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2019届二轮复习第1讲 基本初等函数、函数的图象与性质学案（全国通用）
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第1讲 基本初等函数、函数的图象与性质
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)函数与方程是B级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点.
真 题 感 悟
1.(2018·江苏卷)函数f(x)＝的定义域为________.
解析 要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，即x≥2，则函数f(x)的定义域是[2，＋∞).
答案 [2，＋∞)
2.(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________.
解析 因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f(x)＝所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f＝cos ＝.
答案
3.(2017·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，f(x)＝其中集合D＝，则方程f(x)－lg x＝0的解的个数是________.
解析 由于f(x)∈[0，1)，则只需考虑1≤x<10的情况，在此范围内，x∈Q，且x Z时，设x＝，p，q∈N*，p≥2且p，q互质.若lg x∈Q，则由lg x∈(0，1)，可设lg x＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互质.因此10＝，10n＝，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾.因此lg xQ，因此lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只考虑lg x与每个周期xD部分交点，画出函数草图如图.
图中交点除(1，0)外，其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期xD部分，且x＝1处(lg x)′＝，因<1，则在x＝1附近仅有一个交点(1，0)，因此方程解的个数为8个.
答案 8
4.(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________.
解析 令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示.
由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.
答案 4
考 点 整 合
1.基本初等函数
(1)幂函数的概念及y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝及y＝x的图象及性质；
(2)有理数指数幂、对数的含义及运算；指数函数、对数函数的概念、图象与性质.
2.函数的性质
(1)单调性
(ⅰ)用来比较大小、求函数最值、解不等式和证明方程根的唯一性.
(ⅱ)常见判定方法：①定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解；②图象法；③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；④导数法.
(2)奇偶性
①若f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)；②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0；③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性.
(3)周期性
常见结论有①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x－2a)＝f(x)(a＞0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数；②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数；③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数；④若f(x＋a)＝－f(x)，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数.
3.函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.
4.函数的零点问题
(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.
热点一 基本初等函数的概念及运算
【例1】 (1)(2018·南通、扬州、泰州、淮安三调)函数f(x)＝的定义域为________.
(2)(2015·江苏卷)不等式2x2－x＜4的解集为________.
解析 (1)由题意得－2≥0，即≥0，从而0＜lg x≤，故1＜x≤，从而函数f(x)的定义域为(1，].
(2)∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1
探究提高 (1)考查指数、对数的定义及运算性质，注意化为“同指”或“同底”，再运用运算法则化简合并.
(2)考查指数函数、对数函数及幂函数的概念及性质，用以解决定义域、值域、最值、解不等式等问题，注意指数函数与对数函数互为反函数.
【训练1】 (1)(2018·苏北四市调研)已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b的值是________.
解析 由图象可得解得则a＋b＝.
答案
(2)已知函数f(x)＝.
①若a＝－1，求f(x)的单调区间；
②若f(x)有最大值3，求a的值；
③若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值.
解 ①当a＝－1时，f(x)＝，令μ＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
μ在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).
②令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝，由于f(x)有最大值3，
所以h(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
③由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.
热点二 函数图象与性质的应用
【例2】 (1)(2018·全国Ⅱ卷改编)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________.
(2)(2017·南京、盐城调研)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)法一 ∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0，∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且一个周期为4，∴f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2.
法二 取一个符合题意的函数f(x)＝2sin ，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
(2)函数y＝|f(x)|的图象如图.y＝ax为过原点的一条直线，
当a＞0时，与y＝|f(x)|在y轴右侧总有交点，不合题意；当a＝0时成立；当a＜0时，找与y＝|－x2＋2x|(x≤0)即y＝x2－2x相切的情况，即y′＝2x－2，切线方程为y＝(2x0－2)(x－x0)，由分析可知x0＝0，所以a＝－2，综上，a∈[－2，0].
答案 (1)2 (2)[－2，0]
探究提高 1.(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值.(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心(对称轴).
