2019届二轮复习第10招快速解决离心率按部就班最稳妥学案（江苏专用）
展开快速解决离心率 按部就班最稳妥
离心率以及离心率取值范围问题是江苏高考的热点考点，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活,很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳,力求达到见题即秒的效果.
一、秒杀离心率问题所需秘笈,
（1）直接求出a、c,利用离心率公式来求解；
（2）变用公式，整体求出e：以椭圆为例，如利用，；
（3）构造a、c的齐次式，解出e：根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值.
【例题】已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的两条渐近线于点．若点是线段的中点，且，则此双曲线的离心率等于______.
【答案】2
【解析】解法一：由题意，从而有，
又点为的中点，，所以
所以，整理得，所以
解法二：由图可知，是线段的垂直平分线，又是斜边中线，
所以，所以
解法三：设，则，
由，解得
所以，
所以，即，所以
【方法点睛】解决离心率的求值问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质和定义.
（4）解析几何大题的方法算出e.
【例题】已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率是____.
【答案】
【解析】由得或
所以在上，所以，解得
【方法点睛】此题先方程联立，得出一个点，然后把这个点代入抛物线上，得出.
二、秒杀离心率取值问题所需秘笈网Z,
1、根据题目中给出的不等关系
根据平面图形几何条件中的不等关系，的范围，已知某些量的范围，圆锥曲线的第一和第二定义等得到之间的不等关系，从而确定离心率的范围.
【例题】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是_______.
【答案】
【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB，则两切线形成的角最小，若椭圆上存在点P令切线互相垂直，则只需，即，
∴，解得，∴，即，而，
∴，即.
【方法点睛】本题关键在于根据几何条件表示出a,c之间的不等关系，然后得出离心率的范围，属于基本题.
【例题】设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，若，设且，则双曲线离心率的取值范围 .
【答案】
【解析】设左焦点为，令，，则
所以，即
因为，所以
所以
即
又因为
于是得
因为，所以
故
故
【方法点睛】本题关键在于根据几何条件表示出离心率的等量关系式，然后根据角的范围得出离心率的范围.
2、根据椭圆或双曲线焦半径的范围来求离心率的范围
第一步：先利用几何条件把焦半径表示出来；第二步：若椭圆则，若双曲线则.
【例题】已知分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
【答案】.
【解析】设，则，．又，当且仅当时，等号成立．所以，所以．
【方法点睛】本题先把表示出来，然后利用得出离心率范围，难度中等．
3、根据椭圆或双曲线中的范围来求离心率的范围
第一步：同法二先利用几何条件把焦半径表示出来；第二步：若椭圆则，若双曲线则.
【例题】已知椭圆和双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
故
【方法点睛】本题关键在于表示出交点P的横坐标，然后借助双曲线的自身的性质 得出答案.
4、与离心率的范围有关的变式题
【例题】已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______.
【答案】
【解析】解法一：设椭圆的半长轴长，半短轴长，离心率为，双曲线的半长轴长，半短轴长，离心率为，共同的半焦距为
则，则
在中应用余弦定理得
化简得，即，问题要求的取值范围.
设，则
解法二：
在中运用正弦定理得
当且仅当时取得等号.
