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2019届二轮复习第1讲 函数的图像与性质学案（全国通用）
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第1讲 函数的图像与性质
1.[2017·全国卷Ⅰ] 函数y=的部分图像大致为( )
A B C D
图M1-1-1
[试做]
命题角度 函数图像的识别
解题策略:步骤一,判断已知函数的奇偶性、周期性、对称性等,初步排除选项(需观察选项,确定首先判断已知函数的什么性质);
步骤二,利用单调性(导数判断法或判断已知函数中各子函数的单调性后整体判断)或特殊点描绘函数的大致图像得出答案.
注:(1)此类试题,一般可多次利用特殊点排除法得到答案;
(2)有时需要关注由已知函数图像上下或者左右平移得到的对称性等.
2.【引·全国卷】
[2018·全国卷Ⅱ] 已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( )
A.-50 B.0
C.2 D.50
【荐·地方卷】
[2017·山东卷] 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0] 时,f(x)=6-x,则f(919)= .
[试做]
命题角度 函数周期性为背景的问题
①利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值,计算一个周期内的函数值,利用周期性求值.
②求函数周期性的方法:
a:若函数满足f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期.
b:若函数满足f(x+a)=-f(x),则2a是函数的一个周期.
c:若函数满足f(x+a)=,则2a是函数的一个周期.
③对称性与周期性:
如果一个函数y=f(x)的图像具备两种对称性,则这个函数是周期函数.具体如下:
a:关于两个点对称,若y=f(x)的图像关于点(a,0),(b,0)对称,则y=f(x)是周期函数,且正周期为2|b-a|.
b:关于两条线对称,若y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b对称,则y=f(x)是周期函数,且正周期为2|b-a|.
c:关于一条线和一个点对称,若y=f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)对称,则y=f(x)是周期函数,且正周期为4|b-a|.
3.(1)[2016·全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=( )
A.0 B.m
C.2m D.4m
(2)[2017·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则 ( )
A.f(x)在(0,2)单调递增
B.f(x)在(0,2)单调递减
C.y=f(x)的图像关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图像关于点(1,0)对称
[试做]
命题角度 函数图像对称性为背景的问题
①解决两个函数图像所有交点的横坐标、纵坐标的问题.
关键一:利用已知条件确定函数图像的对称中心或对称轴.
关键二:熟记关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论:
a.f(a+x)=2b-f(a-x)⇔函数y=f(x)的图像关于点(a,b)对称;
b.f(a+x)+f(b-x)=c⇔函数y=f(x)的图像关于点,对称;
c.f(a+x)=f(a-x)⇔函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;
d.f(a+x)=f(b-x)⇔函数y=f(x)的图像关于直线x=对称.
②(特殊法)将抽象函数f(x)具体化,找一个满足所有条件的具体函数,例如f(x)=x+1.
③一个函数图像的自身对称和两个不同函数的图像对称的区别.
4.(1)[2017·全国卷Ⅱ] 函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
(2)[2014·全国卷Ⅰ] 设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
[试做]
命题角度 复合函数单调性与奇偶性的判断
①复合函数的单调性的解题策略:关键一,确定定义域,将原函数分解为基本函数(内函数与外函数);关键二,分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;关键三,根据“同增异减”来判断原函数在定义域内的单调性.
注:外函数的定义域的确定需结合内函数的值域.
②解决两函数的积的奇偶性的策略:关键一,两个奇函数的积是偶函数,两个偶函数的积是偶函数,一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数;关键二,一个奇函数或偶函数的绝对值是偶函数.
注:两个函数的定义域都要关于原点对称.
5.(1)[2017·全国卷Ⅰ] 函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[0,4] D.[1,3]
(2)[2014·全国卷Ⅱ] 已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是 .
[试做]
命题角度 解抽象函数不等式
①解决抽象函数不等式问题的依据是单调性的定义.
②将抽象函数不等式变形为类似f(x1)>f(x2)的形式,结合单调性转化为常规不等式如x1>x2(或x1
④部分问题可以将抽象函数具体化,找一个满足所有条件的具体函数,例如f(x)=-x.
小题1函数的概念与表示
1 (1)函数f(x)=+ln(2x+1)的定义域为( )
A. B.
C. D.
(2)设函数f(x)=则满足f(x)+f(x-1)≥2的x的取值范围是 .
