2019届二轮复习不等式选讲学案（全国通用）

考情速递：

1. （2018•新课标Ⅲ）设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．

（1）画出y=f（x）的图象；

（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．

（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，

当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2，

当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，

则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上，

∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，

且各部分直线的斜率的最大值为3，

故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，

即a+b的最小值为5．

2（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．. ]

（2）∵f（x）≤1，

∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，

∴|x+a|+|x﹣2|≥4，

∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|，

∴|a+2|≥4，

解得a≤﹣6或a≥2，

故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．

例1（2018•新课标Ⅰ）已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．

（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；

（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．

【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，

（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，转化为即|ax﹣1|＜1，即0＜ax＜2，转化为a＜，且a＞0，即可求出a的范围．

【解析】：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=，

由f（x）＞1，

∴或，

解得x＞，

故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞）， 学  ]

变式训练题

（2018•肇庆二模）已知f（x）=|x+3|+|x﹣1|，g（x）=﹣x2+2mx．

（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集； 学, ,  ,X,X,K]

（Ⅱ）若对任意的x1， x2，f（x1）≥g（x2）恒成立，求m的取值范围．

【解析】：（Ⅰ）法一：不等式f（x）＞4，即|x+3|+|x﹣1|＞4．

可得，或或

解得x＜﹣3或x＞1，所以不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}．

法二：|x+3|+|x﹣1|≥|x+3﹣（x﹣1）|=4，

当且仅当（x+3）（x﹣1）≤0即﹣3≤x≤1时等号成立．

所以不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}．

（Ⅱ）依题意可知f（x）min＞g（x）max 学  ] 学   ]

由（Ⅰ）知f（x）min=4，g（x）=﹣x2+2mx=﹣（x﹣m）2+m2

所以

由m2＜4的m的取值范围是﹣2＜m＜2）

例2（2018•安阳二模）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣1|．

（1）若a=1，解不等式f（x）＜4；

（2）对任意满足m+n=1的正实数m，n，若总存在实数x0，使得成立，求实数a的取值范围．

【分析】（1）通过讨论x的范围，解绝对值不等式即可；

（2）根据基本不等式的性质求出+≥4，由绝对值不等式得f（x）≥|a+1|，问题转化为4≥|a+1|，解出即可．  , ,k ]

（2）由题意+=（+）（m+n）=2++≥4，

由绝对值不等式得f（x）=|x+a|+|x﹣1|≥|a+1|， 学   ]

当且仅当（x+a）（x﹣1）≤0时取等号，故f（x）的最小值为|a+1|，

由题意得4≥|a+1|，解得：﹣5≤a≤3．

例3（2018•江苏）若x，y， 为实数，且x+2y+2 =6，求x2+y2+ 2的最小值．

【分析】根据柯西不等式进行证明即可．

【解析】：由柯西不等式得（x2+y2+ 2）（12+22+22）≥（x+2y+2 ）2，

∵x+2y+2 =6，∴x2+y2+ 2≥4

是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=， =，

∴x2+y2+ 2的最小值为4

　 学   ]

变式训练题

（2018•新余二模）设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，且a，b∈M．

（1）证明：|a+b|＜；

（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．

则|a|＜，|b|＜，

|a+b|≤|a|+|b|＜（+）×=；

（2）|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．

理由：|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣4ab﹣2a+2b）（1﹣4ab+2a﹣2b）

=（1﹣2a）（1+2b）（1+2a）（1﹣2b）

=（1﹣4a2）（1﹣4b2），

由|a|＜，|b|＜，可得

4a2＜1，4b2＜1，

则（1﹣4a2）（1﹣4b2）＞0， 学  ]

可得|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．

必刷题：

A卷

1. 若不等式|x﹣1|+|x+m|≤4的解集非空，则实数m的取值范围是（　　）

A．[﹣5，﹣3] B．[﹣3，5] C．[﹣5，3] D．[3，5]

【答案】：C

【解析】：∵不等式|x﹣1|+|x+m|≤4的解集非空，|x﹣1|+|x+m|≥|1+m|，

∴|1+m|≤4，∴﹣4≤m+1≤4，求得﹣5≤m≤3，故选：C．

2. 关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，则a=（　　）

A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3

【答案】：D；

【解析】：由|ax﹣2|＜3，得：﹣3＜ax﹣2＜3，

故﹣1＜ax＜5，由不等式的解集是{x|﹣＜x＜}，

故a=﹣3，故选：D．

3 若不等式|x+1|+|﹣1|≤a有解，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≥2 B．a＜2 C．a≥1 D．a＜1

【答案】：A

故f（x）在（0，1）递减，

f（x）＞f（1）=2，

③﹣1＜x＜0时，f（x）=x+2﹣，

f′（x）=1+＞0，f（x）在（﹣1，0）递增，

f（x）＞f（﹣1）=2，

④x≤﹣1时，f（x）=﹣x﹣，

f′（x）=﹣1+＜0，f（x）在（﹣∞，﹣1]递减，

f（x）＞f（﹣1）=2，综上，f（x）的最小值是2，

若不等式|x+1|+|﹣1|≤a有解，即a≥f（x）min，故a≥2，故选：A．

4. （2018•通州区一模）已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，那么xy的最大值是　　．

【答案】：；

【解析】：∵x＞0，y＞0，且x+2y=2，∴xy=x•2y≤×=×（1）2=，

当且仅当x=2y=1，即x=1，y=时，取等号，故xy的最大值是：，故答案为：．

5. （2018•杭州二模）设函数f（x）（x∈R）满足|f（x）﹣x2|≤，|f（x）+1﹣x2|≤，则f（1）=　　．

【答案】：

6（2018•河西区二模）已知正实数x，y满足x，则的最小值为　　．

【答案】：2

【解析】：∵正实数x，y满足x，

∴1=x+≥=，

∴=（）（x+）﹣2

=1++﹣2≥2+2﹣2=2，

当且仅当，即y=2，x=时，取等号，

∴的最小值为2．

故答案为：2．

7．（2018•上饶三模）已知函数f（x）=|3x﹣1|+|3x+k|，g（x）=x+4．  + +k ]

（Ⅰ）当k=﹣3时，求不等式f（x）≥4的解集；

（Ⅱ）设k＞﹣1，且当x∈[﹣，）时，都有f（x）≤g（x），求k的取值范围．

【解析】：（I）当k=﹣3时，f（x）=，

故不等式f（x）≥4可化为：或或，

解得：，

∴所求解集为：．

8. （2018•安徽模拟）已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|．

（1）求不等式f（x）＜6的解集；

（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．

【解析】：（1）不等式2|x﹣2|+|x+1|＜6等价于不等式组或或，⇒∈∅或﹣1＜x≤2或2＜x＜3所以不等式2|x﹣2|+|x+1|＜6的解集为（﹣1，3）；

（2）证明：因为m+n+p=3，

所以（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，

因为m，n，p为正实数，所以由基本不等式m2+n2≥2mn（当且仅当m=n时等号成立），

同理m2+p2≥2mp，p2+n2≥2pn，所以m2+n2+p2≥mn+mp+np，

所以（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3mn+3mp+3np，

所以mn+mp+np≤3