2019届二轮复习抽象函数学案（全国通用）








抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开.
研究抽象函数首先要注意函数的定义域,尤其是在解答抽象函数对应的不等式时,通过抽象函数的单调性转变为自变量的大小关系式,不能忽视自变量的取值范围;
其次抽象函数都是依据一类具体函数的性质抽象出来的,如就是从正比例函数抽象出来的; 根据对数函数的性质抽象出来的; 根据指数函数的性质抽象出来的.因此在解决此类问题可以先类比具体函数的性质研究我们要解答的抽象函数的性质,解答抽象函数问题要注意赋值法的应用,通过赋值可以找到函数的不变性质,这个不变性质往往是解决问题的突破口.
抽象函数性质的证明是一种代数推理,要注意推理的严谨性,每一步推理都要有充分的条件,不可以漏掉条件,更不要臆造条件,推理过程层次分明.





一、抽象函数的概念
抽象函数就是没有给出具体函数解析式的函数。常见的解题方法有赋值法、换元法、具体化法等。若的定义域是，则对来说，必有，从而可以得到函数的定义域。若的定义域是，则应作为函数的定义域，进而求出的值域，从而得到函数的定义域。总而言之，外层函数的定义域就是内层函数在复合函数的定义域上的值域。抽象函数的值域和最值问题，一般先根据条件确定函数的单调性，然后再求其值域或最值。对于选择、填空题也可以利用奇函数在对称区间上具有相同的单调性、偶函数在对称区间上具有相反的单调性等结论来求解。
【例1】函数对任意实数、，均满足，且，则
【难度】★★
【答案】1008
【解析】令，则，即，再令，，得，令，得，故，则，累加可得

【例2】函数的定义域为，则函数的定义域是___.
【难度】★★
【答案】
【解析】因为相当于中的，所以，解得
或.

【例3】已知,求.
【难度】★
【答案】
【解析】设,则∴∴

【例4】如果奇函数在上是增函数且有最小值为，那么在上是（ ）
A.增函数且有最小值为 B.增函数且有最大值为
C.减函数且有最小值为 D.减函数且有最大值为
【难度】★★
【答案】B

【例5】设是R上的奇函数，是R上的偶函数，若函数的值域为，则的值域为 ．
【难度】★★
【答案】
【解析】在代入，因为是R上的奇函数，是R上的偶函数，，所以值域为，因为定义域为关于原点对称，所以值域是一样的，值域为

【巩固训练】
1.定义在上的函数满足，，则
【难度】★★
【答案】6

2.已知函数的定义域为[2，4],求函数的定义域.
【难度】★
【答案】

3.若函数的值域为，求函数的值域.
【难度】★
【答案】.
【解析】函数中定义域与对应法则与函数的定义域与对应法则完全相同，故函数的值域也为.
4.已知为偶函数，为奇函数，且有+， 求,.
【难度】★★
【答案】.
【解析】∵为偶函数，为奇函数，∴,,
不妨用-代换+= ………①中的,
∴即－……②
显见①+②即可消去,求出函数再代入①求出

5.已知函数对任意实数都有，且当时，，求在上的值域.
【难度】★★
【答案】
【解析】设且，
则， 由条件当时，

又

为增函数，
令，则
又令
得 ，
故为奇函数，
，
上的值域为

二、抽象函数的性质
1、抽象函数的单调性
抽象函数单调性的求解与证明一般按照单调性的定义来解决，但由于解析式的缺乏，往往只能对题设条件中的等量关系进行适当的拼与凑，来处理与的大小比较，如将变形成、等。
【例6】函数对任意的实数、有，且当时有。
（1）求证：在上为增函数；
（2）若，解不等式
【难度】★★
【答案】（1）证明：取且，则，故，
，
，
函数在上为增函数。
（2），，
，
由（1）知函数在上为增函数，故，
，即或，
原不等式的解集是



【例7】已知是定义在上的奇函数，若，且有
（1） 判断在上是增函数还是减函数，并证明你的结论；
（2） 解不等式
【难度】★★
【答案】（1）增函数（2）

【例8】已知偶函数在区间上单调递增，则满足的取
值范围.
【难度】★★
【答案】
【解析】由于是偶函数，且在区间上单调递增，所以在上单调递减.根据图像得，解得.

