2019届二轮复习第21讲　不等式选讲学案（全国通用）

第21讲　不等式选讲

1.[2017·全国卷Ⅰ  已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)= x+1 + x-1 .

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1 ,求a的取值范围.

[试做  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命题角度　含绝对值的不等式的解法

含绝对值不等式的解题策略:

关键一:运用分类讨论思想,根据零点分区间讨论;

关键二:运用数形结合思想,利用绝对值的几何意义求解.

2.[2017·全国卷Ⅱ  已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:

(1)(a+b)(a5+b5)≥4;

(2)a+b≤2.

[试做  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命题角度　不等式的证明

不等式证明的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等,其中公式法常用的是基本不等式和柯西不等式.

3.[2016·全国卷Ⅲ  已知函数f(x)= 2x-a +a.

(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;

(2)设函数g(x)= 2x-1 ,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.

[试做  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命题角度　关于含绝对值不等式的恒成立问题

解决恒成立问题主要利用转化思想,其思路为:

①f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a ;

②f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a;

③f(x)>a有解⇔f(x)max>a;

④f(x)<a有解⇔f(x)min<a;

⑤f(x)>a无解⇔f(x)max≤a;

⑥f(x)<a无解⇔f(x)min≥a.

解答1含绝对值的不等式的解法

1 设函数f(x)= 2x-a +5x,其中a>0.

(1)当a=3时,求不等式f(x)≥5x+1的解集;

(2)若不等式f(x)≤0的解集为{ ≤-1},求a的值.

[听课笔记  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考场点拨】

高考常考的含有绝对值的不等式的解法:

(1)利用零点分区间讨论法.以绝对值的零点为分界点,将数轴分成几个区间,运用分类讨论思想对每个区间进行讨论.

(2)利用绝对值的几何意义求解.即运用数形结合思想,将绝对值不等式与在数轴上的距离(范围)问题结合.解题时强调函数、数形结合与转化化归思想的灵活应用.

(3)构造函数去解决.一般是把含有绝对值的式子构造为一个函数,剩余的部分构造成另一个函数,画出函数图像,利用数形结合的方法解决问题.

【自我检测】

已知函数f(x)= x+m + 2x-1 .

(1)当m=-1时,求不等式f(x)≤2的解集;

(2)若f(x)≤ 2x+1 的解集包含,2,求实数m的取值范围.

解答2不等式的证明

2 已知函数f(x)= x+1 - x-4 .

(1)若f(x)≤-m2+6m恒成立,求实数m的取值范围;

(2)在(1)的条件下,设m的最大值为m0,a,b,c均为正实数,当3a+4b+5c=m0 时,证明:a2+b2+c2≥.

[听课笔记  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考场点拨】

高考中不等式证明的关注点:

不等式证明的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等,其中以比较法和综合法最为常见,反证法和分析法也是我们常用的,公式法常用的是基本不等式和柯西不等式,其中柯西不等式既是证明不等式的利器,又是求二元变量关系式最值的法宝.

【自我检测】

已知函数f(x)= x-1 + x-5 .

(1)解关于x的不等式f(x)>6;

(2)记f(x)的最小值为m,已知实数a,b,c 都是正实数,且++=,求证:a+2b+3c≥9.

解答3含绝对值不等式的恒成立问题

3 已知函数f(x)= x-2 - 2x-2 .

(1)求不等式f(x)+1>0的解集;

(2)当x∈R时,f(x)<-x+a恒成立,求实数a的取值范围.

[听课笔记  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【考场点拨】

利用绝对值不等式恒成立求参数的值或范围,一般采用分离参数法,然后使用结论:(1)如f(x)>g(a)恒成立,则转化为f(x)min>g(a);(2)如f(x)<g(a)恒成立,则转化为f(x)max<g(a).

【自我检测】

设函数f(x)= x+a + x-3a ,a∈R.

(1)若f(x)的最小值是4,求a的值;

(2)若对于任意的实数x∈R,总存在a∈[-2,3 ,使得m2-4 m -f(x)≤0成立,求实数m的取值范围.

第21讲　不等式选讲

典型真题研析

1.解:(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于

x2-x+ x+1 + x-1 -4≤0.①

当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;

当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;

当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤.

所以f(x)≥g(x)的解集为.

(2)当x∈[-1,1 时,g(x)=2,

所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1 ,等价于当x∈[-1,1 时f(x)≥2.

又f(x)在[-1,1 的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2,且f(1)≥2,得-1≤a≤1.

所以a的取值范围为[-1,1 .

2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.

(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,

所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.

3.解:(1)当a=2时,f(x)= 2x-2 +2.

解不等式 2x-2 +2≤6,得-1≤x≤3.

