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2019届二轮复习（文）不等式与线性规划学案（全国通用）
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与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．备考时，应切实文解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．
1．(1)若ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1和x2(x1
(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
2．(1)ab≤2(a，b∈R)；
(2) ≥≥≥(a>0，b>0)；
(3)不等关系的倒数性质
⇒<；
(4)真分数的变化性质
若00，则<；
(5)形如y＝ax＋(a>0，b>0)，x∈(0，＋∞)取最小值时，ax＝⇒x＝，即“对号函数”单调变化的分界点；
(6)a>0，b>0，若a＋b＝P，当且仅当a＝b时，ab的最大值为2；若ab＝S，当且仅当a＝b时，a＋b的最小值为2.
3．不等式y> x＋b表示直线y＝ x＋b上方的区域；y< x＋b表示直线y＝ x＋b下方的区域．
高频考点一 不等式性质及解不等式
例1、(1)已知实数x，y满足ax
C．sin x＞sin y D．x3＞y3
解析：根据指数函数的性质得x＞y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A、B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质知，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立．
答案：D
(2)若对任意的x，y∈R，不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1 B．[1，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1
【方法规律】
1．解一元二次不等式主要有两种方法：图象法和因式分解法．
2．解含参数的“一元二次不等式”时，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行讨论；其次根据相应一元二次方程的根是否存在，即Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小进行讨论．
3．解决恒成立问题可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．
4．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
5．解决不等式在给定区间上的恒成立问题，可先求出相应函数这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题．学
【变式探究】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________．
解析：通解：先求出函数f(x)在R上的解析式，然后分段求解不等式f(x)>x，即得不等式的解集．
设x<0，则－x>0，于是f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函数，所以－f(x)＝x2＋4x，即f(x)＝－x2－4x，且f(0)＝0，于是f(x)＝当x>0时，由x2－4x>x得x>5；
当x<0时，由－x2－4x>x得－5
设y1＝f(x)＝x2－4x，y2＝x(x>0)．
令y1＝y2，∴x2－4x＝x，∴x＝0或x＝5.
作y1＝f(x)及y2＝x的图象，
则A(5,5)，由于y1＝f(x)及y2＝x都是奇函数，作它们关于(0,0)的对称图象，则B(－5，－5)，由图象可看出当f(x)>x时，x∈(5，＋∞)及(－5,0)．
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
高频考点二 基本不等式及应用
例2、（2018年天津卷）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．
【答案】
【解析】由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
【变式探究】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ .
【答案】30
【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.
【变式探究】(1)设a＞0，b＞0.若关于x，y的方程组无解，则a＋b的取值范围是________．
解析：通解：依题意，由ax＋y＝1得y＝1－ax，代入x＋by＝1得x＋b(1－ax)＝1，即(1－ab)x＝1－b.由原方程组无解得，关于x的方程(1－ab)x＝1－b无解，因此1－ab＝0且1－b≠0，即ab＝1且b≠1.
又a＞0，b＞0，a≠b，ab＝1，因此a＋b＞2＝2，即a＋b的取值范围是(2，＋∞)．
优解：由题意，关于x，y的方程组无解，则直线ax＋y＝1与x＋by＝1平行且不重合，从而可得ab＝1，且a≠b.
又a＞0，b＞0，故a＋b＞2＝2，即a＋b的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
(2)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：C
【方法技巧】
1．常数代换法求最值的关键在于常数的变形，利用此方法求最值应注意以下三个方面：(1)注意条件的灵活变形，确定或分离出常数，这是解题的基础；(2)将常数化成“1”，这是代数式等价变形的基础；(3)利用基本不等式求解最值时要满足“一正、二定、三相等”，否则容易出现错解．
2．拼凑法就是将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．此方法适用于已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，或已知函数解析式，求函数的最值问题．
【变式探究】已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0 ∪[4，＋∞) ，则a的值是( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选C.由题意可得a＞0，①当x＞0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；②当x＜0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号．所以解得a＝1，故选C.
高频考点三 求线性规划中线性目标函数的最值
例3、（2018年北京卷）若?,y满足，则2y−?的最小值是_________.
【答案】3
【解析】不等式可转化为，即
满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图
令，
由图象可知，当过点时，取最小值，此时，
的最小值为.
【变式探究】【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件,则 =x+2y的最大值是
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【答案】D
【解析】画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线,可知当其经过直线与的交点时, 取得最大值，为,故选D.
