2019届二轮复习常考题型答题技巧变量间的相关关系学案（全国通用）

2019届二轮复习  常考题型答题技巧   变量间的相关关系 学案 （全国通用）

【知识梳理】

1．相关关系

如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系．

2．散点图

将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图，利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关．

3．正相关和负相关

(1)正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．

(2)负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．

4．回归直线方程

(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

(2)回归方程：回归直线的方程，简称回归方程．

(3)回归方程的推导过程：

①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．

②设所求回归方程为＝x＋，其中，是待定参数．

③由最小二乘法得

　　. ]

其中：是回归方程的斜率，是截距．

【常考题型】

题型一、相关关系的判断

【例1】　(1)下列关系中，属于相关关系的是       

①正方形的边长与面积之间的关系；

②农作物的产量与施肥量之间的关系；

③人的身高与年龄之间的关系；

④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．

(2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示.

①画出散点图；

②判断y与x是否具有线性相关关系．

[解析]　(1)在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在③中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．

[答案]　(1)②④

(2)①散点图如图所示．

②由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系．

【类题通法】

两个变量是否相关的两种判断方法

(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．

(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．

【对点训练】

如图所示的两个变量不具有相关关系的有        ．

解析：①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．

答案：①④

题型二、求回归方程

【例2】　某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：

(1)画出销售额和利润额的散点图；

(2)若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程．

[解]　(1)散点图如下：

(2)数据如下表：

可以求得＝0.5，＝0.4，

线性回归方程为＝0.5x＋0.4.

【类题通法】

求线性回归方程的步骤

(1)计算平均数，.

(2)计算xi与yi的积，求.

(3)计算.

(4)将结果代入公式＝，求.

(5)用＝－，求.

(6)写出回归方程．

[变式训练]

已知变量x，y有如下对应数据：

(1)作出散点图；

(2)用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程．

解：(1)散点图如图所示．

(2)＝＝，

＝＝，   ]

yi＝1＋6＋12＋20＝39.

＝1＋4＋9＋16＝30，

＝＝，

＝－×＝0，

所以＝x为所求回归直线方程.

题型三、利用线性回归方程对总体进行估计

【例3】　一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机器零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表是抽样试验结果：

(1)如果y与x具有线性相关关系，求回归方程；

(2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件数最多为10个，那么机器的转速应该控制在什么范围内？

[解]　(1)由题意，可得＝12.5，＝8.25，yi＝438，＝660，则＝≈0.728 6，＝－＝－0.857 5.

所以回归直线的方程为＝0.728 6x－0.857 5.

(2)要使y≤10，则0.728 6x－0.857 5≤10，

解得x≤14.90.所以机器的转速应该控制在15转/秒以下．

【类题通法】

回归分析的三个步骤

(1)进行相关性检验，若两变量无线性相关关系，则所求的线性回归方程毫无意义．

(2)求回归直线方程，其关键是正确地求得，.

(3)根据直线方程进行预测．

【对点训练】

假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：

由资料可知y与x具有相关关系．

(1)求回归方程＝x＋的回归系数，；

(2)估计使用年限为10年时维修费用是多少．

解：(1)先把数据列成表.

由表可知＝4，＝5，由公式可得：

＝＝＝1.23，

＝－＝5－1.23×4＝0.08.

(2)由(1)可知回归方程是＝1.23x＋0.08，

∴当x＝10时，＝1.23×10＋0.08＝12.3＋0.08＝12.38(万元)．

故估计使用年限为10年时，维修费用是12.38万元．

【练习反馈】

1．下列命题正确的是(　　)   ]

①任何两个变量都具有相关关系；

②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；

③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；

④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；

⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．

A．①③④　　　　　　　　 　B．②③④

C．③④⑤   D．②④⑤

解析：选C　①显然不对，②是函数关系，③④⑤正确．

2．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断(　　)

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

解析：选C　由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关．

3．若施肥量x(kg)与水稻产量y(kg)的线性回归方程为＝5x＋250，当施肥量为80 kg时，预计水稻产量约为        kg.

解析：把x＝80 kg代入回归方程可得其预测值＝5×80＋250＝650(kg)．

答案：650

4．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表所示.

若已求得它们的回归直线的斜率为6.5，这条回归直线的方程为        ．

解析：由题意可知＝＝5，

＝＝50.

即样本中心为(5,50)

设回归直线方程为＝6.5x＋，

∵回归直线过样本中心(，)，

∴50＝6.5×5＋，即＝17.5，

∴回归直线方程为＝6.5x＋17.5

答案：＝6.5x＋17.5

5．2013年元旦前夕，某市统计局统计了该市2012年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：

(1)如果已知y与x是线性相关的，求回归方程；

(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．

(参考数据：＝117.7，＝406)

解：依题意可计算得：

＝6，＝1.83，2＝36， ＝10.98，

又∵＝117.7，＝406，

∴＝≈0.17，

＝－＝0.81，

∴＝0.17x＋0.81.

∴所求的回归方程为＝0.17x＋0.81.

(2)当x＝9时，＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)．

可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．