2019届二轮复习第32练　矩阵与变换、坐标系与参数方程学案（全国通用）

第32练　矩阵与变换、坐标系与参数方程
[明晰考情]　1.命题角度： 常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法；极坐标和参数方程的简单综合运用.2.题目难度：中档难度.

考点一　 线性变换、二阶矩阵及其求法
方法技巧　线性变换问题一般是设变换T：→，求出原曲线在T的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值.
1.已知变换矩阵A：平面上的点P(2，－1)，Q(－1,2)分别变换成点P1(3，－4)，Q1(0,5)，求变换矩阵A.
解　设所求的变换矩阵A＝，依题意，可得
 ＝， ＝，
即解得
所以所求的变换矩阵A＝.
2.已知M＝，N＝，求二阶矩阵X，使得MX＝N.
解　设X＝，
由题意有 ＝，
根据矩阵乘法法则有
解得
∴X＝.
3.已知曲线C1：x2＋y2＝1，对它先作矩阵A＝对应的变换，再作矩阵B＝对应的变换，得到曲线C2：＋y2＝1，求实数m的值.
解　BA＝ ＝，设P(x0，y0)是曲线C1上的任一点，它在矩阵BA变换作用下变成点P′(x′，y′)则＝＝，则即又点P在曲线C1上，则y′2＋＝1，所以m2＝1，所以m＝±1.
4.(2017·江苏)已知矩阵A＝，B＝.
(1)求AB；
(2)若曲线C1：＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程.
解　(1)因为A＝，B＝，
所以AB＝ ＝.
(2)设Q(x0，y0)为曲线C1上任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为点P(x，y)，
则 ＝，
即所以
因为点Q(x0，y0)在曲线上C1上，所以＋＝1，
从而＋＝1，即x2＋y2＝8.
因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线
C2：x2＋y2＝8.
考点二　逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量
方法技巧　1.由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序.2.求矩阵M＝就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法.
5.已知矩阵A＝.
(1)求A的逆矩阵A－1；
(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(3,1)，求点P的坐标.
解　(1)因为A＝，又2×2－1×3＝1≠0，
所以A可逆，从而A－1＝.
(2)设P(x，y)，则 ＝，
所以＝A－1＝，
因此，点P的坐标为(3，－1).
6.求矩阵A＝的特征值与属于每个特征值的一个特征向量.
解　矩阵A的特征多项式为f(λ)＝，
令f(λ)＝0，得λ2－5λ－24＝0，
所以λ1＝8，λ2＝－3为矩阵A的两个特征值.
①当λ1＝8时，解相应线性方程组可任取一解，得λ＝8的一个特征向量α1＝.
②当λ2＝－3时，解相应线性方程组可任取一解，得λ＝－3的一个特征向量α2＝.
7.(2018·无锡调研)已知二阶矩阵A对应的变换将点M(1,1)变换成M′(3,3)，将点N(－1,2)变换成N′(3,0).
(1)求矩阵A的逆矩阵A－1；
(2)若向量β＝，计算A3β.
解　(1)设A＝，则
 ＝＝⇒
 ＝＝⇒
解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1，
所以A＝，
所以A－1＝.
(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)2－4＝λ2－2λ－3，
令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，
从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝，α2＝.
令β＝mα1＋nα2，求得m＝3，n＝－2，
所以A3β＝A3(3α1－2α2)＝3(A3α1)－2(A3α2)
＝3(λα1)－2(λα2)＝3·33 －2·(－1)3＝.
8.(2018·如皋调研)已知矩阵A＝属于特征值λ的一个特征向量为α＝.
(1)求实数b，λ的值；
(2)若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C′：x2＋2y2＝2，求曲线C的方程.
解　(1)由题意得Aα＝λα，
即  ＝λ，
解得b＝0，λ＝2.
(2)由(1)知，矩阵A＝.设曲线C上的一点P，在矩阵A的作用下得到点P′(x′，y′).
＝ ＝，
所以
将上式代入方程x′2＋2y′2＝2，
得(2x)2＋2(x＋3y)2＝2，
整理得3x2＋9y2＋6xy－1＝0.
所以曲线C的方程为3x2＋9y2＋6xy－1＝0.
考点三　曲线的极坐标方程
方法技巧　曲线极坐标方程的应用一般有两种思路：一是将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；二是将曲线的极坐标方程联立，根据极坐标的意义求解.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.
9.在极坐标系中，设直线θ＝与曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标.
解　方法一　将直线θ＝化为直角坐标方程，得y＝x，
将曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0化为直角坐标方程，得x2＋y2－10x＋4＝0，
联立并消去y，得2x2－5x＋2＝0，
解得x1＝，x2＝2，
所以AB中点的横坐标为＝，纵坐标为，
化为极坐标为.
方法二　联立直线l与曲线C的极坐标方程，
得
消去θ，得ρ2－5ρ＋4＝0，解得ρ1＝1，ρ2＝4，
所以线段AB中点的极坐标为，即.
10.(2018·宿迁质检)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ－3＝0.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)求直线l被曲线C截得线段的长.
解　(1)直线l的普通方程为y＝x－1，曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝4.
(2)曲线C表示以为圆心，2为半径的圆，
圆心到直线l的距离d＝1，
故直线l被曲线C截得的线段长为2＝2.
11.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－1＝0.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线ρcos＋＝0距离最大的点P的直角坐标.
解　(1)因为ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y－1＝0，θ∈[0,2π).
(2)直线方程为x－y＋＝0，圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－)2＝4，
所以设圆上点P的坐标为(－1＋2cos θ，＋2sin θ)，θ∈[0,2π)，
则d＝
＝，
所以当cos＝－1，即θ＝时距离最大，此时点P的坐标为(－2，＋).
12.在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上(O为极点)，且满足OP·OM＝4，记点P的轨迹为C2，求曲线C2上的点到直线C3：(t为参数)的距离的最大值.
解　设点P(ρ′，θ′)，M(ρ1，θ′)，
依题意得ρ1sin θ′＝2，ρ′ρ1＝4，
消去ρ1，得ρ′＝2sin θ′，故曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ(ρ≠0).
化为直角坐标方程，得C2：x2＋(y－1)2＝1，是以点(0,1)为圆心，1为半径的圆.
又直线C3的普通方程为x－y＝2，
故圆心到直线C3的距离d＝，
故曲线C2上的点到直线C3的距离的最大值为1＋.