【变式探究】(1)某高 技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 g，乙材料1 g，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 g，乙材料0.3 g，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 g，乙材料90 g，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解析：由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润 ＝2 100x＋900y，线性约束条件为，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N ，y∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以 max＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
答案：216 000
(2)若x，y满足约束条件则 ＝x－2y的最小值为________．
解析：通解：作出可行域如图中阴影部分所示，由 ＝x－2y得y＝x－ ，作直线y＝x并平移，观察可知，当直线经过点A(3,4)时， min＝3－2×4＝－5.
优解：因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3,4)，(1,2)，(3,0)，依次代入目标函数可求得 min＝－5.
答案：－5
【方法技巧】求目标函数的最值的方法
1．几何意义法
(1)常见的目标函数
①截距型：形如 ＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数 ＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出 的最值．
②距离型：形如 ＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则 ＝ PM 2.
③斜率型：形如 ＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则 ＝ PM.
(2)目标函数 ＝xy的几何意义
①由已知得y＝，故可理解为反比例函数y＝的图象，最值需根据该函数图象与可行域有公共点时进行判断．
②设P(x，y)，则 xy 表示以线段OP(O为坐标原点)为对角线的矩形面积．
2．界点定值法，利用可行域所对应图形的边界顶点求最值．
【变式探究】设x，y满足约束条件且 ＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
解析：通解：选B.二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.平移直线x＋ay＝0，可知在点A处， 取得最小值，
.
因此＋a×＝7，化简得a2＋2a－15＝0，
解得a＝3或a＝－5，但a＝－5时， 取得最大值，故舍去，答案为a＝3，故选B.
优解：由 ＝x＋ay得y＝－x＋
当a＜0时，由可行域知，当y＝－x＋过A点时最小， 有最大值，不合题意．
当a＞0时，y＝－x＋过A点时，最小， 也最小，故只能选B.
1. （2018年全国I卷）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19
C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：，本题选择C选项。
2. （2018年北京卷）设集合则
A. 对任意实数a，
B. 对任意实数a，（2,1）
C. 当且仅当a<0时,（2,1）
D. 当且仅当 时,（2,1）
【答案】D
【解析】若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.
3. （2018年浙江卷）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．
【答案】 (1). -2 (2). 8
【解析】作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.
4. （2018年天津卷）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．
【答案】
【解析】由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
5. （2018年北京卷）若?,y满足，则2y−?的最小值是_________.
【答案】3
【解析】不等式可转化为，即
满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图
令，
由图象可知，当过点时，取最小值，此时，
的最小值为.
6. （2018年江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.
7. （2018年全国III卷）若变量满足约束条件则的最大值是________．
【答案】3
【解析】作出可行域
1.【2017课标1，文7】设x，y满足约束条件则 =x+y的最大值为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时 取得最大值，故，故选D．
2.【2017课标II，文7】设满足约束条件 ,则的最小值是
A. B. C. D
【答案】A
【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：
=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由 解得A(−6,−3)，
则 =2x+y的最小值是：−15.
故选：A.
3.【2017课标3，文5】设x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A．[–3,0 B．[–3,2 C．[0,2 D．[0,3
【答案】B
【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.
目标函数即，易知直线在轴上的截距最大时，目标函数取得最小值；在轴上的截距最小时，目标函数取得最大值，即在点处取得最小值，为；在点处取得最大值，为.故的取值范围是[–3,2 .
4.【2017北京，文4】若满足则的最大值为
（A）1 （B）3
（C）5 （D）9
【答案】D
【解析】如图，画出可行域，
表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.
5.【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件,则 =x+2y的最大值是
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【答案】D
【解析】画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线,可知当其经过直线与的交点时, 取得最大值，为,故选D.
6.【2017浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是
A．[0，6 B．[0，4 C．[6， D．[4，
【答案】D
【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．
7.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ .
【答案】30
【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.
1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )学 ()
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
2.【2016高考天津文数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
（A） （B）6 （C）10 （D）17
【答案】B
【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.
3.【2016高考山东文数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）
（A）4 （B）9 （C）10 （D）12
【答案】C
【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.
4.【2016高考浙江文数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域 学
中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（ ）
A．2 B．4 C．3 D．
【答案】C
【解析】如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，．故选C．
5.【2016年高考北京文数】若，满足，则的最大值为（ ）
A.0 B.3 C.4 D.5 学
【答案】C
【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C.
