2019届二轮复习第22讲　不等式选讲学案（全国通用）

第22讲　不等式选讲

1.[2018·全国卷Ⅱ  设函数f(x)=5- x+a - x-2 .

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;

(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.

[试做  

2.[2018·全国卷Ⅰ  已知f(x)= x+1 - ax-1 .

(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.

[试做  

3.[2017·全国卷Ⅱ  已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:

(1)(a+b)(a5+b5)≥4;

(2)a+b≤2.

[试做  

 (1)形如 x-a + x-b ≥c(或≤c)的不等式主要有两种解法:

①分段讨论法:利用绝对值内表达式对应方程的根,将数轴分为(-∞,a ,(a,b ,(b,+∞)(此处设a<b)三个部分,在每部分内去掉绝对值并分别列出对应的不等式求解,然后取各部分解集的并集;

②图像法:作出函数y1= x-a + x-b 和y2=c的图像,结合图像求解.

(2)不等式的恒成立问题一般有两种解法:

①利用函数思想转化为函数的最值问题求解;

②构造两个函数,作出函数图像,通过数形结合寻找临界状态得到参数的取值范围.

(3)利用基本不等式证明不等式是用综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已知不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后得到需证的结论.

解答1含绝对值不等式的解法

1 已知函数f(x)= x-a - 3x+2 (a>0).

(1)当a=1时,解不等式f(x)>x-1;

(2)若关于x的不等式f(x)>4有解,求a的取值范围.

[听课笔记    

【考场点拨】

(1)对于形如 f(x) ≥ g(x) 的不等式,可利用不等式两边平方的技巧去掉绝对值;(2)对于形如 f(x) ± g(x) ≥a, f(x) ± g(x) ≤a的不等式,通常利用“零点”分区间法去掉绝对值.

【自我检测】

设函数f(x)= 2x-7 +1.

(1)求不等式f(x)≤x的解集;

(2)若存在x使不等式f(x)-2 x-1 ≤a成立,求实数a的取值范围.

解答2不等式的证明

2 已知a>0,b>0,且a2+b2=2.

(1)若+≥ 2x-1 - x-1 恒成立,求x的取值范围;

(2)证明:(a5+b5)≥4.

[听课笔记    

【考场点拨】

(1)证明不等式的基本方法有综合法、分析法,也常用到基本不等式进行证明;(2)对于含有绝对值的不等式,在证明时常用到绝对值三角不等式;(3)对于含有根号的不等式,在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数);(4)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题,或以“至少”“至多”等方式给出,可以考虑反证法.

【自我检测】

已知关于x的不等式≤ x+2 的解集为R.

(1)求实数m的值;

(2)若a,b,c>0,且a+b+c=m,求证:++≤.

解答3含绝对值不等式的恒成立问题

3 已知函数f(x)= x-2 +2 x-1 .

(1)求不等式f(x)>4的解集;

(2)若不等式f(x)>2m2-7m+4对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.

[听课笔记    

【考场点拨】

利用绝对值不等式恒成立求参数的值或取值范围常用以下结论:①若f(x)>g(a)恒成立,则f(x)min>g(a);②若f(x)<g(a)恒成立,则f(x)max<g(a).

【自我检测】

已知函数f(x)= x+1 + x-2 -m,m∈R.

 (1)若m=5,求不等式f(x)>0的解集;

(2)若对于任意x∈R,不等式f(x)≥2恒成立,求m的取值范围.

第22讲　不等式选讲

典型真题研析

1.解:(1)当a=1时,

f(x)=

可得f(x)≥0的解集为{x -2≤x≤3}.

(2)f(x)≤1等价于 x+a + x-2 ≥4.

而 x+a + x-2 ≥ a+2 ,且当x=2时等号成立,故f(x)≤1等价于 a+2 ≥4.

由 a+2 ≥4可得a≤-6或a≥2,

所以a的取值范围是(-∞,-6 ∪[2,+∞).

2.解:(1)当a=1时,f(x)= x+1 - x-1 ,即f(x)=

故不等式f(x)>1的解集为xx>.

(2)当x∈(0,1)时 x+1 - ax-1 >x成立等价于当x∈(0,1)时 ax-1 <1成立.

若a≤0,则当x∈(0,1)时 ax-1 ≥1;

若a>0, ax-1 <1的解集为x0<x<,所以≥1,故0<a≤2.

综上,a的取值范围为(0,2 .

3.证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.

(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,

所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.

考点考法探究

解答1

例1　解:(1)当a=1时,不等式f(x)>x-1即为 x-1 - 3x+2 >x-1.

当x>1时,不等式可化为-2x-3>x-1,解得x<-,与x>1矛盾,此时不等式无解;

当-≤x≤1时,不等式可化为-4x-1>x-1,

解得x<0,所以-≤x<0;

当x<-时,不等式可化为2x+3>x-1,

解得x>-4,所以-4<x<-.

综上所述,不等式的解集为{x -4<x<0}.

(2)f(x)=

因为函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,

所以当x=-时,f(x)max=+a.

不等式f(x)>4有解等价于f(x)max=+a>4,解得a>,

故a的取值范围为.

【自我检测】

解:(1)由f(x)≤x,得 2x-7 +1≤x,即 2x-7 ≤x-1.

当x≤1时,显然不成立.

当x>1时,两边平方得3x2-26x+48≤0,即(x-6)(3x-8)≤0,解得≤x≤6,

综上得,不等式的解集为x≤x≤6.

(2)因为存在x使不等式 2x-7 -2 x-1 +1≤a成立,所以 2x-7 -2 x-1 +1的最小值小于等于a.

又因为 2x-7 -2 x-1 +1=所以a≥-4.

