大小;

(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.

解答3以平面几何为载体的解三角形问题

4 如图M2-9-1,在四边形ABCD中,∠DAB=,AD∶AB=2∶3,BD=,AB⊥BC.

(1)求sin∠ABD的值;

(2)若∠BCD=,求CD的长.

图M2-9-1

[听课笔记]  ______________________________________________________________________________________

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【考场点拨】

以平面几何为载体的问题,主要注意以下几方面:一是充分用好平面几何图形的性质;二是出现多个三角形时从条件较多的三角形突破求解;三是四边形问题要转化为三角形问题去求;四是善于用好三角形中的不等关系如大边对大角,最大角一定大于或等于,从而可以确定角或边的范围.

【自我检测】

如图M2-9-2,在△ABC中,B=,BC=2.

(1)若AC=3,求边AB的长.

(2)若点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足,ED=,求角A的大小.

图M2-9-2

模块二　三角函数与平面向量

第9讲　三角恒等变换与解三角形

典型真题研析

1.(1)解:①由题设及正弦定理可得b2=2ac.

又a=b,所以可得b=2c,a=2c.

由余弦定理可得cos B==.

②由①知b2=2ac.

因为B=90°,所以由勾股定理得a2+c2=b2.

故a2+c2=2ac,得c=a=,

所以△ABC的面积为1.

(2)解:①由正弦定理得

=,=.

因为AD平分∠BAC,BD=2DC,所以

==.

②因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,所以

sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=

cos∠B+sin∠B.

由①知2sin∠B=sin∠C,所以tan∠B=,即∠B=30°.

考点考法探究

解答1

 例1　解:(1)由c-b=2bcos A及a2=b2+c2-2bccos A,

得=,

∴a2=b2+bc,代入a=2,b=3,

得c=5.

(2)由c-b=2bcos A及正弦定理,得sin C-sin B=2sin Bcos A,

∵C=,∴1-sin B=2sin Bcos-B,

即2sin2B+sin B-1=0,解得sin B=或sin B=-1(舍),

又0<B<,∴B=.

 例2　解:(1)由正弦定理可得2sin Ccos B=2sin A-sin B,又A=π-(B+C),

∴2sin Ccos B=2sin(B+C)-sin B,即2sin Ccos B=2sin Bcos C+2cos Bsin C-sin B,

∴2sin Bcos C=sin B,又∵sin B≠0,∴cos C=,

又0<C<π,∴C=.

(2)由正弦定理==,得a=2sin A,b=2sin B,

∴a+b=2(sin A+sin B)=2sin A+sinA+=2sin A+cos A=6sinA+.

∵A∈0,,∴A+∈,,∴a+b∈(3,6].

解答2

 例3　解:(1)由正弦定理得sin Asin B-sin Bcos A=0,

∴sin A=cos A,∵cos A≠0,

∴tan A=,∴A=.

(2)∵A=,cos A=,∴=,

∴c=5,

∴△ABC的面积S=bcsin A=.

【自我检测】

解:(1)由正弦定理可得sin Acos C=2sin Bcos A-sin Ccos A,

从而可得sin(A+C)=2sin Bcos A,即sin B=2sin Bcos A.

又B为三角形内角,所以sin B≠0,于是cos A=,

又A为三角形内角,所以A=.

(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+c2-2bc·≥2bc-bc,当且仅当b=c时等号成立,

所以bc≤4(2+),所以△ABC的面积S=bcsin A≤2+,故△ABC面积的最大值为2+.

解答3

 例4　解:(1)∵AD∶AB=2∶3,∴可设AD=2k,AB=3k,k>0.

又BD=,∠DAB=,

∴由余弦定理得()2=(3k)2+(2k)2-2×3k×2kcos,解得k=1,∴AD=2,AB=3.

由正弦定理得sin∠ABD===.

(2)∵AB⊥BC,∴cos∠DBC=sin∠ABD=,∴sin∠DBC=,∴=,∴CD==.

【自我检测】

解:(1)设AB=x(x>0),则由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,

即32=x2+22-2x·2cos,

解得x=+1(负值舍去),

所以AB=+1.

(2)因为ED=,所以AD=DC==.

在△BCD中,由正弦定理可得=,

因为∠BDC=2A,所以=,

所以cos A=,所以A=.

 [备选理由] 用余弦定理判断三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形是重要的应用,备用例1就是利用余弦定理解决锐角三角形问题;有关三角形的面积问题,一般情况是求三角形的面积,或者是已知三角形的面积求其他元素,关于已知三角形面积之比求其他元素例2没有涉及,备用例2是对例2的补充和拓展,而且思维逻辑性更强.

例1　[配例1使用] 在△ABC中,AB=4,AC=6.

(1)若16cos A=1,求BC的长及BC边上的高h;

(2)若△ABC为锐角三角形,求△ABC的周长的取值范围.

解:(1)∵16cos A=1,∴cos A=,∴sin A=.

BC==7,

由等面积法可得×4×6sin A=×7h,

∴h=.

(2)设BC=x(x>0),

∵△ABC为锐角三角形,∴角A,B,C均为锐角,又AB<AC,∴C<B,

则cos A>0,cos B>0,于是

得

∴2<x<2,

故△ABC的周长的取值范围是(10+2,10+2).

例2　[配例2使用] 在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,B=2C,△ABD面积与△ACD面积的比为2∶3.

(1)求cos C的值;

(2)若AC=,求DC的长.

解:(1)因为S△ABD=AB·ADsin∠BAD,

S△ACD=AC·ADsin∠CAD,

所以===,

由正弦定理知==,

从而=,即=,所以cos C=.

(2)方法一:由(1)知cos C=,则sin C===,

所以sin B=sin 2C=2sin Ccos C=2××=,

cos B=cos 2C=2cos2C-1=2×2-1=.

又由(1)知=,所以AB=.

设DC=x(x>0),由==,得BD=x.

在△ADC中,由余弦定理得AD2=AC2+DC2-2AC·DCcos C,

即AD2=2+x2-2x·,

整理得AD2=2+x2-x.①

在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+DB2-2AB·DBcos B,

即AD2=+x2-2××x·,

整理得AD2=+x2-x,②

联立①②得2x2-5x+4=0,

解得x=或x=2.

因为BC<AB+AC=,所以x<,即x<,

所以x=,即DC=.

方法二:由(1)知cos C=,所以cos B=cos 2C=2cos2C-1=2×2-1=,

sin C===,sin B=sin 2C=2sin Ccos C=2××=,

则cos A=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C=-×+×=.

又由(1)知=,所以AB=.

在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A,

即BC2=2+()2-2×××,得BC=.

因为==,所以DC=BC=.