6.【2016年高考四川文数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.
7.【2016高考新课标3文数】若满足约束条件 则的最大值为_____________.
【答案】
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线经过点时， 取得最大值.由 得 ，即，则．
8.【2016高考新课标1卷】某高 技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 g,乙材料1 g,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 g,乙材料0.3 g,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 g,乙材料90 g,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．学
【答案】 学
【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么
①
目标函数.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.
将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.
解方程组,得的坐标.
所以当,时,.
故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.
9.【2016高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 ▲ .
【答案】
【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为
1.【2015高考北京，文2】若，满足则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2.
2．【2015高考广东，文6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）
A． B. 6 C. D. 4
【答案】C
【解析】不等式组对应的平面区域如图：
由 =3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，
则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，
此时 最小，
由，解得，即A（1，），
此时 =3×1+2×=，
故选：B．
3.【2015高考天津，文2】设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( )
（A）3 （B）4 （C）18 （D）40
【答案】C
【解析】不等式所表示的平面区域如下图所示，当所表示直线经过点时， 有最大值18
4.【2015高考陕西，文10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
甲
乙
原料限额
（吨）
（吨）
【答案】D
【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润 学
由题意可列，其表示如图阴影部分区域：
当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．
5.【2015高考福建，文5】若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( )
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，取到最小值，最小值为，故选A．
6.【2015高考山东，文6】已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）
（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3
【答案】B
【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，
若的最大值为4，则最优解可能为 或 ，经检验，是最优解，此时 ；不是最优解.故选B.
7.【2015高考新课标1，文15】若满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
8.【2015高考浙江，文14】若实数满足，则的最小值是 ．
【答案】.
9．【2015高考新课标2，文14】若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．
【答案】
【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为．
【考点定位】线性规划．
10.【2015高考湖南，文4】若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A.-7 B.-1 C.1 D.2
【答案】A.
【解析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：，平移，从而可知当，时，的最小值是，故选A.
11.【2015高考四川，文9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
【答案】B
【解析】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..
12.【2015高考陕西，文9】设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C．
1. 【2014高考安徽卷文第5题】满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）
A, B. C.2或1 D.
【答案】D
【解析】题中的约束条件表示的区域如下图，将化成斜截式为，要使其取得最大值的最优解不唯一，则在平移的过程中与重合或与重合，所以或.
【考点定位】线性规划
2. 【2014高考北京版文第6题】若、满足，且的最小值为，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】若，没有最小值，不合题意；
若，则不等式组表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，直线在点处取得最小值，所以，解得.故选D.
【考点定位】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最小值
3. 【2014高考福建卷第11题】若变量满足约束条件则的最小值为________.
【答案】1
【解析】依题意如图可得目标函数过点A时截距最大.即.
【考点定位】线性规划.
4. 【2014高考福建卷第13题】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）.
【答案】88
【解析】假设底面长方形的长宽分别为, . 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.学+_
【考点定位】函数的最值.
5. 【2014高考广东卷文第3题】若变量、满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，
直线交直线于点，交直线于点，
作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即；
当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即
.
因此，，故选C.
【考点定位】线性规划中线性目标函数的最值
6. 【2014高考湖南卷第14题】若变量满足约束条件，且的最小值为，则.
【答案】
【解析】求出约束条件中三条直线的交点为,且不等式组限制的区域如图,所以,则当为最优解时,,
当为最优解时,, 因为,所以,故填.
【考点定位】线性规划
7. 【2014辽宁高考文第16题】对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .
【答案】
【解析】法一：判别式法：令，则，代入到中，得，即……①
因为关于的二次方程①有实根，所以，可得，
取最大值时，或，
当时，，
当时，，
综上可知当时，
法二：柯西不等式：由可得：
，
当且仅当时取等号，即时，取等号，
这时或
当时，，
当时，，
综上可知当时，
【考点定位】柯西不等式.
8. 【2014全国1高考文第9题】不等式组的解集为D,有下面四个命题：
， ，
，
其中的真命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画出可行域，如图所示，设，则，当直线过点时，取到最小值，，故的取值范围为，所以正确的命题是，选B．
【考点定位】线性规划、存在量词和全称量词．
10. 【2014山东高考文第5题】已知实数满足，则下面关系是恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】由及指数函数的性质得，所以，，选.