[听课笔记]
【考场点拨】
(1)高考常考定义域易失分点:①若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从中解得x的范围即为f[g(x)]的定义域;②若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域.
(2)高考常考分段函数易失分点:①注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提;②利用函数性质转化时,首先判断已知分段函数的性质,利用性质将所求问题简单化.
【自我检测】
1.设函数f(x)=log2(x-1)+,则函数f的定义域为 ( )
A.(1,2]
B.(2,4]
C.[1,2)
D.[2,4)
2.已知函数f(x)=则f(1)+f()+f()+…+f()= ( )
A.44
B.45
C.1009
D.2018
3.已知函数f(x)=的值域是[-8,1],则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-3]
B.[-3,0)
C.[-3,-1]
D.{-3}
4.设函数f(x)=若f(a)=f,则实数a的值为 .
小题2函数的性质及应用
2 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,记a=f,b=f(-2-0.5),c=f(log49),则a,b,c的大小关系为( )
A.b
[听课笔记]
【考场点拨】
高考常考函数几个性质的应用:
(1)奇偶性:具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图像、函数值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可以转化为只研究部分(一般为一半)区间上的性质.注意偶函数常用结论f(x)=f(|x|).
(2)单调性:可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.
(3)周期性:利用周期性可以转化函数的解析式、图像和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解.
(4)对称性:常围绕对称中心设置试题背景,利用对称中心的性质简化所求问题.
【自我检测】
1.下列函数中既为偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是( )
A.y=
B.y=x2+2|x|
C.y=|ln x|
D.y=2-x
2.已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=2x+x,则f(log25)= ( )
A. B.2
C.5 D.
3.f(x)是R上的奇函数,对任意实数x,都有f(x)=-f ,当x∈时,f(x)=log2(2x-1),则f(2018)+f(2019)=( )
A.0 B.1
C.-1 D.2
4.已知函数f(x)=+sin,则的值是( )
A.4036 B.2018
C.1009 D.1007
小题3函数的图像及应用
3 (1)函数y=x2+的大致图像为( )
A B C D
图M1-1-2
(2)已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是 .
[听课笔记]
【考场点拨】
(1)确定函数图像的主要方法是利用函数的性质(如奇偶性、单调性等)及经过的特殊点;(2)函数图像的应用主要体现在数形结合中,借助于函数图像的特点和变化规律,求解有关最值、交点、方程的根等问题.
【自我检测】
1.已知f(x)=x-sin x,则f(x)的大致图像是 ( )
A B
C D
图M1-1-3
2.设函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1] B.[1,4]
C.[4,+∞) D.(-∞,1]∪[4,+∞)
3.如图M1-1-4①,在矩形MNPO中,动点R从点N出发,沿N→P→O→M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x,△MNR的面积为y,若y关于x的函数图像如图②所示,则当x=9时,点R应运动到点 ( )
① ②
图M1-1-4
A.N处 B.P处
C.O处 D.M处
4.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=-2x+1,设函数g(x)=(-1
C.6 D.8
模块一 函数与导数
第1讲 函数的图像与性质
典型真题研析
1.C [解析] 令f(x)=,因为f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,可以排除B.又f(1)=>0,所以可以排除A.而f(π)==0,所以可以排除D.故选C.
2.【引·全国卷】
C [解析] 因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x)①,且f(0)=0.而f(1-x)=f(1+x),所以f(-x)=f(2+x)②,由①②可得f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4.由f(1)=2,得f(-1)=-2,于是有f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2+0=2.
【荐·地方卷】
6 [解析] 由f(x+4)=f(x-2)可知周期T=6,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1),又因为f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1)=6-(-1)=6.
3.(1)B (2)C [解析] (1)由f(-x)=2-f(x)得f(x)的图像关于点(0,1)对称,∵y==1+的图像也关于点(0,1)对称,
∴两函数图像的交点必关于点(0,1)对称,且对于每一组对称点(xi,yi)和(x'i,y'i)均满足xi+x'i=0,yi+y'i=2,
∴(xi+yi)=xi+yi=0+2·=m.
(2)因为函数f(x)的定义域为(0,2),f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x)=ln[-(x-1)2+1],所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故选项A,B错.由于函数y=-(x-1)2+1,x∈(0,2)的图像关于直线x=1对称,所以函数f(x)=ln x+ln(2-x)的图像关于直线x=1对称.故选C.
