2019届二轮复习第16练　计数原理[小题提速练]学案（全国通用）

第16练　计数原理[小题提速练]

[明晰考情]　1.命题角度：考查两个计数原理的简单应用；二项式定理主要考查特定项和系数.2.题目难度：中低档难度.

考点一　两个计数原理

要点重组　(1)分类加法计数原理中分类方法中的每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的.

(2)分步乘法计数原理中每步中的某一方法只能完成这件事的一部分，步与步之间是相关联的.

1.在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是(　　)

A.120  B.204  C.168  D.216

答案　B

解析　由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三个，则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数，共有2C＝168(个)，当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有C＝36(个)，

根据分类加法计数原理知共有168＋36＝204(个)，故选B.

2.如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有(　　)

A.30种  B.27种　C.24种  D.21种

答案　A

解析　由题意知本题需要分类来解答，

首先A选取一种颜色，有3种情况.

如果A的两个相邻点颜色相同，有2种情况；

这时最后两个点也有2种情况；

如果A的两个相邻点颜色不同，有2种情况；

这时最后两个点有3种情况.

所以共有3×(2×2＋2×3)＝30(种)方法.

3.三条边长都是整数，且最大边长为11的三角形的个数为________.

答案　36

解析　设两条较短边长为x，y，不妨设1≤x≤y≤11，且x＋y≥12.对y进行分类：

当y＝11时，x可以取1到11的11个正整数；当y＝10时，x可以取2到10的9个正整数；

当y＝9时，x可以取3到9的7个正整数；……；当y＝6时，x可以取6这1个正整数；y≤5时不可能.

所以三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.

4.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数为________.(用数字作答)

答案　8

解析　甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分组方式有三类：

①甲单独一组，有1种分法；

②甲和丙或甲和丁两名学生一组，有2种分法；

③甲、丙、丁三名学生一组，有1种分法.

然后把这两组分到两个不同的班级里，则不同的分法种数为(1＋2＋1)A＝8.

考点二　排列组合的应用

方法技巧　(1)解排列组合问题的三大原则：先特殊后一般，先取后排，先分类后分步.

(2)排列组合问题的常用解法

①特殊元素(特殊位置)优先安排法；

②相邻问题捆绑法；

③不相邻问题插空法；

④定序问题缩倍法.

5.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有(　　)

A.90种   B.180种

C.270种   D.540种

答案　D

解析　不同的分配方法共有CCCC＝540(种)，故选D.

6.张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人的入园顺序排法种数为(　　)

A.12  B.24  C.36  D.48

答案　B

解析　将两位爸爸排在两端，有2种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上，有2A种排法，故总的排法有2×2×A＝24(种).

7.(2018·张掖三诊)《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有(　　)

A.240种  B.188种　C.156种  D.120种

答案　D

解析　当E，F排在前三位时有(AA)·A＝24(种)方法；当E，F排在后三位时，有(ACA)·A＝72(种)方法；当E，F排3，4位时有(CA)·AA＝24(种)方法，

∴共有24＋72＋24＝120(种)方案.

8.为促进城乡一体化进程，某单位选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的种数是(　　)

A.216  B.420　C.720  D.1 080

答案　D

解析　先分组，每组含有2户家庭的有2组，则有种分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有×A＝1 080(种).

考点三　二项式定理的应用

方法技巧　(1)求二项展开式的特定项的实质是通项公式Tk＋1＝Can－kbk的应用，可通过确定k的值再代入求解.

(2)二项展开式各项系数和可利用赋值法解决.

(3)求二项展开式系数最大的项，一般采用不等式组法：设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，则最大的系数Ak满足

9.(2018·全国Ⅲ)5的展开式中x4的系数为(　　)

A.10  B.20  C.40  D.80

答案　C

解析　5的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(x2)5－k·k＝C·2k·x10－3k，

令10－3k＝4，得k＝2.

故展开式中x4的系数为C·22＝40.

10.使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)

A.4  B.5  C.6  D.7

答案　B

解析　Tk＋1＝C(3x)n－kk＝C3n－k，当Tk＋1是常数项时，n－k＝0，当k＝2，n＝5时满足题意.

11.已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于(　　)

A.－5  B.5  C.90  D.180

答案　D

解析　∵(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，

∴a8＝C·22·(－1)8＝180.

12.(2018·益阳调研)(1＋x2)6的展开式中项的系数为(　　)

A.－12   B.12

C.－172   D.172

答案　C

解析　因为6的通项公式为C6－k(－1)k＝26－kC(－1)kxk－6.故展开式中项的系数为2C(－1)5＋23C(－1)3＝－172.故选C.