2.(1)涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范围.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.
【训练2】 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
(2)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，又f(x)在R上是偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.
(2)设g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，
使得g(x0)＜h(x0)，因为g′(x)＝ex(2x＋1)，可知g(x)在上单调递减，在上单调递增，作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示，故即所以≤a<1.
答案 (1)6 (2)
热点三 函数与方程问题
[考法1] 函数零点个数的求解
【例3－1】 (2017·常州模拟)函数f(x)＝4cos2·cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________.
解析 f(x)＝4cos2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x·－|ln(x＋1)|＝
sin 2x－|ln(x＋1)|，令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y＝sin 2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示.
观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.
答案 2
探究提高 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定定理或数形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
[考法2] 由函数的零点(或方程的根)求参数
【例3－2】 (1)(2018·南京、盐城一模)设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝若函数y＝f(x)－m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是________.
(2)已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是________.
解析 (1)先画出x≥0时的函数图象，再利用偶函数的对称性得到x＜0时的图象.令y＝f(x)，y＝m，由图象可得要有四个不同的零点，则m∈.
(2)函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，即方程f(x)－g(x)＝0，即b＝f(x)＋f(2－x)有4个不同实数根，即直线y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)的图象有4个不同的交点，又y＝f(x)＋f(2－x)＝作出该函数的图象如图所示，
由图可知，当＜b＜2时，直线y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)的图象有4个不同的交点，故函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点时，b的取值范围是.
答案 (1) (2)
探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
【训练3】 (2018·苏州期末)设函数f(x)＝x2＋3x＋3－a·ex(a为非零实数)，若f(x)有且仅有一个零点，则a的取值范围为________.
解析 令f(x)＝0，可得＝a，
令g(x)＝，则g′(x)＝＝－，
令g′(x)＞0，可得x∈(－1，0)，令g′(x)＜0，可得x∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以g(x)在(－1，0)上单调递增，在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递减.由题意知函数y＝g(x)的图象与直线y＝a有且仅有一个交点，结合y＝g(x)及y＝a的图象可得a∈(0，e)∪(3，＋∞).
答案 (0，e)∪(3，＋∞)
1.解决函数问题切忌忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f(x)＝的定义域时，只考虑x＞0，忽视ln x≠0的限制.
2.如果一个奇函数f(x)在原点处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
3.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较.
(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；
(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；
(3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.
4.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
一、填空题
1.(2017·苏州调研)已知f(x)＝是奇函数，则f(g(－2))＝________.
解析 由题意可得g(x)＝－2－x＋3(x<0)，则f(g(－2))＝f(－1)＝g(－1)＝1.
答案 1
2.(2011·江苏卷)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________.
解析 函数f(x)的定义域为，令t＝2x＋1(t＞0).因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为.
答案
3.(2018·苏北四市调研)函数f(x)＝的值域为________.
解析 当x≤0时，y＝2x∈(0，1]；当x＞0时，y＝－x2＋1∈(－∞，1).综上， 该函数的值域为(－∞，1].
答案 (－∞，1]
4.(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________.
解析 在区间[0，3π]上分别作出y＝sin 2x和y＝cos x的简图如下：
由图象可得两图象有7个交点.
答案 7
5.(2012·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________.
解析 因为函数f(x)是周期为2的函数，所以f(－1)＝f(1)－a＋1＝，又f＝f＝f，所以＝－a＋1，联立列成方程组解得a＝2，b＝－4，所以a＋3b＝2－12＝－10.
答案 －10
6.(2018·苏州自主学习)设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝2x，若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f2(x)恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析 法一(利用解析式) 当x≥0时，定义在R上的偶函数f(x)＝2x，易得f(x)＝2|x|，x∈R.由f(x＋a)≥f2(x)得，2|x＋a|≥(2|x|)2，即|x＋a|≥|2x|对于x∈[a，a＋2]恒成立，即(3x＋a)(x－a)≤0对于x∈[a，a＋2]恒成立，即解得a≤－.