4.(1)D (2)C [解析] (1)函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).
(2)因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),于是f(-x)·g(-x)=-f(x)g(x),即f(x)g(x)为奇函数,A错;
|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),即|f(x)|g(x)为偶函数,B错;
f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,即f(x)|g(x)|为奇函数,C正确;
|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,即|f(x)g(x)|为偶函数,所以D也错.
5.(1)D (2)(-1,3) [解析] (1)因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=1,不等式-1≤f(x-2)≤1,即f(1)≤f(x-2)≤f(-1),因为f(x)单调递减,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x≤3,故x的取值范围为[1,3].
(2)根据偶函数的性质,易知f(x)>0的解集为(-2,2),若f(x-1)>0,则-2
小题1
例1(1)D (2) [解析] (1)要使函数f(x)=+ln(2x+1)有意义,则需满足解得-
∴当x≤0时,x-1≤-1,f(x)+f(x-1)=2x+1+2(x-1)+1=4x≥2,
无解;
当即0
当x-1>0,即x>1时,f(x)+f(x-1)=4x+4x-1≥2,得x>1.
综上,x的取值范围是.
【自我检测】
1.B [解析] ⇒1
3.B [解析] 当0≤x≤4时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,
∴函数f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,4]上单调递减,
故f(x)在[0,4]上的值域是[-8,1],
又函数f(x)的值域为[-8,1],∴y=-,a≤x<0的值域为[-8,1]的子集.
∵y=-,a≤x<0单调递增,
∴只需-≥-8,-≤1,
∴-3≤a<0,
故选B.
4. [解析] 当0
当a≥1时,有2(a-a)=2,无解.
综上可知,a=.
小题2
例2(1)A (2)f(x)=log2(3-x) [解析] (1)函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(|x|),所以a=f=f(log25),b=f(-2-0.5)=f,c=f(log49)=f(log23).
而<1c>b,故选A.
(2)设x∈[-1,0],则-x∈[0,1],结合题意可得f(x)=f(-x)=log2(-x+1).
设x∈[1,2],则x-2∈[-1,0],故f(x)=f(x-2)=log2[-(x-2)+1]=log2(3-x).
综上可得,函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)=log2(3-x).
【自我检测】
1.B [解析] A中,y=是偶函数,当x>0时,y==是减函数,不满足条件;
B中,y=x2+2|x|是偶函数,当x>0时,y=x2+2|x|=x2+2x是增函数,满足条件;
C中,y=|ln x|的定义域为(0,+∞),定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,不满足条件;
D中,y=2-x在(0,+∞)上是减函数,且函数为非奇非偶函数,不满足条件.
故选B.
2.A [解析] 由f(x)+g(x)=2x+x,得f(-x)+g(-x)=2-x-x,又由函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,得f(x)-g(x)=2-x-x,联立方程消元可得f(x)=,∴f(log25)==.
3.A [解析] ∵f(x)=-f,∴f(x-3)=-f=f(x),∴f(x)是以3为周期的奇函数,∴f(2018)+f(2019)=f(-1)+f(0)=-f(1)=-log2(2-1)=0.
4.C [解析] 由题意,函数f(x)=+sin,
令g(x)===+,则g(x)的图像的对称中心为点,
所以g(x)+g(1-x)=1,则
令h(x)=sin,则点为函数h(x)图像的一个对称中心,则h(x)+h(1-x)=0,所以
所以故选C.
小题3
例3(1)C (2)(2,2019) [解析] (1)令f(x)=x2+,因为f(-1)=1>0,所以排除选项A,B,又因为f=-e<0,所以排除选项D.故选C.
(2)如图,作出函数f(x)的图像,直线y=y0与函数f(x)的图像交于A,B,C三点.不妨设a
当直线y=y0经过点(2018,1)时,两个图像恰有两个公共点(此时A,B重合),所以当0
1.A [解析] ∵f(-x)=-x+sin x=-f(x),
∴f(x)为奇函数,
∴f(x)的图像关于原点对称,故排除B,D.
当x=时,f=-1<0,故排除C,
故选A.
2.D [解析] 作出函数f(x)的图像如图所示,由图像可知,若f(x)在(a,a+1)上单调递增,则a≥4或a+1≤2,即a≥4或a≤1,故选D.