1.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有(　　)

A.34种   B.48种

C.96种   D.144种

答案　C

解析　由题意知，程序A只能出现在第一步或最后一步，所以有A＝2(种)结果.因为程序B和C在实施时必须相邻，所以把B和C看作一个元素，有AA＝48(种)结果，根据分步乘法计数原理可知，共有2×48＝96(种)结果，故选C.

2.某公司有五个不同的部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为(　　)

A.60   B.40

C.120   D.240

答案　A

解析　由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有＝3(种)不同的分法.

再将两组安排在其中的两个部门，共有3×A＝60(种)不同的安排方法，故选A.

3.若(1＋y3)n (n∈N*)的展开式中存在常数项，则常数项为________.

答案　－84

解析　n展开式的通项为Cxn－kk＝C(－1)kxn－3ky－k，

(1＋y3)n展开式的通项为C(－1)kxn－3ky－k和y3C(－1)kxn－3ky－k＝C(－1)kxn－3ky3－k，

若存在常数项

则有(舍)或解得k＝3，n＝9，

常数项为C(－1)3＝－84.

解题秘籍　(1)解有限制条件的排列组合问题，要按照元素(或位置)的性质进行分类，按事件发生的顺序进行分步.

(2)平均分组问题中，平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况.

(3)求各项系数和要根据式子整体结构，灵活赋值；对复杂的展开式的指定项，可利用转化思想，通过二项展开式的通项解决.

1.(2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)

A.12种  B.18种　C.24种  D.36种

答案　D

解析　由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C·C·A＝36(种)，或列式为C·C·C＝3××2＝36(种).故选D.

2.(2018·长沙雅礼中学等联考)某大型花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，则不同的安排方案共有(　　)

A.168种  B.156种　C.172种  D.180种

答案　B

解析　小李和小王分别去甲、乙展区有ACC＝12(种)方案；

小王、小李中有一人去甲、乙展区，有CCCCC＝96(种)方案；

小王、小李都不去甲、乙展区，有AA＝48(种)方案，

∴共有12＋96＋48＝156(种)方案.

3.将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校，要求每所学校至少有1个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为(　　)

A.96   B.114

C.128   D.136

答案　B

解析　由题意可得每所学校至少有1个名额的分配方法种数为C＝136，分配名额相等有22种(可以逐个数)，则满足题意的方法有136－22＝114(种).

4.(2017·全国Ⅰ)(1＋x)6的展开式中x2的系数为(　　)

A.15  B.20  C.30  D.35

答案　C

解析　因为(1＋x)6的通项为Cxk，

所以(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.

因为C＋C＝2C＝2×＝30，

所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.

故选C.

5.(2018·莆田期末)从5位男实习教师和4位女实习教师中选出3位教师派到3个班实习班主任工作，每班派一名，要求这3位实习教师中男女都要有，则不同的选派方案共有(　　)

A.210种   B.420种

C.630种   D.840种

答案　B

解析　(用间接法)从9人中选3人到3个班实习班主任工作共A种结果，其中均为男教师的有A种，均为女教师的有A种.

∴满足条件的方案有A－A－A＝420(种).

6.已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于(　　)

A.－4   B.－3

C.－2   D.－1

答案　D

解析　因为(1＋x)5的二项展开式的通项为Cxk(0≤k≤5，k∈Z)，则含x2的项为Cx2＋ax·Cx＝(10＋5a)x2，所以10＋5a＝5，a＝－1.

7.(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为(　　)

A.－20  B.0  C.1  D.20

答案　D

解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，

再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，

又因为a1＝C×21×(－1)9＝－20，

所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.

8.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是(　　)

A.30  B.60  C.120  D.240

答案　B

解析　先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有种，再将余下的6人平均分成两组，有种，然后这四个组自由搭配还有A种，故最终分配方法有＝60(种).

9.(2018·浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

答案　1 260

解析　不含有0的四位数有C×C×A＝720(个).

含有0的四位数有C×C×C×A＝540(个).

综上，四位数的个数为720＋540＝1 260.

10.(2018·浙江)二项式8的展开式的常数项是________.

答案　7

解析　由题意，得Tk＋1＝C·()8－k·k

＝C·k··x－k＝C·k·.

令＝0，得k＝2.

因此T3＝C×2＝×＝7.

11.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝________.

答案　6

解析　由题意可知，a＝C，b＝C，

又∵13a＝7b，∴13·＝7·，

即＝，解得m＝6.

12.公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排.某人欲选由A，B，C，D，E中的两个不同的字母和1，2，3，4，5中的三个不同数字(三个数字都相邻)组成一个号牌，则他选择号牌的方法种数为________.

答案　3 600

解析　三个数字相邻，则共有A种情况，在A，B，C，D，E中选两个不同的字母，共有A种不同的情况，这两个字母形成三个空，将数字整体插空，共C种情况，综上所述，此人选择号牌的方法种数为AAC＝60×20×3＝3 600.