法二(偶函数的性质) 当x≥0时，定义在R上的偶函数f(x)＝2x，易得，f(x)＝2|x|，x∈R，易证f2(x)＝f(2x)，x∈R，故由f(x＋a)≥f2(x)得，|x＋a|≥|2x|对于x∈[a，a＋2]恒成立，下同法一.
答案
7.(2018·浙江卷改编)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是________(填序号).
解析 设f(x)＝2|x|sin 2x，其定义域关于坐标原点对称，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函数，故排除①②；令f(x)＝0，所以sin 2x＝0，所以2x＝kπ(k∈Z)，所以x＝(k∈Z)，故排除③.故填④.
答案 ④
8.(2014·江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________.
解析 作出函数y＝f(x)在[－3，4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝，观察图象可得0＜a＜.
答案
二、解答题
9.已知函数f(x)＝a－.
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，解不等式：f(ax)
(2)∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1
∵y＝2x在R上单调递增且x1
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
解得a＝1(或用f(0)＝0去解).∴f(ax)
10.(2017·南通阶段检测)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.
解 令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9＋＞0恒成立，即f(x)＝0有两个不相等的实数根，
∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可.
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，
∴a≤－或a≥1.
检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.
方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.
(2)当f(3)＝0时，a＝－，此时f(x)＝x2－x－.
令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解得x＝－或x＝3.
方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－.
综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞).
11.已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，求正实数m的取值范围.
解 y＝(mx－1)2＝m2，相当于y＝x2向右平移个单位，再将函数值放大m2倍得到的；y＝＋m相当于y＝向上平移m个单位.
①若0＜m≤1，两函数的图象如图1所示，可知两函数在x∈[0，1]上有且只有1个交点，符合题意.
②若m＞1，两函数的大致图象如图2所示.
为使两函数在x∈[0，1]上有且只有1个交点，只需(m－1)2≥1＋m，得m≥3或m≤0(舍去).
综上，m∈(0，1]∪[3，＋∞).
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)函数与方程是B级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点.
真 题 感 悟
1.(2018·江苏卷)函数f(x)＝的定义域为________.
解析 要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，即x≥2，则函数f(x)的定义域是[2，＋∞).
答案 [2，＋∞)
2.(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________.
解析 因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f(x)＝所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f＝cos ＝.
答案
3.(2017·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，f(x)＝其中集合D＝，则方程f(x)－lg x＝0的解的个数是________.
解析 由于f(x)∈[0，1)，则只需考虑1≤x<10的情况，在此范围内，x∈Q，且x Z时，设x＝，p，q∈N*，p≥2且p，q互质.若lg x∈Q，则由lg x∈(0，1)，可设lg x＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互质.因此10＝，10n＝，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾.因此lg xQ，因此lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只考虑lg x与每个周期xD部分交点，画出函数草图如图.
图中交点除(1，0)外，其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期xD部分，且x＝1处(lg x)′＝，因<1，则在x＝1附近仅有一个交点(1，0)，因此方程解的个数为8个.
答案 8
4.(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________.
解析 令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示.
由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.
答案 4
考 点 整 合
1.基本初等函数
(1)幂函数的概念及y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝及y＝x的图象及性质；
(2)有理数指数幂、对数的含义及运算；指数函数、对数函数的概念、图象与性质.
2.函数的性质
(1)单调性
(ⅰ)用来比较大小、求函数最值、解不等式和证明方程根的唯一性.
(ⅱ)常见判定方法：①定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解；②图象法；③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；④导数法.
(2)奇偶性
①若f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)；②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0；③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性.
(3)周期性
常见结论有①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x－2a)＝f(x)(a＞0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数；②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数；③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数；④若f(x＋a)＝－f(x)，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数.
3.函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.
4.函数的零点问题
(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.
热点一 基本初等函数的概念及运算
【例1】 (1)(2018·南通、扬州、泰州、淮安三调)函数f(x)＝的定义域为________.
