2019届二轮复习第2讲　分类讨论思想、转化与化归思想学案（全国通用）

第2讲　分类讨论思想、转化与化归思想
高考定位　分类讨论思想、转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数及数列解答题中，难度较大.

1.中学数学中可能引起分类讨论的因素
(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.
(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等.
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.
(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.
(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.
2.常见的转化与化归的方法
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.
(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.
(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.
(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.
(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定.
(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决.
(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.

热点一　分类讨论思想的应用
[应用1]　由性质、定理、公式的限制引起的分类
【例1－1】 (1)设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝3n＋3，则数列{an}的通项an＝________.
(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________.
解析　(1)由2Sn＝3n＋3得：当n＝1时，2S1＝31＋3＝2a1，解得a1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝[(3n＋3)－(3n－1＋3)]＝3n－1，由于n＝1时，a1＝3不适合上式.∴数列{an}的通项公式为an＝
(2)当a>0时，1－a1，这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－，不合题意，舍去；
当a1，1＋a