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2019届二轮复习等差数列学案(全国通用)
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【学习目标】1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的递推公式、通项公式及运用。2.掌握等差数列的性质,能灵活运用等差数列的性质解决问题。3.掌握等差数列前n项和公式及其应用,能灵活应用等差数列前n项和的性质解题。4会求等差数列前n项和的最值。【知识要点】1.定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示。2.递推公式:an+1-an=d(d为常数,n∈N+)。3.通项公式:以a1为首项,d为公差的等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d。4.等差数列通项公式可以看作特殊的一次函数,an=nd+(a1-d),一次项系数为d。5.等差中项:如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,满足的关系式是a+b=2A.6.常用性质:(1)(2){an}是等差数列,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=ap+aq。特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N+)时,am+an=2ak.(3)等差数列{an}中,若序号成等差数列,那么对应项也成等差数列。7.等差数列前n项和公式:已知量a1、an与na1、d与n求和公式Sn=Sn=na1+d8.等差数列前n项和性质:(1)等差数列中,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 成等差数列。(2)若{an}, {bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,则=。9.等差数列前n项和公式是特殊的二次函数,因此可以利用此特征求前n项和的最值。 【题型详解】类型一:定义法证明等差数列例1:已知数列是等差数列,设.求证:数列也是等差数列.证明:小结:定义法证明,实际就是利用递推公式得到其公差是与n无关的常数,来判断是否为等差数列。 | |X|X|K]类型二:通项公式的应用 ]例2:等差数列中,,,求的通项公式。解:设数列的公差为d,由题意有,,
解得,
所以的通项公式为 小结:等差数列里大部分问题都可以将任意项用a1和d来表示,构造方程组解决问题。类型三:等差中项的应用例3:如果等差数列中,,那么( )。A. 14 B. 21 C. 28 D. 35解析:本题主要考查等差数列中项的性质。,。故。故本题正确答案为C。 类型四:等差数列性质的应用例4:等差数列中,,则( )A.10 B.20 C.40 D.解:等差数列中,,
则原式=.20所以B选项是正确的类型五:等差数列前n项和的应用例5:已知等差数列{an}中,(1)a1=,S4=20,求S6;(2)a1=,d=-,Sn=-15,求n及an;类型六:等差数列前n项和求最值例6:已知数列{an}的通项公式是an=2n-48,则Sn取得最小值时,n为 .【解析】由an≤0得,2n-48≤0,n≤24.∴当n=23或24时,Sn最小.类型七:等差数列前n项和性质应用例7:在等差数列{an}中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为( ) A.9 B.12C.16 D.17【解析】(1)法一:由题意知:S4=1,S8-S4=3,而S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列.即1,3,5,7,9,a17+a18+a19+a20=S20-S16=9.【复习检测】1.下列说法中正确的有 .(填序号)①若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列.②若{|an|}是等差数列,则{an}也是等差数列.③若{an}是等差数列,则对任意n∈N+都有2an+1=an+an+2.④数列{an}的通项公式为an=3n+5,则数列{an}的公差与函数y=3x+5的图象的斜率相等.【解析】①错误.如-2,-1,0,1,2是等差数列,但其绝对值就不是等差数列. ②错误.如数列-1,2,-3,4,-5,其绝对值为等差数列,但其本身不是等差数列.③正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N+都有2an+1=an+an+2成立.④正确.因为an=3n+5的公差d=3,而直线y=3x+5的斜率也是3.2.在等差数列{an}中,若a5=6,a8=15,则a14= .【解析】∵数列{an}是等差数列,∴a5,a8,a11,a14也成等差数列且公差为9,∴a14=6+9×3=33.3.在等差数列 {an}中,已知a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8= .【解析】因为a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450.所以a5=90,a2+a8=2a5=2×90=180.4.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12= .【解析】在等差数列{an}中,由于a7+a9=a4+a12,所以a12=(a7+a9)-a4=16-1=15.5.三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数. ]6.请你根据提供的信息回答问题.(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由.(1)由a1=1,a6=2,得∴得a2=1.2;由b1=30,b6=10,得 ∴得b2=26.∴c2=a2b2=1.2×26=31.2,即第2年养鸡场有26个,全县出产鸡31.2万只.(2)∵c6=a6b6=2×10=20<c1=a1b1=30,∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.
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