(2)(2015·江苏卷)不等式2x2－x＜4的解集为________.
解析 (1)由题意得－2≥0，即≥0，从而0＜lg x≤，故1＜x≤，从而函数f(x)的定义域为(1，].
(2)∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1
探究提高 (1)考查指数、对数的定义及运算性质，注意化为“同指”或“同底”，再运用运算法则化简合并.
(2)考查指数函数、对数函数及幂函数的概念及性质，用以解决定义域、值域、最值、解不等式等问题，注意指数函数与对数函数互为反函数.
【训练1】 (1)(2018·苏北四市调研)已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b的值是________.
解析 由图象可得解得则a＋b＝.
答案
(2)已知函数f(x)＝.
①若a＝－1，求f(x)的单调区间；
②若f(x)有最大值3，求a的值；
③若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值.
解 ①当a＝－1时，f(x)＝，令μ＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
μ在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).
②令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝，由于f(x)有最大值3，
所以h(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
③由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.
热点二 函数图象与性质的应用
【例2】 (1)(2018·全国Ⅱ卷改编)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________.
(2)(2017·南京、盐城调研)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)法一 ∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0，∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且一个周期为4，∴f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2.
法二 取一个符合题意的函数f(x)＝2sin ，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
(2)函数y＝|f(x)|的图象如图.y＝ax为过原点的一条直线，
当a＞0时，与y＝|f(x)|在y轴右侧总有交点，不合题意；当a＝0时成立；当a＜0时，找与y＝|－x2＋2x|(x≤0)即y＝x2－2x相切的情况，即y′＝2x－2，切线方程为y＝(2x0－2)(x－x0)，由分析可知x0＝0，所以a＝－2，综上，a∈[－2，0].
答案 (1)2 (2)[－2，0]
探究提高 1.(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值.(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心(对称轴).
2.(1)涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范围.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.
【训练2】 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
(2)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，又f(x)在R上是偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.
(2)设g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，
使得g(x0)＜h(x0)，因为g′(x)＝ex(2x＋1)，可知g(x)在上单调递减，在上单调递增，作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示，故即所以≤a<1.
答案 (1)6 (2)
热点三 函数与方程问题
[考法1] 函数零点个数的求解
【例3－1】 (2017·常州模拟)函数f(x)＝4cos2·cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________.
解析 f(x)＝4cos2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x·－|ln(x＋1)|＝
sin 2x－|ln(x＋1)|，令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y＝sin 2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示.
观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.
答案 2
探究提高 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定定理或数形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
[考法2] 由函数的零点(或方程的根)求参数
【例3－2】 (1)(2018·南京、盐城一模)设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝若函数y＝f(x)－m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是________.
(2)已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是________.
解析 (1)先画出x≥0时的函数图象，再利用偶函数的对称性得到x＜0时的图象.令y＝f(x)，y＝m，由图象可得要有四个不同的零点，则m∈.
(2)函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，即方程f(x)－g(x)＝0，即b＝f(x)＋f(2－x)有4个不同实数根，即直线y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)的图象有4个不同的交点，又y＝f(x)＋f(2－x)＝作出该函数的图象如图所示，
由图可知，当＜b＜2时，直线y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)的图象有4个不同的交点，故函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点时，b的取值范围是.
答案 (1) (2)
探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
【训练3】 (2018·苏州期末)设函数f(x)＝x2＋3x＋3－a·ex(a为非零实数)，若f(x)有且仅有一个零点，则a的取值范围为________.
解析 令f(x)＝0，可得＝a，
令g(x)＝，则g′(x)＝＝－，
令g′(x)＞0，可得x∈(－1，0)，令g′(x)＜0，可得x∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以g(x)在(－1，0)上单调递增，在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递减.由题意知函数y＝g(x)的图象与直线y＝a有且仅有一个交点，结合y＝g(x)及y＝a的图象可得a∈(0，e)∪(3，＋∞).