3.C [解析] 在矩形MNPO中,动点R沿N→P方向运动时,△MNR的底边MN保持不变,而高NR随着x的增加而增加,因此这一阶段△MNR的面积y也随x的增加而增加,其图像为图②中0~4这一段;动点R沿P→O方向运动时,△MNR的底边MN保持不变,高PN也保持不变,因此这一阶段△MNR的面积y不随x的改变而改变,其图像为图②中4~9这一段;动点R沿O→M方向运动时,△MNR的底边MN保持不变,而高MR随着x的增加而减小,因此这一阶段△MNR的面积y随x的增加而减小,其图像为图②中9~13这一段.根据以上分析,当x=9时,点R应运动到点O处.
4.B [解析] 因为f(x+1)=-f(x),所以f(x)的周期为2,又f(x)为偶函数,所以f(x)的图像关于直线x=1对称.函数g(x)=的图像关于直线x=1对称,作出f(x)在[-1,3]上的图像及g(x)的图像可得四个交点的横坐标之和为2×2=4,选B.
[备选理由] 例1考查利用函数的奇偶性、单调性解函数不等式,首先要依据单调性将函数不等式转化为常规不等式,再求解;例2考查利用奇偶性、周期性求抽象函数的函数值.
例1 [配例2使用] 定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),且当x≥0时,f(x)=若对任意的x∈[m,m+1],不等式f(1-x)≤f(x+m)恒成立,则实数m的最大值是 ( )
A.-1 B.-
C.- D.
[解析] C 由题知,函数f(x)为偶函数,且当x≥0时,函数f(x)为减函数,则当x<0时,函数f(x)为增函数.若对任意的x∈[m,m+1],不等式f(1-x)≤f(x+m)恒成立,则|1-x|≥|x+m|,即(1-x)2≥(x+m)2,所以2(1+m)x≤(1+m)(1-m).当m+1>0,即m>-1时,x≤,所以m+1≤,解得m≤-,所以-1
A.-2 B.0
C.2 D.4
[解析] A ∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
又f(2+x)=f(-x),
∴f(2+x)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
∴函数f(x)是周期为4的周期函数.
∴f(2018)+f(2019)=f(4×504+2)+f(4×504+3)=f(2)+f(3),
又f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,
∴f(2018)+f(2019)=f(2)+f(3)=-2.故选A.
1.[2017·全国卷Ⅰ] 函数y=的部分图像大致为( )
A B C D
图M1-1-1
[试做]
命题角度 函数图像的识别
解题策略:步骤一,判断已知函数的奇偶性、周期性、对称性等,初步排除选项(需观察选项,确定首先判断已知函数的什么性质);
步骤二,利用单调性(导数判断法或判断已知函数中各子函数的单调性后整体判断)或特殊点描绘函数的大致图像得出答案.
注:(1)此类试题,一般可多次利用特殊点排除法得到答案;
(2)有时需要关注由已知函数图像上下或者左右平移得到的对称性等.
2.【引·全国卷】
[2018·全国卷Ⅱ] 已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( )
A.-50 B.0
C.2 D.50
【荐·地方卷】
[2017·山东卷] 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0] 时,f(x)=6-x,则f(919)= .
[试做]
命题角度 函数周期性为背景的问题
①利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值,计算一个周期内的函数值,利用周期性求值.
②求函数周期性的方法:
a:若函数满足f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期.
b:若函数满足f(x+a)=-f(x),则2a是函数的一个周期.
c:若函数满足f(x+a)=,则2a是函数的一个周期.
③对称性与周期性:
如果一个函数y=f(x)的图像具备两种对称性,则这个函数是周期函数.具体如下:
a:关于两个点对称,若y=f(x)的图像关于点(a,0),(b,0)对称,则y=f(x)是周期函数,且正周期为2|b-a|.
b:关于两条线对称,若y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b对称,则y=f(x)是周期函数,且正周期为2|b-a|.
c:关于一条线和一个点对称,若y=f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)对称,则y=f(x)是周期函数,且正周期为4|b-a|.
3.(1)[2016·全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=( )
A.0 B.m
C.2m D.4m
(2)[2017·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则 ( )
A.f(x)在(0,2)单调递增
B.f(x)在(0,2)单调递减
C.y=f(x)的图像关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图像关于点(1,0)对称
[试做]
命题角度 函数图像对称性为背景的问题
①解决两个函数图像所有交点的横坐标、纵坐标的问题.
