2019届二轮复习第17练　概率、随机变量及其分布列[小题提速练]学案（全国通用）

第17练　概率、随机变量及其分布列[小题提速练]
[明晰考情]　1.命题角度：古典概型、几何概型的考查；独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件及简单的随机变量的分布列.2.题目难度：中低档难度.

考点一　古典概型和几何概型
方法技巧　求解古典(几何)概型的概率的两种常用方法
(1)直接法：将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率.
(2)间接法：若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件，需要分类太多，而其对立面的分类较少时，可考虑利用对立事件的概率公式进行求解，即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.
1.(2016·北京)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为＝.
2.住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图.为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一只被选为组长的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　从住在狗熊岭的7只动物中选出2只动物作为组长，基本事件总数n＝C＝21，熊大，熊二至少一只被选为组长的对立事件是熊大，熊二都没有被选为组长，
∵熊大，熊二都没有被选为组长的情况有C＝10(种)，
∴熊大，熊二至少一只被选为组长的概率P＝1－＝.
3.在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为(　　)
A. B.　C. D.
答案　B
解析　∵a，b使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，
∴Δ≥0，a2＋b2≥π.
试验发生时包含的所有事件是Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，
∴S＝(2π)2＝4π2，
而满足条件的事件是{(a，b)|a2＋b2≥π}，
∴S1＝4π2－π2＝3π2，
由几何概型公式得P＝.
4.(2017·江苏)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________.
答案　
解析　设事件“在区间[－4，5]上随机取一个数x，
则x∈D”为事件A，
由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，
∴D＝[－2，3].
如图，区间[－4，5]的长度为9，定义域D的长度为5，

∴P(A)＝.
考点二　互斥事件、相互独立事件的概率
要点重组　(1)条件概率
在A发生的条件下B发生的概率P(B|A)＝.
(2)相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B).
方法技巧　(1)求复杂事件的概率：将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解.
(2)①注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同.
②牢记公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，并深刻理解其含义.
5.把一枚骰子连续抛掷两次，记“第一次抛出的是素数点”为事件A，“第二次抛出的是合数点”为事件B，则P(B|A)等于(　　)
A. B.　C. D.
答案　D
解析　∵P(A)＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝.
6.盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取两次，每次取1件，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为(　　)
A. B.　C. D.
答案　D
解析　设“第二次取得一等品”为事件A，“第一次取得二等品”为事件B，则P(AB)＝＝，P(A)＝＝，所以P(B|A)＝＝×＝.
7.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　)
A. B.　C. D.
答案　D
解析　由P(A)＝P(B)，得P(A)P()＝P(B)P()，
即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B).又P()＝，则P()＝P()＝，
∴P(A)＝.
8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________.
答案　
解析　考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B，
即有P(ξ＝k)＝Ck×5－k，k＝0，1，2，3，4，5.
故P(ξ＝4)＝C4×1＝.
考点三　离散型随机变量的期望和方差
方法技巧　离散型随机变量期望与方差的解题思路
(1)理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值，确定分布列的类型.
(2)求X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
(4)求出E(X)，D(X).
9.某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的期望为(　　)
A.100 B.200　C.300 D.400
答案　B
解析　E(X)＝1 000×0.9×0＋1 000×0.1×2＝200.
10.袋中装有大小相同，标号分别为1，2，3，…，9的9个球.现从袋中随机取出3个球.设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的期望E(ξ)为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　依题意得，ξ的所有可能取值是0，1，2，且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，因此E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
11.(2018·全国Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p等于(　　)
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
答案　B
解析　由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.
又因为P(X＝4)＜P(X＝6)，
所以Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4，所以p＞0.5，
所以p＝0.6.
12.(2017·全国Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.
答案　1.96
解析　由题意得X～B(100，0.02)，
∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.

1.甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　白球没有减少的情况有：①取出黑球，放入任意球，概率是；②取出白球，放入白球，概率是×＝，故所求事件的概率为＋＝.
2.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　发球次数X的分布列如下表：
X
1
2
3
P
p
(1－p)p
(1－p)2

所以期望E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＞1.75，
解得p＞或p＜，
又0 3.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于，则n的最小值为________.
答案　4
解析　由题意得，1－n≥，
∴n≥4，
∴n的最小值为4.
解题秘籍　(1)解决一些复杂事件的概率问题，关键在于将事件拆分成若干个互斥事件的和或者相互独立事件的积，再利用概率的加法公式或事件的相互独立性求概率.
(2)求离散型随机变量的分布列，首先要判断事件的类型和随机变量的分布，一定要保证随机变量各个取值对应的概率之和为1.

