2019届二轮复习（理）圆锥曲线综合学案（全国通用）

【母题原题1】【2018新课标1，理19】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）设为坐标原点，证明：.

由得

.

将代入得

.

所以，. ]

则.

从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.

综上，.

点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.

【母题原题2】【2017新课标1，理20】已知椭圆C:=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.

(1)求C的方程;   

(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.

【母题原题3】【2016新课标1，理20】

设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.

(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;

(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.

【解析】 (Ⅰ)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.

所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.

又圆A的标准方程　为(x+1)2+y2=16,

从而|AD|=4,

所以|EA|+|EB|=4.

由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,

由椭圆定义　可得点E的轨迹方程为:=1(y≠0).

(Ⅱ)当l与x轴不垂直时,设l的方程为

y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),

由　

可得当l与x轴不垂直　时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).

当l与x轴垂直　时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.

综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).   

【命题热点剖析】

1.圆锥曲线的解答题新课标的要求理 一般以椭圆或抛物线为背景,而文 一般以椭圆或圆或抛物线为背景进行综合考查,由于双曲线的弱化,故以双曲线为背景的解析几何解答题不在考虑.从近几年高考来看,圆锥曲线的解答题中主要是以椭圆,抛物线为基本依托,考查椭圆,抛物线方程的求解、考查直线与曲线的位置关系,考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法,这道解答题往往是试卷的压轴题之一．从近几年高考来看,计算量都不是太大,说明文理难度都在降低,特别是计算量不大,但要求的逻辑思维能力,数形结合的能力与往年差不多,体现高考重能力,轻运算．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识,在高考命题上已经比较成熟,考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定,考查方向为以椭圆,抛物线为背景,考查轨迹问题、探索性命题及最值问题,文 也有可能以圆为背景命题,也有可能继续保持题型不变,考查细节上有所变化.

2.从近几年高考来看,求曲线的轨迹方程是高考的常考题型,主要以解答题的形式出现,考查轨迹方程的求法以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质,一般用直接法、待定系数法、相关点代入法等求曲线的轨迹方程,其关键是找到与任意点有关的等量关系．轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合,着重考查分析问题、解决问题的能力,对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求．

【应试经验与技巧】

１．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中与的分母大小,若的分母比的分母大,则焦点在x轴上,若的分母比的分母小,则焦点在y轴上．

２．注意椭圆的范围,在设椭圆上点的坐标时,则,这往往在求与点有关的最值问题中特别有用,也是容易忽略导致求最值错误的原因．

３．注意椭圆上点的坐标范围,特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解,求函数的单调区间,最值有重要意义．

4．直线和抛物线若有一个公共点,并不能说明直线和抛物线相切,还有可能直线与抛物线的对称轴平行．

5．在求得轨迹方程之后,要深入地思考一下：(1)是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？(2)在所求得的轨迹方程中,x,y的取值范围是否有什么限制？确保轨迹上的点“不多不少”．

6.作为解答题的倒数第二个,试题的难度较大,也体现在计算量上尤为明显,学生在解题时往往会思路,但计算往往不对,对此,建议如下：第一问保证准确,如轨迹方程,曲线方程,或者几何性质等,因为第二问往往以第一问为基础,故第一问要舍得花时间去验证一下；对于第二问,往往就是曲线与直线联立,建立方程组,利用判别式,韦达定理等这些都已经成立的模式,建立关系式,即使思路无法进行,也要准确的放在卷面上,一般它们都要占到部分分数；如果涉及到直线方程的探索,特别注意斜率不存在的情况,有时一些定值定点问题,可以通过这种特殊情况直接得到.

【重点知识整合】

1.椭圆的第一定义：平面内到两个定点的距离之和等于定长（）的点的轨迹.

注意：椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于时,无轨迹.

2．直线和椭圆的位置关系

（1）位置关系判断：

    直线与椭圆方程联立方程组,消掉y,得到的形式（这里的系数A一定不为0）,设其判别式为,

（1）相交：直线与椭圆相交；

（2）相切：直线与椭圆相切；

（3）相离：直线与椭圆相离；

(2弦长公式：

（1）若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则＝,若分别为A、B的纵坐标,则＝,若弦AB所在直线方程设为,则＝.