关键一:利用已知条件确定函数图像的对称中心或对称轴.
关键二:熟记关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论:
a.f(a+x)=2b-f(a-x)⇔函数y=f(x)的图像关于点(a,b)对称;
b.f(a+x)+f(b-x)=c⇔函数y=f(x)的图像关于点,对称;
c.f(a+x)=f(a-x)⇔函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;
d.f(a+x)=f(b-x)⇔函数y=f(x)的图像关于直线x=对称.
②(特殊法)将抽象函数f(x)具体化,找一个满足所有条件的具体函数,例如f(x)=x+1.
③一个函数图像的自身对称和两个不同函数的图像对称的区别.
4.(1)[2017·全国卷Ⅱ] 函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
(2)[2014·全国卷Ⅰ] 设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
[试做]
命题角度 复合函数单调性与奇偶性的判断
①复合函数的单调性的解题策略:关键一,确定定义域,将原函数分解为基本函数(内函数与外函数);关键二,分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;关键三,根据“同增异减”来判断原函数在定义域内的单调性.
注:外函数的定义域的确定需结合内函数的值域.
②解决两函数的积的奇偶性的策略:关键一,两个奇函数的积是偶函数,两个偶函数的积是偶函数,一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数;关键二,一个奇函数或偶函数的绝对值是偶函数.
注:两个函数的定义域都要关于原点对称.
5.(1)[2017·全国卷Ⅰ] 函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[0,4] D.[1,3]
(2)[2014·全国卷Ⅱ] 已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是 .
[试做]
命题角度 解抽象函数不等式
①解决抽象函数不等式问题的依据是单调性的定义.
②将抽象函数不等式变形为类似f(x1)>f(x2)的形式,结合单调性转化为常规不等式如x1>x2(或x1
④部分问题可以将抽象函数具体化,找一个满足所有条件的具体函数,例如f(x)=-x.
小题1函数的概念与表示
1 (1)函数f(x)=+ln(2x+1)的定义域为( )
A. B.
C. D.
(2)设函数f(x)=则满足f(x)+f(x-1)≥2的x的取值范围是 .
[听课笔记]
【考场点拨】
(1)高考常考定义域易失分点:①若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从中解得x的范围即为f[g(x)]的定义域;②若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域.
(2)高考常考分段函数易失分点:①注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提;②利用函数性质转化时,首先判断已知分段函数的性质,利用性质将所求问题简单化.
【自我检测】
1.设函数f(x)=log2(x-1)+,则函数f的定义域为 ( )
A.(1,2]
B.(2,4]
C.[1,2)
D.[2,4)
2.已知函数f(x)=则f(1)+f()+f()+…+f()= ( )
A.44
B.45
C.1009
D.2018
3.已知函数f(x)=的值域是[-8,1],则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-3]
B.[-3,0)
C.[-3,-1]
D.{-3}
4.设函数f(x)=若f(a)=f,则实数a的值为 .
小题2函数的性质及应用
2 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,记a=f,b=f(-2-0.5),c=f(log49),则a,b,c的大小关系为( )
A.b
[听课笔记]
【考场点拨】
高考常考函数几个性质的应用:
(1)奇偶性:具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图像、函数值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可以转化为只研究部分(一般为一半)区间上的性质.注意偶函数常用结论f(x)=f(|x|).
(2)单调性:可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.
(3)周期性:利用周期性可以转化函数的解析式、图像和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解.
(4)对称性:常围绕对称中心设置试题背景,利用对称中心的性质简化所求问题.
【自我检测】
1.下列函数中既为偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是( )
A.y=
B.y=x2+2|x|
C.y=|ln x|
D.y=2-x
2.已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=2x+x,则f(log25)= ( )
A. B.2
C.5 D.
3.f(x)是R上的奇函数,对任意实数x,都有f(x)=-f ,当x∈时,f(x)=log2(2x-1),则f(2018)+f(2019)=( )
A.0 B.1
C.-1 D.2
4.已知函数f(x)=+sin,则的值是( )
A.4036 B.2018
C.1009 D.1007
小题3函数的图像及应用
3 (1)函数y=x2+的大致图像为( )
A B C D
图M1-1-2
(2)已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是 .
[听课笔记]
【考场点拨】
(1)确定函数图像的主要方法是利用函数的性质(如奇偶性、单调性等)及经过的特殊点;(2)函数图像的应用主要体现在数形结合中,借助于函数图像的特点和变化规律,求解有关最值、交点、方程的根等问题.
