2019届二轮复习常用逻辑用语学案（全国通用）

解密02 常用逻辑用语

高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
命题及其
四种形式
从近三年高考情况来看，常用逻辑用语为高考的一个热点，高考对此部分内容的考查主要有三个方面：学 学
一是考查四种命题的形式以及命题之间的逻辑关系和命题的真假判断；
二是充要条件的判定，常与函数、不等式、三角函数、向量、立体几何、解析几何等知识点进行综合命题，一般以选择题的形式呈现，解题时要充分利用四种命题之间的关系及充要条件进行合理转化；
三是对含有“或”、“且”、“非”的复合命题，全称命题、特称命题的真假判断以及对含有一个量词的命题进行否定的考查，常在一个具体的数学问题解决中体会“或”、“且”、“非”的意义，一般以选择题的方式考查，解题时要加强对概念的理解，提升逻辑推理能力.
2018北京理13
2017课标全国Ⅰ 3
2017北京卷13
★★
充分条件 .
与 学
必要条件
2018浙江6
2018天津理4
2017浙江卷6
2017天津卷4
2017北京卷6
★★
逻辑联结词

★★
全称量词
与
存在量词
2015课标全国Ⅰ 3
★★

考点1 命题及其四种形式
题组一 四种命题的关系
调研1 命题“若，则”的逆否命题是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】由逆否命题的概念可知，命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故选B．
题组二 命题的真假判断
调研2 原命题为“若 1， 2互为共轭复数，则 1 ＝ 2 ”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为
A．真，假，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
【答案】B

☆技巧点拨☆
四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下：
1．判断四种命题间关系的方法
①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用.
2．命题真假的判断方法
①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．
②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.

考点2 充分条件与必要条件
题组一 直接判断充分、必要条件
调研1 已知向量，则“”是“与反向”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若与反向，则存在唯一的实数，使得，即，
所以是“与反向”的充要条件，故选C．
调研2 已知数列，“为等差数列”是“， ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B

调研3 已知，则“”是“直线和直线平行”的
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】由题意可知，充分性：若，则直线可变形为，即，当时，两直线重合，所以充分性不成立；
必要性：若两直线平行，则，所以必要性成立.
故选C．

☆技巧点拨☆
充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查知识面广，常与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下：
1．命题判断法
设“若p，则q”为原命题，那么：
①原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；
②原命题为假，逆命题为真时，则p是q的必要不充分条件；
③当原命题与逆命题都为真时，则p是q的充要条件；
④当原命题与逆命题都为假时，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．集合判断法
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x p(x) }，q：B={x q(x) }，则
①若，则p是q的充分条件；
②若，则p是q的必要条件；
③若，则p是q的充分不必要条件；
④若，则p是q的必要不充分条件；
⑤若，则p是q的充要条件；
⑥若且，则p是q的既不充分也不必要条件.
3．等价转化法
①p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件；
②p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件；
③p是q的充要条件是的充要条件；
④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.

题组二 充分、必要条件的应用
调研4 若，则“”的一个充分不必要条件是
A． B．
C．且 D．或
【答案】C
【解析】，∴，当且仅当时取等号.
故“且”是“”的充分不必要条件.选C．

☆技巧点拨☆
充分、必要条件的应用主要涉及根据充分、必要条件求解参数的取值范围，具体解法如下：
1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.学 =
2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

考点3 含有逻辑联结词的命题真假的判断
调研1 已知命题“”是“”的必要不充分条件；命题若，则，则下列命题为真命题的是
A． B．
C． D．
【答案】A

☆技巧点拨☆
1．判断含逻辑联结词命题真假的方法与步骤
(1)判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．
(2)判断命题真假的步骤：

2．含逻辑联结词命题真假的等价关系
(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(p)∧(q)假．
(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(p)∧(q)真．
(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(p)∨(q)假．
(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(p)∨(q)真．
(5)p真⇔p假；p假⇔p真.

考点4 全称量词与存在量词
题组一 全称命题、特称命题的否定
调研1 “，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】由全称命题的否定是特称命题，可知“，”的否定是，，故选D．

☆技巧点拨☆
全(特)称命题的否定
全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．

题组二 全称命题、特称命题的真假判断
调研2 命题p：∃x∈N，x3 A．p假q真 B．p真q假
C．p假q假 D．p真q真
【答案】A
【解析】∵x3
☆技巧点拨☆
全(特)称命题的真假判断
①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每个元素x验证p(x)成立，但要判断一个全称命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．
②要判断一个特称命题为真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.

题组三 由命题真假求参数或参数取值范围
调研3 已知p：∃x0∈R，，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是
A．(−∞，−2) B．[−2，0)
C．(−2，0) D．[0，2
【答案】C
【解析】∵p∧q为真命题，∴p、q全为真命题，
若p真，则m<0；
若q真，则m2−4<0，解得−2 本题选择C选项.