【考点定位】指数函数的性质，不等式的性质.
11. 【2014山东高考文第9题】 已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）
A.5 B.4 C. D.2
【答案】
【考点定位】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.
12. 【2014四川高考文第4题】若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
4．若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，又.选D
【考点定位】不等式的基本性质.
13. 【2014四川高考文第5题】执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
该程序执行以下运算：已知，求的最大值.作出表示的区域如图所示，由图可知，当时，最大，最大值为.选C.
【考点定位】程序框图与线性规划.
14. 【2014浙江高考文第13题】当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】作出不等式组所表示的区域，由得，由图可知，，且在点取得最小值在取得最大值，故，，故取值范围为．
【考点定位】线性规划.
15. 【2014天津高考文第2题】设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为 （ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
【答案】B．
【解析】由题画出如图所示的可行域，由图可知当直线经过点时，，故选B．
【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线性目标函数的最值问题．
16. 【2014大纲高考文第14题】设满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】5.
【解析】画出二元一次不等式组表示的平面区域（图4阴影部分）．，把平移可知当直线过点时，取最大值：．
【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线线目标函数的最值的计算．
17. 【2014高考上海文 】若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.
【答案】
【解析】，当且仅当时等号成立.
【考点定位】基本不等式.
18.【2014高考安徽卷第21题】设实数，整数， .
（1）证明：当且时，；
（2）数列满足，，证明：.
【答案】（1）证明：当且时，；（2）.
【解析】
（1）证明：用数学归纳法证明
①当时，，原不等式成立.
②假设时，不等式成立.
当时，
所以时，原不等式也成立.
综合①②可得，当且时，对一切整数，不等式均成立.
证法1：先用数学归纳法证明.
①当时，由题设知成立.②假设时，不等式成立.
由易知.
当时，.
当得.
由（1）中的结论得.
因此，即.所以时，不等式也成立.
综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.
再由可得，即.
综上所述，.
证法2：设，则，并且
.
由此可得，在上单调递增，因而，当时，.
①当时，由，即可知
，并且，从而.
故当时，不等式成立.
②假设时，不等式成立，则当时， ，即有.
所以当时，原不等式也成立.
综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.
【考点定位】数学归纳法证明不等式、构造函数法证明不等式.
与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．备考时，应切实文解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．
1．(1)若ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1和x2(x1
(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
2．(1)ab≤2(a，b∈R)；
(2) ≥≥≥(a>0，b>0)；
(3)不等关系的倒数性质
⇒<；
(4)真分数的变化性质
若0
(5)形如y＝ax＋(a>0，b>0)，x∈(0，＋∞)取最小值时，ax＝⇒x＝，即“对号函数”单调变化的分界点；
(6)a>0，b>0，若a＋b＝P，当且仅当a＝b时，ab的最大值为2；若ab＝S，当且仅当a＝b时，a＋b的最小值为2.
3．不等式y> x＋b表示直线y＝ x＋b上方的区域；y< x＋b表示直线y＝ x＋b下方的区域．
高频考点一 不等式性质及解不等式
例1、(1)已知实数x，y满足ax
C．sin x＞sin y D．x3＞y3
解析：根据指数函数的性质得x＞y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A、B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质知，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立．
答案：D
(2)若对任意的x，y∈R，不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1 B．[1，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1
【方法规律】
1．解一元二次不等式主要有两种方法：图象法和因式分解法．
2．解含参数的“一元二次不等式”时，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行讨论；其次根据相应一元二次方程的根是否存在，即Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小进行讨论．
3．解决恒成立问题可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．
4．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
5．解决不等式在给定区间上的恒成立问题，可先求出相应函数这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题．学
【变式探究】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________．
解析：通解：先求出函数f(x)在R上的解析式，然后分段求解不等式f(x)>x，即得不等式的解集．
设x<0，则－x>0，于是f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函数，所以－f(x)＝x2＋4x，即f(x)＝－x2－4x，且f(0)＝0，于是f(x)＝当x>0时，由x2－4x>x得x>5；
当x<0时，由－x2－4x>x得－5
设y1＝f(x)＝x2－4x，y2＝x(x>0)．
令y1＝y2，∴x2－4x＝x，∴x＝0或x＝5.
