2019届二轮复习（文）第十章第5节　古典概型学案（全国通用）

第5节　古典概型
最新考纲　1.了解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知 识 梳 理
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝．
4．古典概型的概率公式
P(A)＝．
[常用结论与微点提醒]
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键．
诊 断 自 测
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　)
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　　)
(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(　　)
(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．(　　)
解析　对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确．
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析　甲被选中的概率为P＝＝＝.
答案　B
3．(必修3P127例3改编)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于(　　)
A. B. C. D.
解析　所有基本事件的个数为6×6＝36，点数之和为5的基本事件有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共4个，故所求概率为P＝＝.
答案　B
4．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为奇数的概率是 ．
解析　和为奇数的两个数为一奇一偶，故所求概率为P＝＝＝.
答案　
5．(2017·嘉兴一模)从3名男同学、2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是 ．
解析　所求概率为P＝1－＝.
答案　
6．(2018·温州模拟)在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学 中任选3门，若同学甲必选物理，则甲的不同选法种数为 ，乙、丙两名同学都选物理的概率是 ．
解析　同学甲必选物理，则甲的不同选法种数为：C＝15，
乙、丙两名同学从7门学 中任选3门，基本事件总数n＝CC，
乙、丙两名同学都选物理，包含的基本事件个数m＝CC，
∴乙、丙两名同学都选物理的概率是P＝＝＝.
答案　15　

考点一　基本事件与古典概型的判断
【例1】 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
解　(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．
又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，
故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，
又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，
故一次摸球摸到白球的可能性为，
同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，
显然这三个基本事件出现的可能性不相等，
所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．
规律方法　古典概型需满足两个条件：①对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；②对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的．
【训练1】 (1)下列问题中是古典概型的是(　　)
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率
(2)将一枚硬币抛掷三次共有 种结果．
解析　(1)A，B两项中的基本事件的发生不是等可能的；
C项中基本事件的个数是无限多个；
D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．
(2)设出现正面为1，反面为0，则共有(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)，(0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)8种结果．
答案　(1)D　(2)8
考点二　简单的古典概型的概率
【例2】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A. B. C. D.
(2)(一题多解)(2017·山东卷)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析　(1)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：

基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，故所求概率P＝＝.
(2)法一　∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，
∴P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝×＝，
P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝×＝.
∴P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝＋＝.
法二　依题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝＝.
答案　(1)D　(2)C
规律方法　计算古典概型的概率可分三步：
(1)算出基本事件的总个数n；
(2)求出事件A所包含的基本事件个数m；
(3)代入公式求出概率P.解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法．
【训练2】 (1)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)
A. B. C. D．1
(2)(2016·江苏卷)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．
解析　(1)从袋中任取2个球共有C＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有CC＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为＝.
(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有36种，其中点数之和不小于10的有(6，6)，(6，5)，(6，4)，(5，6)，(5，5)，(4，6)，共6种，故所求概率为1－＝.
答案　(1)B　(2)
考点三　复杂的古典概型的概率
【例3】 一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4，白球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．
(1)取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为 ；
(2)在取出的3个小球中，小球编号最大值为4的概率为 ．
解析　(1)基本事件总数为n＝C＝20，
取出的3个小球中，含有编号为4的小球的基本事件个数为m＝CC＋CC＝16，
∴取出的3个球中，含有编号为4的小球的概率P＝＝＝.
(2)小球编号最大值为4的基本事件个数为CC＋CC＝9，
所以，小球编号最大值为4的概率P＝.
答案　(1)　(2)
规律方法　(1)求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．
(2)注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用．
【训练3】 (2018·舟山调研)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)A中学至少有1名学生入选代表队的概率为 ；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，则参赛女生人数不少于2人的概率为 ．
解析　(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为
1－＝.
(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.
则P(B)＝＝，P(C)＝＝.
由互斥事件的概率加法公式，
得P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，
故所求事件的概率为.
答案　(1)　(2)

基础巩固题组
一、选择题
1．(2017·天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析　选取两支彩笔的方法有10种，含有红色彩笔的选法为4种，由古典概型公式，满足题意的概率P＝＝.
答案　C
2．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析　从A，B中任意取一个数，共有C·C＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种，∴P＝＝.
答案　C
3．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析　从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件数有C＝10种．根据三角形三边关系能构成三角形的只有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)共3个基本事件，故所求概率为P＝＝.
答案　A
4．(2018·杭州高级中学模拟)4封不同信件放入4个写好地址的信封中，其中全装错的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析　将4封不同信件放入4个写好地址的信封中有A＝24种不同的放法．其中全装错有3×3＝9种不同的放法，所以由古典概型可知，全装错的概率为P＝＝.
答案　B
5．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析　由古典概型计算公式，所求概率为＝.
答案　C
6．(2017·台州调研)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b