（2）焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解.椭圆左焦点弦,右焦点弦.其中最短的为通径：,最长为；

（3）椭圆的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率.    ]

3.与焦点三角形相关的结论

椭圆上的一点与两焦点所构成的三角,通常叫做焦点三角形.一般与焦点三角形的相关问题常利用椭圆的第一定义和正弦、余弦定理求解.设椭圆上的一点到两焦点的距离分别为,焦点的面积为,设,则在椭圆中,有以下结论：学- 

(1)＝,且当即为短轴端点时,最大为＝；

（2）；焦点三角形的周长为；

 (3),当即为短轴端点时,的最大值为；

4.直线和抛物线的位置关系

（1）位置关系判断：直线与双曲线方程联立方程组,消掉y,得到

的形式,当,直线和抛物线相交,且与抛物线的对称轴并行,此时与抛物线只有一个交点,当设其判别式为,

①相交：直线与抛物线有两个交点；②相切：直线与抛物线有一个交点；

③相离：直线与抛物线没有交点.

注意：过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.

（2）焦点弦：若抛物线的焦点弦为AB,,则有,.

（3） 在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率.

（4）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点,反之亦成立.

5.求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：

注意：这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化.

1．【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（二）】已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，面积的最大值为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作关于轴对称的两条不同直线分别交椭圆于与，且，证明直线过定点，并求的面积的取值范围.

试题解析：

（Ⅰ）设，则，

设，则.

解得.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）设方程为，联立，

得，

点睛：求定点，定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

2．【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设是椭圆的右顶点，过点作两条直线分别与椭圆交于另一点，若直线的斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.

【解析】分析: （Ⅰ）由题意布列关于a，b的方程组，解之即可；（Ⅱ）设直线，与椭圆方程联立可得，利用根与系数的关系表示直线的斜率之积为，可得值，从而得证.

详解: （Ⅰ）依题意：，解得，即椭圆；

（Ⅱ）设直线，

则，

点睛: 定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.

3．【山东省肥城市2018届高三适应性训练】已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，.

（1）当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；

（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点，，且（其中是坐标原点），求的取值范围.   

【解析】分析：(1)先根据垂直平分线定义得 ，再根据圆的半径得 ，最后根据椭圆定义确定轨迹，并求标准方程，(2)先设直线：，，，则，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简，最后解不等式得的取值范围.

详解：（1）由题意是线段的垂直平分线，

所以，

所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，

∴，，，

故点的轨迹方程是.

点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.

4．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟】设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .

（1）求椭圆的方程;

（2）若上存在两点，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形的面积的最小值.

【解析】分析：（）由题意可知及，即可求得和的值，求得椭圆的标准方程；

（2）讨论直线的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可求得最小值.

∴

，令，

则 ，

综上   

点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

5．【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】已知椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为，顶角为的等腰三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）设、、是椭圆上三动点，且，线段的中点为，，求的取值范围．

∴椭圆

（2）设，，，

由

∴，得：

当的斜率不存在时，，

由,，得，∴，

当的斜率存在时，设

得：，

，

由点在椭圆上得得：，此时总成立

又，

6．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟】已知椭圆的焦距为，离心率为，圆，是椭圆的左右顶点，是圆的任意一条直径，面积的最大值为2.

（1）求椭圆及圆的方程；

（2）若为圆的任意一条切线，与椭圆交于两点，求的取直范围.

【解析】分析：(1)易知当线段AB在y轴时，，，结合

可求，可求椭圆方程和圆的方程；  学 .

（2）设直线L方程为：y=kx+m,直线为圆的切线，，

直线与椭圆联立，，得，利用弦长公式

点睛：本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是难题．

7．【江西省临川一中2018届高三模拟考试】已知的直角顶点在轴上，点为斜边的中点，且平行于轴.

（Ⅰ）求点的轨迹方程；

（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线与的另一个交点为.以为直径的圆交轴于即此圆的圆心为,求的最大值.