【自我检测】
1.已知f(x)=x-sin x,则f(x)的大致图像是 ( )
A B
C D
图M1-1-3
2.设函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1] B.[1,4]
C.[4,+∞) D.(-∞,1]∪[4,+∞)
3.如图M1-1-4①,在矩形MNPO中,动点R从点N出发,沿N→P→O→M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x,△MNR的面积为y,若y关于x的函数图像如图②所示,则当x=9时,点R应运动到点 ( )
① ②
图M1-1-4
A.N处 B.P处
C.O处 D.M处
4.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=-2x+1,设函数g(x)=(-1
C.6 D.8
模块一 函数与导数
第1讲 函数的图像与性质
典型真题研析
1.C [解析] 令f(x)=,因为f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,可以排除B.又f(1)=>0,所以可以排除A.而f(π)==0,所以可以排除D.故选C.
2.【引·全国卷】
C [解析] 因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x)①,且f(0)=0.而f(1-x)=f(1+x),所以f(-x)=f(2+x)②,由①②可得f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4.由f(1)=2,得f(-1)=-2,于是有f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2+0=2.
【荐·地方卷】
6 [解析] 由f(x+4)=f(x-2)可知周期T=6,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1),又因为f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1)=6-(-1)=6.
3.(1)B (2)C [解析] (1)由f(-x)=2-f(x)得f(x)的图像关于点(0,1)对称,∵y==1+的图像也关于点(0,1)对称,
∴两函数图像的交点必关于点(0,1)对称,且对于每一组对称点(xi,yi)和(x'i,y'i)均满足xi+x'i=0,yi+y'i=2,
∴(xi+yi)=xi+yi=0+2·=m.
(2)因为函数f(x)的定义域为(0,2),f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x)=ln[-(x-1)2+1],所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故选项A,B错.由于函数y=-(x-1)2+1,x∈(0,2)的图像关于直线x=1对称,所以函数f(x)=ln x+ln(2-x)的图像关于直线x=1对称.故选C.
4.(1)D (2)C [解析] (1)函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).
(2)因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),于是f(-x)·g(-x)=-f(x)g(x),即f(x)g(x)为奇函数,A错;
|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),即|f(x)|g(x)为偶函数,B错;
f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,即f(x)|g(x)|为奇函数,C正确;
|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,即|f(x)g(x)|为偶函数,所以D也错.
5.(1)D (2)(-1,3) [解析] (1)因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=1,不等式-1≤f(x-2)≤1,即f(1)≤f(x-2)≤f(-1),因为f(x)单调递减,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x≤3,故x的取值范围为[1,3].
(2)根据偶函数的性质,易知f(x)>0的解集为(-2,2),若f(x-1)>0,则-2
小题1
例1(1)D (2) [解析] (1)要使函数f(x)=+ln(2x+1)有意义,则需满足解得-
∴当x≤0时,x-1≤-1,f(x)+f(x-1)=2x+1+2(x-1)+1=4x≥2,
无解;
当即0
当x-1>0,即x>1时,f(x)+f(x-1)=4x+4x-1≥2,得x>1.
综上,x的取值范围是.
【自我检测】
1.B [解析] ⇒1
3.B [解析] 当0≤x≤4时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,
∴函数f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,4]上单调递减,
故f(x)在[0,4]上的值域是[-8,1],
又函数f(x)的值域为[-8,1],∴y=-,a≤x<0的值域为[-8,1]的子集.
∵y=-,a≤x<0单调递增,
∴只需-≥-8,-≤1,
∴-3≤a<0,
故选B.
4. [解析] 当0
当a≥1时,有2(a-a)=2,无解.
综上可知,a=.
小题2
例2(1)A (2)f(x)=log2(3-x) [解析] (1)函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(|x|),所以a=f=f(log25),b=f(-2-0.5)=f,c=f(log49)=f(log23).
而<1
(2)设x∈[-1,0],则-x∈[0,1],结合题意可得f(x)=f(-x)=log2(-x+1).
设x∈[1,2],则x-2∈[-1,0],故f(x)=f(x-2)=log2[-(x-2)+1]=log2(3-x).
综上可得,函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)=log2(3-x).