作y1＝f(x)及y2＝x的图象，
则A(5,5)，由于y1＝f(x)及y2＝x都是奇函数，作它们关于(0,0)的对称图象，则B(－5，－5)，由图象可看出当f(x)>x时，x∈(5，＋∞)及(－5,0)．
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
高频考点二 基本不等式及应用
例2、（2018年天津卷）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．
【答案】
【解析】由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
【变式探究】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ .
【答案】30
【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.
【变式探究】(1)设a＞0，b＞0.若关于x，y的方程组无解，则a＋b的取值范围是________．
解析：通解：依题意，由ax＋y＝1得y＝1－ax，代入x＋by＝1得x＋b(1－ax)＝1，即(1－ab)x＝1－b.由原方程组无解得，关于x的方程(1－ab)x＝1－b无解，因此1－ab＝0且1－b≠0，即ab＝1且b≠1.
又a＞0，b＞0，a≠b，ab＝1，因此a＋b＞2＝2，即a＋b的取值范围是(2，＋∞)．
优解：由题意，关于x，y的方程组无解，则直线ax＋y＝1与x＋by＝1平行且不重合，从而可得ab＝1，且a≠b.
又a＞0，b＞0，故a＋b＞2＝2，即a＋b的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
(2)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：C
【方法技巧】
1．常数代换法求最值的关键在于常数的变形，利用此方法求最值应注意以下三个方面：(1)注意条件的灵活变形，确定或分离出常数，这是解题的基础；(2)将常数化成“1”，这是代数式等价变形的基础；(3)利用基本不等式求解最值时要满足“一正、二定、三相等”，否则容易出现错解．
2．拼凑法就是将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．此方法适用于已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，或已知函数解析式，求函数的最值问题．
【变式探究】已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0 ∪[4，＋∞) ，则a的值是( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选C.由题意可得a＞0，①当x＞0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；②当x＜0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号．所以解得a＝1，故选C.
高频考点三 求线性规划中线性目标函数的最值
例3、（2018年北京卷）若?,y满足，则2y−?的最小值是_________.
【答案】3
【解析】不等式可转化为，即
满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图
令，
由图象可知，当过点时，取最小值，此时，
的最小值为.
【变式探究】【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件,则 =x+2y的最大值是
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【答案】D
【解析】画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线,可知当其经过直线与的交点时, 取得最大值，为,故选D.
【变式探究】(1)某高 技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 g，乙材料1 g，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 g，乙材料0.3 g，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 g，乙材料90 g，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解析：由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润 ＝2 100x＋900y，线性约束条件为，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N ，y∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以 max＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
答案：216 000
(2)若x，y满足约束条件则 ＝x－2y的最小值为________．
解析：通解：作出可行域如图中阴影部分所示，由 ＝x－2y得y＝x－ ，作直线y＝x并平移，观察可知，当直线经过点A(3,4)时， min＝3－2×4＝－5.
优解：因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3,4)，(1,2)，(3,0)，依次代入目标函数可求得 min＝－5.
答案：－5
【方法技巧】求目标函数的最值的方法
1．几何意义法
(1)常见的目标函数
①截距型：形如 ＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数 ＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出 的最值．
②距离型：形如 ＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则 ＝ PM 2.
③斜率型：形如 ＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则 ＝ PM.
(2)目标函数 ＝xy的几何意义
①由已知得y＝，故可理解为反比例函数y＝的图象，最值需根据该函数图象与可行域有公共点时进行判断．
②设P(x，y)，则 xy 表示以线段OP(O为坐标原点)为对角线的矩形面积．
2．界点定值法，利用可行域所对应图形的边界顶点求最值．
【变式探究】设x，y满足约束条件且 ＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
解析：通解：选B.二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.平移直线x＋ay＝0，可知在点A处， 取得最小值，
.
因此＋a×＝7，化简得a2＋2a－15＝0，
解得a＝3或a＝－5，但a＝－5时， 取得最大值，故舍去，答案为a＝3，故选B.
优解：由 ＝x＋ay得y＝－x＋
当a＜0时，由可行域知，当y＝－x＋过A点时最小， 有最大值，不合题意．
当a＞0时，y＝－x＋过A点时，最小， 也最小，故只能选B.
1. （2018年全国I卷）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19
C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：，本题选择C选项。
2. （2018年北京卷）设集合则
A. 对任意实数a，
B. 对任意实数a，（2,1）
C. 当且仅当a<0时,（2,1）
D. 当且仅当 时,（2,1）
【答案】D
【解析】若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.