考点四 　参数方程
方法技巧　过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是有向线段P0P的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则P1P2＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2).
13.(2018·苏州调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(其中t为参数).在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cos θ.
(1)分别写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
(2)若直线l与圆C相切，求实数a的值.
解　(1)直线l的普通方程是2x＋y－a－2＝0，
圆C的直角坐标方程是(x－2)2＋y2＝4.
(2)由(1)知圆心为C(2,0)，半径r＝2，
设圆心到直线的距离为d，因为直线与圆相切，
所以d＝＝＝2，
解得a＝2±2.
14.(2018·江苏省南京外国语学校质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数，m为常数).以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝.若直线l与圆C有两个公共点，求实数m的取值范围.
解　圆C的普通方程为(x－m)2＋y2＝4.
直线l的极坐标方程化为ρ＝，
即x＋y＝，化简得x＋y－2＝0.
因为圆C的圆心为C(m,0)，半径为2，圆心C到直线l的距离d＝，
所以d＝＜2，
解得2－2＜m＜2＋2.
15.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，φ∈[0，π)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)若直线l与圆C相切，求φ的值；
(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1＝2t2时，求AB的长.
解　(1)圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，
将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程得(tcos φ－4)2＋(tsin φ)2＝4，
即t2－8tcos φ＋12＝0，
因为直线l与圆C相切，
所以Δ＝(8cos φ)2－4×12＝0，
所以cos φ＝或cos φ＝－，φ∈[0，π)，
所以φ＝或.
(2)将代入圆C的直角坐标方程(x－2)2＋y2＝4，
得t2－8tcos φ＋12＝0，
因为t1,2＝，
所以
又t1＝2t2，所以⇒64cos2φ＝54，
所以AB＝＝＝.
16.(2018·如皋调研)已知在平面直角坐标系xOy中，圆M的参数方程为(θ为参数)，以Ox轴为极轴， O为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N是以点为圆心，且过点的圆.
(1)求圆M的普通方程及圆N的直角坐标方程；
(2)求圆M上任一点P与圆N上任一点之间距离的最小值.
解　(1)将方程消去参数θ，可得2＋2＝4，
所以圆M的方程为2＋2＝4.
点和点的直角坐标分别为，，
所以圆N的圆心为，
半径为r＝＝1，
故圆N的直角坐标方程为2＋2＝1.
(2)由(1)得圆M，N的圆心距为
MN＝＝4，
所以圆M上任一点P与圆N上任一点之间距离的最小值为dmin＝MN－3＝4－3＝1.

1.已知矩阵M＝，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4,0).
(1)求实数a的值；
(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.
解　(1)由 ＝，
得2－2a＝－4⇒a＝3.
(2)由(1)知M＝，则矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.
令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1与4.
当λ＝－1时，⇒x＋y＝0，
∴矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为；当λ＝4时，⇒2x－3y＝0.
∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.
2.已知矩阵A＝(a为实数).
(1)若矩阵A存在逆矩阵，求实数a的取值范围；
(2)若直线l：x－y＋4＝0在矩阵A对应的变换作用下变为直线l′：x－y＋2a＝0，求实数a的值；
(3)在(2)的条件下，求A5.
解　(1)∵＝a2－1≠0，
∴a≠±1.
(2)设l上任一点在A的变换作用下变为点，
则 ＝＝，
所以
所以x′－y′＋2a＝ax＋y－x－ay＋2a＝x＋y＋2a＝0，所以a＝2.
(3)A2＝ ＝，
A4＝ ＝ ，
A5＝ ＝.
3.平面直角坐标系xOy中，已知直线(l为参数)与曲线(t为参数)相交于A，B两点，求线段AB的长.
解　直线的普通方程为2x－2y＋3＝0，曲线的普通方程为y2＝8x.
解方程组
得或
取A，B，得AB＝4.
4.(2018·江苏邗江中学调研)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
(1)写出圆C的极坐标方程及圆心C的极坐标；
(2)直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)与圆C交于M，N两点，求△CMN的面积.
解　(1)极坐标(ρ，θ)与直角坐标(x，y)的对应关系为

所以
根据sin2α＋cos2α＝1，消元得
(ρcos θ－)2＋(ρsin θ－1)2＝4，
故得圆C的极坐标方程为ρ＝4sin.
因为圆心C的直角坐标为(，1)，所以极坐标为.
(2)联立得交点极坐标M(0,0)，N，
所以MN＝2，MC＝2，
所以△CMN的面积S＝×2×2sin ＝.