【巩固训练】
1.已知函数的定义域是，当时，，且
（1）求的值
（2）证明：在定义域上是增函数
【难度】★★
【答案】（1）；（2）设，则

∵，∴，∴，
即，∴
∴在上是增函数．

2.已知奇函数的定义域为，且在区间内单调递减，求满足的实数的取值范围．
【难度】★★
【答案】
【解析】∵的定义域为，
∴有，解得 ①
由
∴
又由为奇函数，得
∴
又为奇函数，且在上单调递减，
∴在上单调递减．（要证明）
∴.
即 ②
综合①②，可知.

3.函数对任意的a，b∈R，都有，并且当时，，若，解不等式.
【难度】★★
【答案】
【解析】设且 ∵
∴
即
因为 ∴
∴
∴在上单调递增
∵ ∴
∴
∴
解得：.
所以原不等式的解为.

2、抽象函数的奇偶性
抽象函数奇偶性的判断往往借助与赋值法和定义，对于已给恒等式中出现的两个或两个以上的变量，利用赋值的方法将其替换成都出现的形式，在恒等式中仅有这两种形式或是具体函数值的形式而不会出现新的函数结构。
【例9】已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，试判断函数的奇偶性
【难度】★★
【答案】令，得，∴，
令，得，
∴，
∴是偶函数．

【例10】已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则
【难度】★★
【答案】
【解析】令，

【例11】若定义在上的函数满足对任意都有，则下列说法一定正确的是（ ）
A.为奇函数 B.为偶函数 C.为奇函数 D.为偶函数
【难度】★★
【答案】C

【巩固训练】
1.已知函数对一切都有，求证：是奇函数；若，试用表示
【难度】★★
【答案】
【解析】1.在中，令得，
又令得
即故是奇函数
2.已知于是在中取 可得因此

2.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A.为偶函数 B.为奇函数
C.为偶函数 D.为奇函数
【难度】★★
【答案】A

3.已知是奇函数，是偶函数，且，，则
【难度】★★
【答案】3

3、抽象函数的周期性
若函数满足，我们就说是函数的一个周期。抽象函数的周期性的推导中大都会使用替换变量来进行迭代计算，例如将替换进行代入，这类问题的本质就是寻找与间的数量关系。若函数满足，（是不为零的常数），等，都表示是以为周期的函数；若函数满足，是以为周期的函数；若函数满足，是以为周期的函数；若函数满足，是以为周期的函数等。这些常见的周期函数的结论都是利用替换迭代求解出来的，这也是抽象函数求解的主要方法。还有函数既有对称轴又有对称中心的，若关于两条直线轴对称，或是关于中心对称，则是以为周期的函数，若关于两条直线对称，则是以为周期的函数。
【例12】已知函数对任意实数都有，若，则
【难度】★★
【答案】

【例13】设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称.对任意都有.
（I）设求；
（II）证明是周期函数.
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（I）解略.
（II）依题设关于直线对称
故
又由是偶函数知


将上式中以代换，得

这表明是上的周期函数，且2是它的一个周期
是偶函数的实质是的图象关于直线对称
又的图象关于对称，可得是周期函数
且2是它的一个周期

【例14】已知是定义在R上的函数，且满足：，，求的值.
【难度】★★
【答案】1997.
【解析】紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是，

所以
故是以8为周期的周期函数，从而


【例15】奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则
【难度】★★
【答案】1
【解析】因为，，，所以，所以，，故

