2019届二轮复习（文）数列的概念与简单表示法学案（全国通用）

 5.1　数列的概念与简单表示法
一、 知识梳理：
1．数列的定义
按照 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．
2．数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数
有穷数列
项数
无穷数列
项数
按项与项间的大小关系
递增数列
an＋1 an
其中n∈N
递减数列
an＋1 an
常数列
an＋1 an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
按其他标准
有界数列
存在正数M，使|an|≤M
周期数列
存在非零整数Ｔ，使an＋Ｔ＝an恒成立
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是 、 和 ．
4．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
5．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ ．
二、基础自测：
1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于 (　　)
A. 　　　B．cos　　　　C．cosπ　　　 D．cosπ
2.下列说法正确的是 (　　)
A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B.数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
C.数列的第k项为1＋ D.数列0,2,4,6，…可记为{2n}
3．对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的 (　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为 (　　)
A．30 B．31 C．32 D．33
5.已知数列的前项的和，则数列的通项公式为 .
三、典例分析：
题型一　由数列的前几项写数列的通项公式
[例1] 写出下面各数列的一个通项公式：
（1）1,－7，13,－19，…；
（2），1，，，…；
（3），，－，，－，，…；
（4）－1，，－，，－，，…；
（5）1,3,6,10,15，…；
（6）3,33,333,3333，…

[变式1] 已知数列{an}的前四项分别为1,0,1,0，给出下列各式：
①an＝；②an＝；③an＝sin2；④an＝；⑤an＝；⑥an＝＋(n－1)(n－2)．其中可以作为数列{an}的通项公式的有 (填序号)．

题型二　由Sn或an与Sn的关系求通项an
[例2] 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求an.








[变式2] 设Sn为数列{an}的前n项的和，且Sn＝(an－1)(n∈N )，求an.





[变式3] 已知数列{an}，满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，求an.






题型三　由递推公式求通项公式
[例3] 设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N )，求数列前10项的和．










[变式4] 在数列{an}中，a1＝4，nan＋1＝(n＋2)an，求数列{an}的通项公式．






[变式5] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.






[变式6] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．






题型四　数列性质的应用（数列的单调性与最值、周期性）
[例4] 数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
(2)对于n∈N ，都有an＋1>an.求实数k的取值范围．








[变式7] （教材改编：必修5习题2.1 A组4（2））
在数列{an}中，，，则 ．
5.1　数列的概念与简单表示法 跟踪练习
一、 选择题
1．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3 (　　)
A．不是数列{an}中的项 B．只是数列{an}中的第2项
C．只是数列{an}中的第6项 D．是数列{an}中的第2项和第6项
2．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝ (　　)
A．2n B．2n－1 C．2n D．2n－1
3．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N )，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为 (　　)
A．5 B. C. D.
4．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N )，则数列{an}的通项公式是 (　　)
A．2n－1 B. C．n2 D．n
5．在正数数列{an}中，a1＝1，(n＋2)·a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，n∈N ，则通项公式为(　　)
A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝n[
6．(2018·福州八中)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N )，则a2 017等于 (　　)
A．1 B．0 C．2 017 D．－2 017
7．(2018·衡水中学)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N )，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为 (　　)
A．6　　 B．7 C．8　 　D．9
8．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是 (　　)
A．(－∞，6) B．(－∞，4] C．(－∞，5) D．(－∞，3]
9．在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N ，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于A．256 B．510 C．512 D．1024 (　　)
10．设曲线f(x)＝xn+1(n∈N )在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则
x1·x2·x3·x4…x2 017等于 (　　)
A. B. C. D.
二、填空题
11．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝ .



12．数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·n，则此数列的最大项是第 项．



13．(2018·大连模拟)已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为 ．



14．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则an＝ .



15.(2018·郑州模拟)意大利数学家 列昂纳多·斐波那契 以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+ F(n-2)(n≥3,n∈N ),此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用,若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{bn},则b2 018= .



5.1　数列的概念与简单表示法 跟踪练习答题卷
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案










二、填空题
11、 12、 13、 14、 15、
三、 解答题
16．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式．







17．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．











18.(2018·银川模拟)已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)= -2n.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)证明:数列{an}是递减数列.











19．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N .
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N ，求a的取值范围．













5.1　数列的概念与简单表示法 答案
一、 知识梳理： 1．一定顺序 项 2．有限 无限 > < = 3．列表法、图象法、解析法 4．序号n 5．an＝
二、 基础自测：
1．[答案]　D　[解析]　令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．
2．C． 3．[答案]　B [解析]　当an＋1>|an|(n＝1,2，…)时，∵|an|≥an，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2>|a1|不成立，即知：an＋1>|an|(n＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件． 4.B 5.
三、 典例分析：
[例1] 解：（1）； （2）；
（3）； （4）an＝(－1)n·.也可写为
（5） ； （6）；
[变式1] ①③④
[例2] 【答案】an=4n－5【解析】(1)a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
[变式2] 【答案】an＝3n 【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，整理，得an＝3an－1，即＝3，又a1＝3，∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n.
[变式3] 【答案】an＝


[例3] 解　由题意可得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝，则＝＝2，数列的前10项的和为＋＋…＋＝2＝.
[变式4]

N )．
[变式5] 解　设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．
令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列．所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.
[变式6]

[例4] 解　(1)由n2－5n＋4