1.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)
A. B.　C. D.
答案　C
解析　方法一　将4种颜色的花任选2种种在花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有C＝6(种)种法，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数为4，故概率为.
方法二　将4种颜色的花任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)、(红白))，((红紫)、(黄白))，((黄白)、(红紫))，共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛中的种法有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种，故所求概率为P＝＝.
2.每年3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为(　　)
A. B.　C. D.
答案　B
解析　方法一　从5名志愿者中选2名，有C＝10(种)不同选法，其中性别相同的选法有C＋C＝4(种)，故所求概率P＝＝.
方法二　设男生为A，B，C，女生为a，b，从5名中选出2名志愿者有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种不同情况，其中选出的2名志愿者性别相同的有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)，共4种不同情况，则选出的2名志愿者性别相同的概率为P＝＝，故选B.
3.一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次时停止取球的概率为(　　)
A. B.　C. D.
答案　A
解析　当取球的个数是3，1，1时，P1＝＝；
当取球的个数是2，2，1时，P2＝＝，故P＝P1＋P2＝.
4.设由“0”“1”组成的三位数组中，若用A表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P(A|B)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵P(B)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(A|B)＝＝.
5.(2018·浙江)设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
P




则当p在(0，1)内增大时，(　　)
A.D(ξ)减小 B.D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大 D.D(ξ)先增大后减小
答案　D
解析　由题意知E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝p＋，
D(ξ)＝2×＋2×＋2×
＝2×＋2×＋2×
＝2＋2－2＋2
＝－
＝p2＋－p(2p－1)＝－p2＋p＋＝－2＋，
∴D(ξ)在上单调递增，在上单调递减，即当p在(0，1)内增大时，D(ξ)先增大后减小.故选D.
6.某人射击一次击中的概率为，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　该人3次射击，恰有2次击中目标的概率是P1＝C·2·，
3次全部击中目标的概率是P2＝C·3，
所以此人至少有2次击中目标的概率是P＝P1＋P2＝C·2·＋C·3＝.
7.在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头赢剪刀”“剪刀赢布”“布赢石头”.现有甲、乙两人玩这个游戏，共玩3局，每一局中每人都等可能地独立选择一种手势.设甲赢乙的局数为ξ，则随机变量ξ的期望是(　　)
A. B. C. D.1
答案　D
解析　每一局中每人有3种选择，故共有9种情况，其中甲赢乙的有3种，故每一局中甲赢乙的概率为，易知随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B，故E(ξ)＝3×＝1.
8.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的期望E(X)等于(　　)

A. B.　C. D.
答案　B
解析　由题意可知，涂漆面数X的可能取值为0，1，2，3.
由于P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
9.在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4，现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________.
答案　
解析　由已知可求得通项公式为an＝10－2n(n＝1，2，3，…)，其中a1，a2，a3，a4为正数，a5＝0，a6，a7，a8，a9，a10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为＝，为负数的概率为.∴取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C×2×1＝.
10.签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的期望为________.
答案　5.25
解析　由题意可知，X可以取3，4，5，6，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.
由期望的定义可求得E(X)＝5.25.
11.某央企申请在雄安新区建立分公司. 若规定每家央企只能在雄县、容城、安新3个片区中的一个片区建立分公司，且申请其中在任一个片区建立是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司，若向雄安新区申请建立分公司的有4家央企，则恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率为________.
答案　
解析　方法一　依题意，每家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为，去另外两个片区建立分公司的概率为，这4家央企恰有2家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为P＝C22＝.
方法二　所有可能的申请方式有34种，恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的方式有C·22种，从而恰有2家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为P＝＝.
12.(2018·茂名模拟)不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数X的数学期望是________.
答案　
解析　当X＝k时，第k次取出的必然是红球，而前k－1次中，有且只有1次取出的是红球，其余次数取出的皆为黑球，故P(X＝k)＝＝，于是得到X的分布列为
X
2
3
4
5
6
7
P







故E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＋7×＝.