【巩固训练】
1.已知满足，则的最小正周期是 .
【难度】★
【答案】2

2.函数对任意实数都满足，若，则 .
【难度】★★
【答案】

3.已知函数满足：，若，则 .
【难度】★★
【答案】

4.奇函数的定义域为，若为偶函数，则 .
【难度】★★
【答案】0

三、抽象函数的综合应用
抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到函数性质，不等式，方程等多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“”.注意定义域优先原则，赋值法（常量赋值和变量赋值），换元法.
【例16】已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【难度】★★
【答案】D

【例17】已知函数的定义域关于原点对称，且满足
（1）
（2）存在正常数，使得
求证：（1）是奇函数；
（2）是周期函数，并且有一个周期为
【难度】★★★
【答案】 提示：（1）看与的关系；
（2）赋值得到，

【例18】定义在上的单调函数满足且对任意都有 .
(1)求证为奇函数；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【难度】★★★
【答案】见解析：（2）
【解析】（1）证明：令，得
令，得
∴为奇函数
（2）由（1）知
又∵且是定义在上的单调函数
∴在上单调递增
由得
即
∴对任意恒成立
得
因为当且仅当即时等号成立
所以.
所以实数的取值范围为.

【例19】定义在（）上的函数满足对任意都有，且当时，有：
（1）试判断的奇偶性；
（2）判断的单调性；
（3）求证.
【难度】★★★
【答案】（1）对条件中的，令，再令可得
，所以是奇函数.
（2）设，则
，
，由条件（2）知，从而有，即，故上单调递减，由奇函数性质可知，在（0，1）上仍是单调减函数.
（3）



【例20】设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．
（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．
【难度】★★★
【答案】非奇非偶函数；802
【解析】由,得函数的对称轴为,
从而知函数不是奇函数,
由
,从而知函数的周期为
又,故函数是非奇非偶函数;
(II)由

(II) 又
故在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,
从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,
所以函数在[-2005,2005]上有802个解.

【巩固训练】
1.设函数的定义域为，且有：， ② 对任意正实数都有，③ 为减函数
（1） 求：的值
（2） 求证：当时，
（3） 求证：当时，都有
（4） 解不等式：
【难度】★★★
【答案】（1），
，
.
（2）因为f(1)=0且f(x)为减函数，所以当时，
（3），
所以当时，都有
（4），所以
，因为在定义域上为减函数，所以

2.已知定义在上的函数满足：
（1）值域为，且当时，；
（2）对于定义域内任意的实数，均满足：
试回答下列问题：
（Ⅰ）试求的值；
（Ⅱ）判断并证明函数的单调性；
【难度】★★★
【答案】（Ⅰ）在中，令，则有．即：．也即：．
由于函数的值域为，所以，，所以．
（Ⅱ）函数的单调性必然涉及到，于是，由已知
，我们可以联想到：是否有？（＊）
这个问题实际上是：是否成立？
为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系．由于，所以，在中，令，得．所以，函数为奇函数．故（＊）式成立．所以，．任取，且，则，故且．所以，，所以，函数在R上单调递减．

3.已知函数对任意实数恒有且当，又
(1)．判断的奇偶性；
(2)．求在区间[－3,3]上的最大值；
(3)．解关于的不等式
【难度】★★★
【答案】(1)．取则
取
对任意恒成立 ∴为奇函数.
(2)．任取， 则

又为奇函数
∴在(－∞，+∞)上是减函数.
对任意，恒有
而
∴在[－3，3]上的最大值为6
(3)．∵为奇函数，∴整理原式得
进一步可得
而在(－∞，+∞)上是减函数，，
当时，
当时，
当时，
当时,
当时，

4.对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数．
(1)若函数为理想函数，求的值；
(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；
(3)．若函数为理想函数，假定存在，使得，且，求证．
【难度】★★★
【答案】(1)．取可得．
又由条件①，故．
(2)．显然在[0，1]满足条件①；也满足条件②．
若，，，则