【自我检测】
1.B [解析] A中,y=是偶函数,当x>0时,y==是减函数,不满足条件;
B中,y=x2+2|x|是偶函数,当x>0时,y=x2+2|x|=x2+2x是增函数,满足条件;
C中,y=|ln x|的定义域为(0,+∞),定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,不满足条件;
D中,y=2-x在(0,+∞)上是减函数,且函数为非奇非偶函数,不满足条件.
故选B.
2.A [解析] 由f(x)+g(x)=2x+x,得f(-x)+g(-x)=2-x-x,又由函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,得f(x)-g(x)=2-x-x,联立方程消元可得f(x)=,∴f(log25)==.
3.A [解析] ∵f(x)=-f,∴f(x-3)=-f=f(x),∴f(x)是以3为周期的奇函数,∴f(2018)+f(2019)=f(-1)+f(0)=-f(1)=-log2(2-1)=0.
4.C [解析] 由题意,函数f(x)=+sin,
令g(x)===+,则g(x)的图像的对称中心为点,
所以g(x)+g(1-x)=1,则
令h(x)=sin,则点为函数h(x)图像的一个对称中心,则h(x)+h(1-x)=0,所以
所以故选C.
小题3
例3(1)C (2)(2,2019) [解析] (1)令f(x)=x2+,因为f(-1)=1>0,所以排除选项A,B,又因为f=-e<0,所以排除选项D.故选C.
(2)如图,作出函数f(x)的图像,直线y=y0与函数f(x)的图像交于A,B,C三点.不妨设a
当直线y=y0经过点(2018,1)时,两个图像恰有两个公共点(此时A,B重合),所以当0
1.A [解析] ∵f(-x)=-x+sin x=-f(x),
∴f(x)为奇函数,
∴f(x)的图像关于原点对称,故排除B,D.
当x=时,f=-1<0,故排除C,
故选A.
2.D [解析] 作出函数f(x)的图像如图所示,由图像可知,若f(x)在(a,a+1)上单调递增,则a≥4或a+1≤2,即a≥4或a≤1,故选D.
3.C [解析] 在矩形MNPO中,动点R沿N→P方向运动时,△MNR的底边MN保持不变,而高NR随着x的增加而增加,因此这一阶段△MNR的面积y也随x的增加而增加,其图像为图②中0~4这一段;动点R沿P→O方向运动时,△MNR的底边MN保持不变,高PN也保持不变,因此这一阶段△MNR的面积y不随x的改变而改变,其图像为图②中4~9这一段;动点R沿O→M方向运动时,△MNR的底边MN保持不变,而高MR随着x的增加而减小,因此这一阶段△MNR的面积y随x的增加而减小,其图像为图②中9~13这一段.根据以上分析,当x=9时,点R应运动到点O处.
4.B [解析] 因为f(x+1)=-f(x),所以f(x)的周期为2,又f(x)为偶函数,所以f(x)的图像关于直线x=1对称.函数g(x)=的图像关于直线x=1对称,作出f(x)在[-1,3]上的图像及g(x)的图像可得四个交点的横坐标之和为2×2=4,选B.
[备选理由] 例1考查利用函数的奇偶性、单调性解函数不等式,首先要依据单调性将函数不等式转化为常规不等式,再求解;例2考查利用奇偶性、周期性求抽象函数的函数值.
例1 [配例2使用] 定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),且当x≥0时,f(x)=若对任意的x∈[m,m+1],不等式f(1-x)≤f(x+m)恒成立,则实数m的最大值是 ( )
A.-1 B.-
C.- D.
[解析] C 由题知,函数f(x)为偶函数,且当x≥0时,函数f(x)为减函数,则当x<0时,函数f(x)为增函数.若对任意的x∈[m,m+1],不等式f(1-x)≤f(x+m)恒成立,则|1-x|≥|x+m|,即(1-x)2≥(x+m)2,所以2(1+m)x≤(1+m)(1-m).当m+1>0,即m>-1时,x≤,所以m+1≤,解得m≤-,所以-1
A.-2 B.0
C.2 D.4
[解析] A ∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
又f(2+x)=f(-x),
∴f(2+x)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
∴函数f(x)是周期为4的周期函数.
∴f(2018)+f(2019)=f(4×504+2)+f(4×504+3)=f(2)+f(3),
又f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,
∴f(2018)+f(2019)=f(2)+f(3)=-2.故选A.
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