【解析】试题分析：（1）设的中点的坐标为，根据,得即；（2）（2）讨论BC的斜率，求出圆P的半径和横坐标，计算最小值，进而得到的最大值.

点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．   

8．【四川省双流中学2018届高三考前第二次模拟考试】在平面直角坐标系中，点、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为，点在双曲线上，不在轴上的动点与动点关于原点对称，且四边形的周长为.

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)过点的直线交的轨迹于，两点，为上一点，且满足，其中，求的取值范围.

方程为：.

(2)由题意可知该直线存在斜率，设其方程为且.

由得，

∴，得，

设，，，则，

由，得，

代入椭圆方程得，由得，

∴，

令，则，∴.

点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．

9．【山东省实验中学2015级第二次模拟考试】过抛物线 的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线准线的交点为 ，点在抛物线准线上的射影为，若 的面积为 .

（ 1 ） 求抛物线的标准方程；

（ 2 ） 过焦点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与相交于点，与轴交于点，求证： .

联立消去得，得，

，设，

，

，

得点坐标，

由，得，

,

所以，即.

点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

10．【河北省石家庄二中2018届高三三模】已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点的坐标为，点坐标为，且直线轴，过点作直线与椭圆交于，两点（，在第一象限且点在点的上方），直线与交于点，连接.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，问：的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由.

所以

点睛：圆锥曲线的定值问题会涉及到曲线上的动点及动直线，常用解题步骤为：

设动点和动直线、即引入参数；

结合已知条件将目标式用参变量表示，

（3）通过化简消参求得定值.

设而不求、整体思想和消元思想的运用可有效的简化运算.

11．【河南省安阳35中2018届高三核心押题卷一】已知椭圆的上顶点为，点,是上且不在轴上的点，直线与交于另一点，若的离心率为，的最大面积等于.

（Ⅰ）求的方程，

（Ⅱ）若直线分别与轴交于点,试判断是否为定值.

形即可求值， 。可

所以

，

则为定值

点睛：（1）求椭圆或双曲线的方程，就是求的值，求值时注意的运用；

（2）解决解析几何中的定值问题，应在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少。

12．【辽宁省凌源二中2018届高考三模】设是坐标原点,是抛物线的焦点,是该抛物线上的任意一点，当它与轴正方向的夹角为60°时,.

(1)求抛物线的方程;

(2)已知,设是该抛物线上的任意一点,是轴上的两个动点,且，当取得最大值时,求的面积.

所以，抛物线的方程为

（2）因为所以点在线段的中垂线上，

设，则

所以

所以

当且仅当时等号成立，此时

所以.

点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.

13．【河南省2017-2018学年 高三最后一次模拟考试】设是坐标原点, 是抛物线的焦点, 是该抛物线上的任意一点,当与轴正方向的夹角为时, .

(1)求抛物线的方程；

(2)已知,设是该抛物线上的任意一点, 是轴上的两个动点,且，,当计取得最大大值时，求的面积.

所以,抛物线的方程为.

(2)因为,所以点在线段的中垂线上，

设,则，

所以，，

，

所以 .

当且仅当时等号成立,此时.

所以 .

点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．  

14．【河北省武邑中学2018届高三下学期第四次模拟】已知椭圆，为左焦点，为上顶点，为右顶点，若，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为.

（1）求的标准方程；

（2）是否存在过点的直线，与和交点分别是和，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.

联立方程组，得，由韦达定理得，所以，

若，则，即，解得，

所以存在符合题意的直线方程为或.

点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.

15．【湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题】已知椭圆：，过上一动点作轴，垂足为点．当点满足时，点的轨迹恰是一个圆．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若与曲线切于点的直线与椭圆交于，两点，且当轴时，，求的最大面积．

当轴时，切点为与轴的交点，即，

此时，，即，

故：，：．

设直线：（斜率显然存在），，，

由直线与相切知，，即，

联立直线与椭圆的方程

得，

其中，

点睛：（1）本题主要考查轨迹方程和椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析转化推理能力计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求，其二是求|AB|的最大值，本题利用的是换元后利用基本不等式解答，也可以平方后利用导数解答.

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