3. （2018年浙江卷）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．
【答案】 (1). -2 (2). 8
【解析】作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.
4. （2018年天津卷）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．
【答案】
【解析】由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
5. （2018年北京卷）若?,y满足，则2y−?的最小值是_________.
【答案】3
【解析】不等式可转化为，即
满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图
令，
由图象可知，当过点时，取最小值，此时，
的最小值为.
6. （2018年江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.
7. （2018年全国III卷）若变量满足约束条件则的最大值是________．
【答案】3
【解析】作出可行域
1.【2017课标1，文7】设x，y满足约束条件则 =x+y的最大值为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时 取得最大值，故，故选D．
2.【2017课标II，文7】设满足约束条件 ,则的最小值是
A. B. C. D
【答案】A
【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：
=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由 解得A(−6,−3)，
则 =2x+y的最小值是：−15.
故选：A.
3.【2017课标3，文5】设x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A．[–3,0 B．[–3,2 C．[0,2 D．[0,3
【答案】B
【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.
目标函数即，易知直线在轴上的截距最大时，目标函数取得最小值；在轴上的截距最小时，目标函数取得最大值，即在点处取得最小值，为；在点处取得最大值，为.故的取值范围是[–3,2 .
4.【2017北京，文4】若满足则的最大值为
（A）1 （B）3
（C）5 （D）9
【答案】D
【解析】如图，画出可行域，
表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.
5.【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件,则 =x+2y的最大值是
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【答案】D
【解析】画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线,可知当其经过直线与的交点时, 取得最大值，为,故选D.
6.【2017浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是
A．[0，6 B．[0，4 C．[6， D．[4，
【答案】D
【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．
7.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ .
【答案】30
【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.
1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )学 ()
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
2.【2016高考天津文数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
（A） （B）6 （C）10 （D）17
【答案】B
【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.
3.【2016高考山东文数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）
（A）4 （B）9 （C）10 （D）12
【答案】C
【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.
4.【2016高考浙江文数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域 学
中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（ ）
A．2 B．4 C．3 D．
【答案】C
【解析】如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，．故选C．
5.【2016年高考北京文数】若，满足，则的最大值为（ ）
A.0 B.3 C.4 D.5 学
【答案】C
【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C.
6.【2016年高考四川文数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.
7.【2016高考新课标3文数】若满足约束条件 则的最大值为_____________.
【答案】
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线经过点时， 取得最大值.由 得 ，即，则．
8.【2016高考新课标1卷】某高 技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 g,乙材料1 g,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 g,乙材料0.3 g,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 g,乙材料90 g,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．学
【答案】 学
【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么
①
目标函数.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.
将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.
解方程组,得的坐标.
所以当,时,.
故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.
9.【2016高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 ▲ .
【答案】
【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为
1.【2015高考北京，文2】若，满足则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2.
2．【2015高考广东，文6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）
A． B. 6 C. D. 4
【答案】C
【解析】不等式组对应的平面区域如图：
由 =3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，
则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，
此时 最小，
由，解得，即A（1，），
此时 =3×1+2×=，
故选：B．
3.【2015高考天津，文2】设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( )
（A）3 （B）4 （C）18 （D）40
【答案】C
【解析】不等式所表示的平面区域如下图所示，当所表示直线经过点时， 有最大值18
4.【2015高考陕西，文10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
甲
乙
原料限额
（吨）
（吨）
【答案】D
【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润 学
由题意可列，其表示如图阴影部分区域：
当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．
5.【2015高考福建，文5】若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( )
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，取到最小值，最小值为，故选A．
6.【2015高考山东，文6】已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）
（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3
【答案】B
【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，
若的最大值为4，则最优解可能为 或 ，经检验，是最优解，此时 ；不是最优解.故选B.
7.【2015高考新课标1，文15】若满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
8.【2015高考浙江，文14】若实数满足，则的最小值是 ．
【答案】.
9．【2015高考新课标2，文14】若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．
【答案】
【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为．
【考点定位】线性规划．
10.【2015高考湖南，文4】若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A.-7 B.-1 C.1 D.2
【答案】A.
【解析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：，平移，从而可知当，时，的最小值是，故选A.
11.【2015高考四川，文9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
【答案】B
【解析】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..
12.【2015高考陕西，文9】设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C．
1. 【2014高考安徽卷文第5题】满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）
A, B. C.2或1 D.