解答2

例2　解:(1)设f(x)= 2x-1 - x-1 ,则f(x)=

由a2+b2=2,得(a2+b2)=1,

所以+=(a2+b2)=≥=,

当且仅当a2=,b2=时等号成立,

所以≥ 2x-1 - x-1 .

当x≥1时,得x≤,所以1≤x≤;

当≤x<1时,得3x-2≤,解得x≤,所以≤x<1;

当x<时,得-x≤,解得x≥-,所以-≤x<.

综上可得-≤x≤.

(2)证明:(a5+b5)=a4+b4++=(a2+b2)2++-2a2b2≥(a2+b2)2+2-2a2b2=(a2+b2)2=4,当且仅当=,即a=b=1时等号成立.

【自我检测】

解:(1)∵≤ x+2 ,

∴≤(x+2)2,

整理得3x2+(16-4m)x+16-4m2≥0.

由题意得Δ=(16-4m)2-4×3×(16-4m2)≤0,

整理得(m-1)2≤0,

∴m=1.

(2)证明:∵a+b+c=1,a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2,当且仅当a=b=c=时等号都成立,

∴++≤a+b+c=1.

又∵(++)2=a+b+c+2+2+2,

∴(++)2≤3,

∴++≤.

解答3

例3　解:(1)依题意得f(x)= x-2 +2 x-1 =

不等式f(x)>4等价于或或

解得x<0或x∈或x>,故所求解集为(-∞,0)∪.

(2)由(1)可得,当x=1时,f(x)取得最小值1.

∵f(x)>2m2-7m+4对任意x∈R恒成立,

∴f(x)min>2m2-7m+4,即2m2-7m+4<1,

∴2m2-7m+3<0,解得<m<3,

∴实数m的取值范围是.

【自我检测】

解:(1) x+1 + x-2 =

当m=5时,f(x)>0等价于或或

解得x<-2或x∈或x>3,

∴不等式f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).

(2)由题意知m≤ x+1 + x-2 -2在R上恒成立,

又 x+1 + x-2 -2≥ (x+1)-(x-2) -2=1,

∴m≤1,即m的取值范围是(-∞,1 .

[备选理由  例1考查含参绝对值不等式的求解,解题时要对参数进行分类讨论,有利于学生进一步掌握去掉绝对值的原则;例2考查不等式的证明,需要采用反证法证明,难度不大,但思维含量较高;例3考查绝对值不等式恒成立问题,需要分类讨论去掉绝对值,涉及分类与整合思想,分离参数法,利用基本不等式及导数求最值等知识与思想方法, 综合性较大.

例1　[配例1使用  已知函数f(x)= 2x+1 + x-a ,a∈R.

(1)当a=2时,解不等式f(x)≤4;

(2)若不等式f(x)<1的解集为非空集合,求a的取值范围.

解:(1)当a=2时,原不等式即为 2x+1 + x-2 ≤4.

①当x≤-时,原不等式为-2x-1-x+2≤4,可得-1≤x≤-;

②当-<x≤2时,原不等式为2x+1-x+2≤4,可得-<x≤1;

③当x>2时,原不等式为2x+1+x-2≤4,可得x∈.

综上可知,原不等式的解集是[-1,1 .

(2)f(x)= 2x+1 + x-a ,a∈R.

①当a=-时,f(x)= 2x+1 ≥0,显然不等式f(x)<1的解集为非空集合.

②当a>-时,易知当x=-时,f(x)取得最小值a+,即f(x)= 2x+1 + x-a ≥a+.欲使不等式f(x)<1的解集为非空集合,则需a+<1,

∴-<a<.

③当a<-时,易知当x=-时,f(x)取得最小值-a-,即f(x)= 2x+1 + x-a ≥-a-.欲使不等式f(x)<1的解集为非空集合,则需-a-<1,∴-<a<-.

综上可知,当-<a<时,不等式f(x)<1的解集为非空集合.

例2　[配例2使用  已知函数f(x)= x+1 + x-1 .

(1)求函数f(x)的最小值a;

(2)根据(1)中的结论,若m3+n3=a,且m>0,n>0,求证:m+n≤2.

解:(1)f(x)= x+1 + x-1 ≥ x+1-(x-1) =2,当且仅当-1≤x≤1时取等号,

所以f(x)min=2,即a=2.

(2)证明:假设m+n>2,则m>2-n,则m3>(2-n)3,

所以m3+n3>(2-n)3+n3=2+6(1-n)2≥2.①

由(1)知a=2,所以m3+n3=2.②

①②矛盾,所以假设不成立,即m+n≤2.

例3　[配例3使用  已知函数f(x)= 2x + 2x+3 +m,m∈R.

(1)当m=-2时,求不等式f(x)≤3的解集;

(2)若对任意x∈(-∞,0),都有f(x)≥x+恒成立,求m的取值范围.

解:(1)当m=-2时,f(x)= 2x + 2x+3 -2=

当x≥0时,得4x+1≤3,可得0≤x≤;当-<x<0时,得1≤3,恒成立;

当x≤-时,得-4x-5≤3,可得-2≤x≤-.

综上可得,不等式f(x)≤3的解集为.

(2)当x∈(-∞,0)时,f(x)= 2x + 2x+3 +m=

当-<x<0时,不等式化为3+m≥x+.

∵x+=-≤-2=-2,当且仅当-x=-,即x=-时等号成立,

∴m+3≥-2,∴m≥-3-2.

当x≤-时,不等式化为-4x-3+m≥x+,

∴m≥5x++3.令y=5x++3,x∈,

则y'=5->0,

∴y=5x++3在上是增函数.

∴当x=-时,y=5x++3取到最大值,最大值为-,

∴m≥-.

综上可得m≥-3-2.