，即满足条件③，
故理想函数．
(3)．由条件③知，任给、[0，1]，当时，由知[0，1]，

若，则，前后矛盾；
若，则，前后矛盾．
故



关于抽象问题，考查的仍然是然函数的相关性质，比如周期性，对称性，单调性，奇偶性等。加上本身的抽象性，所以问题众多，解题方法众多，常用的赋值法和模型法，其中以特殊模型代替抽象函数帮助解题和理解题意，行之有效，他能解决大多抽象函数问题，有抽象函数问题的结构特征联想已学过的具有相同的相似结构的基本函数，并由基本函数的相关结构猜想抽象函数可能具有的性质，加深对题意的理解，但是不能有特殊的模型去代替演绎推理，那样犯了特殊代替一般的逻辑错误，解题过程中不要忘了定义域。



1.已知的定义域为，且对一切正实数都成立，若，则_______.
【难度】★
【答案】1

2.已知函数对一切实数x都满足，并且有三个实根，则这三个实根之和是_______.
【难度】★★
【答案】3
【解析】由知直线是函数图象的对称轴
又有三个实根，由对称性知必是方程的一个根，其余两根关于直线对称，所以，故.

3.若是上的减函数，且的图象经过点和点，则当不等式
的解集为时，的值为_____．
【难度】★★
【答案】1
【解析】要成功去掉这个外壳，不等式的左中右必须都是的形式.所以，要把转化为关于的表达式，由的图象经过点和点可知，，.所以等价转化为.又是上的减函数，所以，解得：，不等式得解集为.所以.

4.已知奇函数是定义在上的减函数，且满足不等式,求的取值范围.
【难度】★★
【答案】
【解析】由且，故.
又∵是奇函数，∴
又在上是减函数，
∴
解得或,综上得,即的取值范围是.

5.设奇函数的定义域为，若当时，是增函数且
求不等式的解集.
【难度】★★
【答案】或

6.设定义域为的函数、都有反函数，并且和函数的图像关于直线对称，若,那么（ ）.
【难度】★★
【答案】2001
【解析】∵和函数的图像关于直线对称，
∴反函数是，而的反函数是: , ∴,故

7．定义在实数集上的函数，对一切实数都有成立，若仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )
【难度】★★
【答案】
【解析】由已知，函数f(x)的图象有对称轴x＝
于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.
即有一个根就是，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x＝对称
利用中点坐标公式，这100个根的和等于×100＝150
所有101个根的和为×101＝.

8.已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程
在上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根。
【难度】★★
【答案】方程的根为共9个根

9.函数是奇函数，且当时是增函数，若，解不等式.
【难度】★★
【答案】 或
【解析】由函数是奇函数且当时是增函数 ，可得图象形状大致如右图，①若时，∵
∴0< 解得： 或
②若时，
解得：x∈φ
所以： 或

10.如果且，则
【难度】★★
【答案】2006
【解析】所求的是函数值分式的和，从已知式变形知函数值商等于自变量值差的函数.
1003个



11.已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数.
【难度】★★
【答案】对一切有.
且，令，得，
现设，则，，
而

，
设且，
则


，
即为减函数.

12.设是区间上的函数，且同时满足：①对任意，恒有；②对于任意,恒有+.试证明：（I）对任意都有；（II）对任意都有.
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）令，由②知+£2，
由①知+，+.
上式取等号时=1，故.
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）得，++，
，同理，.

13.已知函数在上有定义，,当且仅当时,且对任意都有,试证明：
(1) 为奇函数；(2) 在上单调递减.
【难度】★★★
【答案】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.
证明：(1)由,令,得,令,得.∴为奇函数.
(2)先证在上单调递减.
令,则
∵
∴
即
∴在(0，1)上为减函数，又为奇函数且.
∴在(－1，1)上为减函数.

14.设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时.
（1）证明；
（2）证明：在R上是增函数；
（3）设，
，若，求满足的条件.
【难度】★★★
【答案】 （1）令得，
或.
若，当时，有，这与当时，矛盾， .
（2）设，则，由已知得，因为，，若时，，由

（3）由得
由得 （2）
从（1）、（2）中消去得，因为
，
即