因此,f(x)≤6的解集为{x -1≤x≤3}.

(2)当x∈R时,f(x)+g(x)= 2x-a +a+ 1-2x ≥ 2x-a+1-2x +a= 1-a +a,

当x=时等号成立,

所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于 1-a +a≥3.①

当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.

当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.

所以a的取值范围是[2,+∞).

考点考法探究

解答1

 例1　解:(1)当a=3时,不等式f(x)≥5x+1即 2x-3 +5x≥5x+1,即 2x-3 ≥1,解得x≥2或x≤1,

∴不等式f(x)≥5x+1的解集为{ ≤1或x≥2}.

(2)由f(x)≤0得 2x-a +5x≤0,

即或

又a>0,∴不等式f(x)≤0的解集为xx≤-,

由题意得-=-1,解得a=3.

【自我检测】

解:(1)当m=-1时,f(x)= x-1 + 2x-1 .

①当x≥1时,f(x)=3x-2≤2,此时1≤x≤;

②当<x<1时,f(x)=x≤2,此时<x<1;

③当x≤时,f(x)=2-3x≤2,此时0≤x≤.

综合①②③可知,原不等式的解集为.

(2)由题意可知f(x)≤ 2x+1 在,2上恒成立,当x∈,2时,

由f(x)= x+m + 2x-1 = x+m +2x-1≤ 2x+1 =2x+1,可得 x+m ≤2,

即-2≤x+m≤2,所以-2-x≤m≤2-x,又(-2-x)max=-,(2-x)min=0,

所以m∈-,0.

解答2

 例2　解:(1)不等式f(x)≤-m2+6m恒成立等价于f(x)max≤-m2+6m,

而f(x)= x+1 - x-4 ≤ x+1-(x-4) =5,

∴-m2+6m≥5, ∴1≤m≤5,

即实数m的取值范围为[1,5 .

(2)证明:在(1)的条件下,m的最大值m0=5,即3a+4b+5c=5,

由柯西不等式得(a2+b2+c2)·(9+16+25)≥(3a+4b+5c)2,

即50(a2+b2+c2)≥25,

∴a2+b2+c2≥.

【自我检测】

解:(1)f(x)= x-1 + x-5 ,所以由f(x)>6得

或或

解得x<0或x>6,

所以不等式f(x)>6的解集为(-∞,0)∪(6,+∞).

(2)证明:由f(x)= x-1 + x-5 ≥ x-1-(x-5) =4(当且仅当1≤x≤5时取等号),

得f(x)min=4,即m=4,从而++=1,

所以a+2b+3c=++(a+2b+3c)=3++++++≥9(当且仅当a=2b=3c=3时取等号).

解答3

 例3　解:(1)当x≤1时,f(x)=x,

∴f(x)+1>0即为x+1>0,解得x>-1,此时-1<x≤1;

当1<x≤2时,f(x)=-3x+4,

∴f(x)+1>0即为-3x+5>0,解得x<,此时1<x<;

当x>2时,f(x)=-x,

∴f(x)+1>0即为-x+1>0,解得x<1,此时x∈⌀.

综上可知,f(x)+1>0的解集为x-1<x<.

(2)由(1)知f(x)=

作出y=f(x)的图像,如图所示:

结合图像可知,要使f(x)<-x+a恒成立,只需当x=1时,f(x)<-x+a,即1<-1+a,解得a>2,

∴实数a的取值范围为(2,+∞).

【自我检测】

解:(1)∵f(x)= x+a + x-3a ≥ (x+a)-(x-3a) =4 a ,

且f(x)min=4,∴4 a =4,

解得a=±1.

(2)由题知 m 2-4 m ≤4 a ,

又a是存在的且a∈[-2,3 .

∴ m 2-4 m ≤4 a max=12,

即 m 2-4 m -12≤0,即( m -6)( m +2)≤0,

∴ m ≤6,

∴-6≤m≤6,即实数m的取值范围为[-6,6 .

[备选理由  在不等式的证明中,反证法也是解决问题的一个重要思路,备用例1是对例2应用的一个补充.

例1　[配例2使用  已知函数f(x)= 2x-a ,g(x)=x+2,a∈R.

(1)当a=1时,求不等式f(x)+f(-x)≤g(x)的解集;

(2)若b∈R,求证:f,f-,f中至少有一个不小于.

解:(1)当a=1时,f(x)+f(-x)≤g(x)即 2x-1 + 2x+1 ≤x+2,

所以无解;解得0≤x<;解得≤x≤.

综上,原不等式的解集为x0≤x≤.

(2)证明:(反证法)假设f,f-,f都小于,则前两式相加可得-<a<,与第三式<a<矛盾,故假设不成立.

所以f,f,f中至少有一个不小于.