☆技巧点拨☆
根据命题的真假求参数取值范围的求解策略
(1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)简单命题的真假，求出此时命题成立的参数的取值范围，再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围．
(2)若给出命题为全称命题，则可转化为不等式的恒成立问题.


1．（四川省广安、眉山、内江、遂宁2019届高三第一次诊断性考试数学试题）已知命题：“，”，则命题为
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】全称命题的否定是特称命题，则￢p：，，故选：C．
2．（【校级联考】浙北四校2019届高三12月模拟考数学试题）若非空集合，，满足，且不是的子集， 则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为A∪B=C，所以“x∈A”⇒“x∈C”；
反之，若“x∈C”，即“x∈A∪B”因为B不是A的子集，故不能得到x∈A，
所以“x∈C”是“x∈A”的必要但不充分条件．
故选：B．
3．（【市级联考】山西省吕梁市2019届高三上学期第一次阶段性测试数学试题）满足函数在上单调递减的一个充分不必要条件是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】结合复合函数的单调性，函数在上单调递减的充要条件是，解得．
选项A中，是函数在上单调递减的既不充分也不必要条件，所以A不正确；
选项B中，是函数在上单调递减的充要条件，所以B不正确；
选项C中，是函数在上单调递减的必要不充分条件，所以C不正确；
选项D中，是函数在上单调递减的充分不必要条件，所以D正确．
故选D．
【名师点睛】解答本题时注意两点：（1）根据题意先求出函数在给定区间上的充要条件，求解时容易忽视函数的定义域；（2）由于求的是函数递减的充分不必要条件，可转化为所选的范围是区间的真子集的问题．考查转化和计算能力，属于基础题．
4．（【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第三次调研考试数学试题）已知下列两个命题
p1：存在正数a，使函数在R上为偶函数；
p2：函数无零点，则在命题和中，真命题是
A．q1，q4 B．q2，q3
C．q1，q3 D．q2，q4
【答案】A
【解析】命题：当a=1时，在R上为偶函数，故命题为真命题；
命题：，显然是函数的零点，故命题为假命题，
∴为假命题，为真命题，
∴为真命题，为假命题，为假命题，为真命题，
故选：A.
5．（【市级联考】山西省吕梁市2019届高三上学期第一次阶段性测试数学试题）命题“，使得”的否定是
A．，都有
B．，都有
C．，都有
D．，都有
【答案】D
【解析】由于特称命题的否定为全称命题，
所以“，使得”的否定为“，都有”．
故选D．
【名师点睛】对于含有量词的命题的否定要注意两点：一是要改换量词，即把全称（特称）量词改为特称（全称）量词；二是注意要把命题进行否定．
6．（【全国百强校】甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第三次模拟考试数学试题）已知命若，则，命题，则下列命题为真命题的是
A． B．
C． D．
【答案】A

7．（【全国百强校】甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第三次模拟考试数学试题）下列命题正确的是
A． B．是的充分不必要条件
C． D．若，则
【答案】B
【解析】x2+2x+3=0的=﹣8＜0，故方程无实根，即∃x0∈R，x02+2x0+3=0错误，即A错误；
x2＞1⇔x＜﹣1，或x＞1，故x＞1是x2＞1的充分不必要条件，故B正确；
当x≤1时，x3≤x2，故∀x∈N，x3＞x2错误，即C错误；
若a=1，b=﹣1，则a＞b，但a2=b2，故D错误；
故选：B．
8．（【省级联考】河南省名校联盟2019届高三年级11月调研考试（三）数学试卷）已知命题p：∈R，＜－1；命题q：在ABC中，“BC2＋AC2＜AB2”是“ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．则下列命题中的真命题是
A． B．p∧q
C．p∨（） D．（）∧q
【答案】D
【解析】因为，故命题p为假命题；因为，故，
故“”是“为钝角三角形”的充分不必要条件，命题q为真，故为真，故选D.
【名师点睛】本小题主要考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，考查一次函数以及指数函数的图像与性质，还考查了三角形为钝角三角形的判断方法以及充要条件等知识，综合性较强，属于中档题.解题过程中主要用分层推进，一步一步来完成，分别求得的真假性，然后结合逻辑联结词判断真假性.
9．（【全国百强校】吉林省东北师大附中2019届高三二模数学试卷）下列有关命题的说法正确的是
A． 若为假命题，则均为假命题
B． 是的必要不充分条件
C． 命题若则的逆否命题为真命题
D． 命题使得的否定是：均有
【答案】C
【解析】A. 若为假命题，则中至少有一个假命题，所以该选项是错误的；B. 是的充分不必要条件，因为由得到“x=−1或x=6”，所以该选项是错误的；C. 命题若则的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；D. 命题使得的否定是：均有，所以该选项是错误的.
故答案为：C.
10．（【校级联考】广东省汕头市达濠华侨中学，东厦中学2019届高三上学期第三次联考数学试题）已知命题，，则p是q成立的．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】B
【解析】由，得．
∵Ü，
∴p是q成立的必要不充分条件．
故选B．
【名师点睛】充分、必要条件的判断方法：
（1）利用定义判断：直接判断“若p，则q”、“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．
（2）从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．
（3）利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．
11．（【全国百强校】江西省南昌市第十中学2019届高三上学期期中考试数学试题）“，关于的不等式有解”等价于
A．，使得成立 B．，使得成立
C．，使得成立 D．，使得成立
【答案】A
【解析】命题“对x∈R，关于x的不等式f（x）＞0有解”为特称命题，
则根据特称命题的定义可知命题等价为∃x0∈R，使得f（x0）＞0成立．
故选A．
12．（齐鲁名校教 研协作体湖北、山东部分重点中学2019届高三第一次联考数学试题）下列命题中正确的是
A．若为真命题，则为真命题
B．若则恒成立
C．题“”的否定是“”
D．命题“若则”的逆否命题是“若，则”
【答案】B
【解析】由题意，对于A中，由为真命题，可得命题中至少有一个真命题，但不一定为真命题，故不正确；
对于B中，令，则恒成立，
所以在单调递增，则，所以是正确的；
对于C中，命题“”的否定是“”，所以是不正确的；
对于D中，“若，则或”的逆否命题是“若且，则”，所以不正确.
故选B.
【名师点睛】本题主要考查了命题和复合命题的真假判定、逆否命题、命题的否定的基本概念及判定，其中熟记命题和复合命题的真假判定、逆否命题、命题的否定的基本概念和复合命题的真假判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
13．（上海市2018−2019学年杨浦区统考高三上学期数学期中考试）已知，则“”是“”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B