答案 (0，e)∪(3，＋∞)
1.解决函数问题切忌忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f(x)＝的定义域时，只考虑x＞0，忽视ln x≠0的限制.
2.如果一个奇函数f(x)在原点处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
3.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较.
(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；
(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；
(3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.
4.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
一、填空题
1.(2017·苏州调研)已知f(x)＝是奇函数，则f(g(－2))＝________.
解析 由题意可得g(x)＝－2－x＋3(x<0)，则f(g(－2))＝f(－1)＝g(－1)＝1.
答案 1
2.(2011·江苏卷)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________.
解析 函数f(x)的定义域为，令t＝2x＋1(t＞0).因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为.
答案
3.(2018·苏北四市调研)函数f(x)＝的值域为________.
解析 当x≤0时，y＝2x∈(0，1]；当x＞0时，y＝－x2＋1∈(－∞，1).综上， 该函数的值域为(－∞，1].
答案 (－∞，1]
4.(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________.
解析 在区间[0，3π]上分别作出y＝sin 2x和y＝cos x的简图如下：
由图象可得两图象有7个交点.
答案 7
5.(2012·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________.
解析 因为函数f(x)是周期为2的函数，所以f(－1)＝f(1)－a＋1＝，又f＝f＝f，所以＝－a＋1，联立列成方程组解得a＝2，b＝－4，所以a＋3b＝2－12＝－10.
答案 －10
6.(2018·苏州自主学习)设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝2x，若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f2(x)恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析 法一(利用解析式) 当x≥0时，定义在R上的偶函数f(x)＝2x，易得f(x)＝2|x|，x∈R.由f(x＋a)≥f2(x)得，2|x＋a|≥(2|x|)2，即|x＋a|≥|2x|对于x∈[a，a＋2]恒成立，即(3x＋a)(x－a)≤0对于x∈[a，a＋2]恒成立，即解得a≤－.
法二(偶函数的性质) 当x≥0时，定义在R上的偶函数f(x)＝2x，易得，f(x)＝2|x|，x∈R，易证f2(x)＝f(2x)，x∈R，故由f(x＋a)≥f2(x)得，|x＋a|≥|2x|对于x∈[a，a＋2]恒成立，下同法一.
答案
7.(2018·浙江卷改编)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是________(填序号).
解析 设f(x)＝2|x|sin 2x，其定义域关于坐标原点对称，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函数，故排除①②；令f(x)＝0，所以sin 2x＝0，所以2x＝kπ(k∈Z)，所以x＝(k∈Z)，故排除③.故填④.
答案 ④
8.(2014·江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________.
解析 作出函数y＝f(x)在[－3，4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝，观察图象可得0＜a＜.
答案
二、解答题
9.已知函数f(x)＝a－.
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，解不等式：f(ax)
(2)∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1
∵y＝2x在R上单调递增且x1
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
解得a＝1(或用f(0)＝0去解).∴f(ax)
10.(2017·南通阶段检测)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.
解 令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9＋＞0恒成立，即f(x)＝0有两个不相等的实数根，
∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可.
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，
∴a≤－或a≥1.
检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.
方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.
(2)当f(3)＝0时，a＝－，此时f(x)＝x2－x－.
令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解得x＝－或x＝3.
方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－.
综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞).
11.已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，求正实数m的取值范围.
解 y＝(mx－1)2＝m2，相当于y＝x2向右平移个单位，再将函数值放大m2倍得到的；y＝＋m相当于y＝向上平移m个单位.
①若0＜m≤1，两函数的图象如图1所示，可知两函数在x∈[0，1]上有且只有1个交点，符合题意.
②若m＞1，两函数的大致图象如图2所示.
为使两函数在x∈[0，1]上有且只有1个交点，只需(m－1)2≥1＋m，得m≥3或m≤0(舍去).
综上，m∈(0，1]∪[3，＋∞).
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