5.4  数列求和

一、知识梳理：

求数列的前n项和的方法：

1、公式法

①等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d.

②等比数列的前n项和公式(Ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1；(Ⅱ)当q≠1时，Sn＝＝.

③其它公式:如等.

2、拆项并项法

拆项：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求和．

并项：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050．并项还可以与数列的周期性结合．

3、裂项相消法

把数列的通项分裂成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．常见的裂项公式

(1)＝－；(2)＝；(3)＝－.

4、倒序相加法

把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．

5、错位相减法

主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．

总结：以上方法中，与等差数列有关的有            ；与等比数列有关的有            ．

二、基础自测：

1．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项的和为Sn，则数列的前10项的和为(　 )

A．120        B．70         C．75        D．100

2．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝                 (　　)

A.         B.         C.      D.

3．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于      (　　)

A.n2＋1－    B.2n2－n＋1－

C.n2＋1－    D.n2－n＋1－

4．数列{an}的通项公式为，则它的前100项之和S100等于(　　)

A．200  B．－200  C．400  D．－400

5．各项均不为0的等差数列{an}的公差为，则           ．

(用a1，an+1，表示)

三、典例分析：

题型一　公式法求和

[例1]  已知数列{an}是首项a1＝4，公比q≠1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，

－2a3成等差数列．

(1)求公比q的值；

(2)求Tn＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值．

题型二　拆项并项法求和

[例2]  若，求数列{an}的前2018项和.

[变式1] 数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2 018等于           ．

题型三　裂项相消法求和

[例3] 若，求数列{an}的前n项和.

[变式2] 若，求数列{an}的前n项和.

[变式3] 求和

[变式4] 数列{an}的通项公式an＝2n＋1.若bn＝(n∈N )，求数列{bn}的前n项和Tn.

【方法技巧】裂项相消法求和问题的常见类型及解题策略

(1)直接考查裂项相消法求和．解决此类问题应注意以下两点：

①抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；

②将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝.

(2)与不等式相结合考查裂项相消法求和．解决此类问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式．

题型四　错位相减法求和

[例4] 若，求数列{an}的前n项和.

[变式5] 若，求数列{an}的前n项和.

         5.4  数列求和   跟踪练习

一、选择题

１．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，数列{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn等于                              (　　)

A．2  B．2n

C．2n＋1－2  D．2n－1－2

２．在数列{an}中，已知对任意n∈N ，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于 A．(3n－1)2   B.(9n－1)　　　C．9n－1   D.(3n－1)                     (　　)

３．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为            (　　)

A．2n＋n2－1   B．2n＋1＋n2－1     C．2n＋1＋n2－2   D．2n＋n－2

４．已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n＝       (　　)

A．13　　　　B．1 0　　　　C．9         D．6

５．已知数列{an}的通项公式是an＝n2sin，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 018等于   (　　)

A.  B.

C.  D.

6．已知函数f(x)＝x2＋2bx过(1,2)点，若数列{}的前n项和为Sn，则S2 018的值为(　　)

A.      B.     C.     D.

7．(2018·北京师大附中统测)已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝的前n项和为                                                     (　　)

A．4  B．4

C．1－  D.  －

8．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N .记数列{an}的前n项和为Sn，则S2017＝                                                       (　　)

A.－1   B.－1      C.－1   D.＋1

9．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N )，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝  (　　)

A.      B．6     C．10    D．11

二、填空题

10．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N )，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝        .

11．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2 017＝          .

12．(2018·广西)已知数列{}的前n项和Sn＝n2，则数列的前n项和Tn＝      .

13．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是        ．

14．对于每一个正整数n，设曲线y＝xn＋1在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99＝          。

15．设数列{an}的通项公式为an＝22n－1，令bn＝nan，则数列{bn}的前n项和Sn为      .

 5.4  数列求和  跟踪练习答题卷

一、选择题

二、填空题

10、       11、       12、           13、           14、          15、         

三、解答题

16．设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝3n＋3.

(1)求{an}的通项公式；学   ]

(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.

17．（2017年全国III，17T）设数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18．已知数列{an}的前n项和Sn＝12n－n2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.

 5.4  数列求和   答案

二、基础自测：

1．C      2．D     3．A     4．B    5．

三、典例分析：

[例1]  解　(1)由题意得2a5＝4a1－2a3.∵{an}是等比数列且a1＝4，公比q≠1，

∴2a1q4＝4a1－2a1q2，∴q4＋q2－2＝0，解得q2＝－2(舍去)或q2＝1，∴q＝－1.

(2)∵a2，a4，a6，…，a2n是首项为a2＝4×(－1)＝－4，公比为q2＝1的等比数列，∴Tn＝na2＝－4n.

[例2]  解：.

[变式1]   C；

[例3] 解：

.

[变式2] 解：

.

[变式3]

[变式4] 解：∵bn＝＝＝(－)，

∴Tn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝.

[例4] .   [变式5] .

跟踪练习

１．[答案]　C     ２．【答案】B     ３．【答案】C      ４．【答案】D

５．[答案]　B     6．【答案】D      7．[答案]　A       8．【答案】C

9．【答案】B  【解析】依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项、偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，S21＝ (a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×＋1＝6，故选B。

10．130 【解析】由an＝2n－10(n∈N )知，{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，所以当n<5时，an<0，当n≥5时，an≥0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.

11．－1 007【解析】由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，该数列是周期为4的数列，所以S2 017＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 017＝504×(－2)＋1＝－1 007。

12．[答案]　[解析]　∵＝＝

∴＝2n－1.∴＝＝，

∴Tn＝＝＝.

13．【答案】2n＋1－n－2

【解析】 Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，①

2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋…＋3×2n－2＋2×2n－1＋2n，②

②－①，得Sn＝－n＋2＋22＋…＋2n－2＋2n－1＋2n＝－n＋＝2n＋1－n－2.

14．【答案】－2

15．[(3n－1)22n＋1＋2][解析]　由bn＝nan＝n·22n－1知

Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，①

从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1，②

①－②得(1－22)·Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．

16．

17．解：（1）因为，故当时，

.

两式相减得 .  所以.

又由题设可得.

从而的通项公式为.

（2）记的前项和为.由（1）知.

则.

18．解　(1)∵当n＝1时，a1＝S1＝11；

当n≥2时，Sn＝12n－n2，Sn－1＝12(n－1)－(n－1)2，∴an＝Sn－Sn－1＝13－2n；

当n＝1时也满足此式成立，故an的通项公式为an＝13－2n.

(2)令an＝13－2n≥0，n≤.当n≤6时，数列{|an|}的前n项和Tn＝Sn＝12n－n2；

当n>6时，a7，a8，…，an均为负数，故Sn－S6<0，

此时Tn＝S6＋|Sn－S6|＝S6＋S6－Sn＝72＋n2－12n.

故{|an|}的前n项和Tn＝