14．（【全国校级联考】齐鲁名校教 研协作体湖北、山东部分重点中学2019届高三第一次联考数学试题）设，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，可得，解得.
若“”是“”的充分不必要条件，则.
.
故选D.
【名师点睛】本题考查了必要条件问题，是中档题．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
15．（【校级联考】天津市蓟州区2019届高三上学期期中考试数学试题）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，，
，，
推不出，
，
“”是“”的
必要而不充分条件．
故选：B．
16．（【校级联考】湖北省宜昌市示范高中协作体2019届高三上学期期中联考数学试卷）命题“∀x∈R，ex－x＋1≥0”的否定是________________
【答案】∃x∈R，ex−x+1＜0．
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“∀x∈R，ex−x+1≥0”的否定是：∃x∈R，ex−x+1＜0．
故答案为：∃x∈R，ex−x+1＜0．
17．（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三上学期10月联考试题数学）已知命题，命题，若为真命题，则实数的取值范围为_______________．
【答案】
【解析】由题意可得若为真，则，
，则.
则或.
则且为真，有.
为真命题，则且为假，故.
18．（【市级联考】山西省吕梁市2019届高三上学期第一次阶段性测试数学试题）设p：函数的定义域为R， ，使得不等式成立，如果“p或q”为真命题，“p且q”为假，求实数a的取值范围．
【答案】
【解析】若命题p为真，即恒成立，
则有，解得．
令，且，，
所以函数在上单调递减，
所以，即，
所以的值域为，
若命题q为真，即，使得成立，
则．
由命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，可知p，q一真一假，
①当p为真命题，q为假命题时，
则有，不等式组无解．
②当p为假命题q为真命题时，
则有，解得．
综上可得．
所以实数的取值范围是．

1．（2018浙江）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：
（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
2．（2018天津理 ）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】绝对值不等式 ，由 .据此可知是的充分而不必要条件.故选A.
【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．（2017新课标全国Ⅰ理 ）设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，则.
其中的真命题为
A． B．
C． D．
【答案】B

【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.
4．（2015新课标全国Ⅰ理 ）设命题：，则为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据命题的否定的概念知，:，故选C．
【名师点睛】全称命题的否定与特称命题的否定是高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成任意，后边变为其否定形式，注意全称命题与特称命题否定的书写，是常规题，很好地考查了学生对双基的掌握程度.
5．（2017北京理 ）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.学 =
6．（2016上海理 ）设，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】或，所以是充分不必要条件，故选A．
7．（2016浙江理 ）命题“，使得”的否定形式是
A．，使得
B．，使得
C．，使得
D．，使得
【答案】D
【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．
8．（2018北京理 ）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2 都成立，则f（x）在［0，2 上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
【答案】y=sinx（答案不唯一）
【解析】令，则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2 都成立，但f（x）在［0，2 上不是增函数.
又如，令f（x）=sinx，则f（0）=0，f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2 都成立，但f（x）在［0，2 上不是增函数.
【名师点睛】要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合中的一个特殊值，使不成立即可.通常举分段函数.