【答案】D
【解析】题中的约束条件表示的区域如下图，将化成斜截式为，要使其取得最大值的最优解不唯一，则在平移的过程中与重合或与重合，所以或.
【考点定位】线性规划
2. 【2014高考北京版文第6题】若、满足，且的最小值为，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】若，没有最小值，不合题意；
若，则不等式组表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，直线在点处取得最小值，所以，解得.故选D.
【考点定位】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最小值
3. 【2014高考福建卷第11题】若变量满足约束条件则的最小值为________.
【答案】1
【解析】依题意如图可得目标函数过点A时截距最大.即.
【考点定位】线性规划.
4. 【2014高考福建卷第13题】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）.
【答案】88
【解析】假设底面长方形的长宽分别为, . 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.学+_
【考点定位】函数的最值.
5. 【2014高考广东卷文第3题】若变量、满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，
直线交直线于点，交直线于点，
作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即；
当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即
.
因此，，故选C.
【考点定位】线性规划中线性目标函数的最值
6. 【2014高考湖南卷第14题】若变量满足约束条件，且的最小值为，则.
【答案】
【解析】求出约束条件中三条直线的交点为,且不等式组限制的区域如图,所以,则当为最优解时,,
当为最优解时,, 因为,所以,故填.
【考点定位】线性规划
7. 【2014辽宁高考文第16题】对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .
【答案】
【解析】法一：判别式法：令，则，代入到中，得，即……①
因为关于的二次方程①有实根，所以，可得，
取最大值时，或，
当时，，
当时，，
综上可知当时，
法二：柯西不等式：由可得：
，
当且仅当时取等号，即时，取等号，
这时或
当时，，
当时，，
综上可知当时，
【考点定位】柯西不等式.
8. 【2014全国1高考文第9题】不等式组的解集为D,有下面四个命题：
， ，
，
其中的真命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画出可行域，如图所示，设，则，当直线过点时，取到最小值，，故的取值范围为，所以正确的命题是，选B．
【考点定位】线性规划、存在量词和全称量词．
10. 【2014山东高考文第5题】已知实数满足，则下面关系是恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】由及指数函数的性质得，所以，，选.
【考点定位】指数函数的性质，不等式的性质.
11. 【2014山东高考文第9题】 已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）
A.5 B.4 C. D.2
【答案】
【考点定位】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.
12. 【2014四川高考文第4题】若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
4．若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，又.选D
【考点定位】不等式的基本性质.
13. 【2014四川高考文第5题】执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
该程序执行以下运算：已知，求的最大值.作出表示的区域如图所示，由图可知，当时，最大，最大值为.选C.
【考点定位】程序框图与线性规划.
14. 【2014浙江高考文第13题】当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】作出不等式组所表示的区域，由得，由图可知，，且在点取得最小值在取得最大值，故，，故取值范围为．
【考点定位】线性规划.
15. 【2014天津高考文第2题】设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为 （ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
【答案】B．
【解析】由题画出如图所示的可行域，由图可知当直线经过点时，，故选B．
【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线性目标函数的最值问题．
16. 【2014大纲高考文第14题】设满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】5.
【解析】画出二元一次不等式组表示的平面区域（图4阴影部分）．，把平移可知当直线过点时，取最大值：．
【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线线目标函数的最值的计算．
17. 【2014高考上海文 】若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.
【答案】
【解析】，当且仅当时等号成立.
【考点定位】基本不等式.
18.【2014高考安徽卷第21题】设实数，整数， .
（1）证明：当且时，；
（2）数列满足，，证明：.
【答案】（1）证明：当且时，；（2）.
【解析】
（1）证明：用数学归纳法证明
①当时，，原不等式成立.
②假设时，不等式成立.
当时，
所以时，原不等式也成立.
综合①②可得，当且时，对一切整数，不等式均成立.
证法1：先用数学归纳法证明.
①当时，由题设知成立.②假设时，不等式成立.
由易知.
当时，.
当得.
由（1）中的结论得.
因此，即.所以时，不等式也成立.
综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.
再由可得，即.
综上所述，.
证法2：设，则，并且
.
由此可得，在上单调递增，因而，当时，.
①当时，由，即可知
，并且，从而.
故当时，不等式成立.
②假设时，不等式成立，则当时， ，即有.
所以当时，原不等式也成立.
综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.
【考点定位】数学归纳法证明不等式、构造函数法证明不等式.
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