2019届二轮复习（理）专题30不等关系与不等式学案（全国通用）
展开
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2.了解不等式(组)的实际背景． 3.掌握不等式的性质及应用． 1．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性⇒ac>bc] ] ]注意c的符号 学+ + ] ⇒ac<bc同向可加性⇒a＋c>b＋d⇒同向同正可乘性⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)2.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①a>b，ab>0⇒<.②a<0<b⇒<.③a>b>0,0<c<d⇒>.④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)．高频考点一 比较不等式的大小例1、(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )A.c≥b>a B.a>c≥bC.c>b>a D.a>c>b(2)若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是( )A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ (2)法一 因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.法二 由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确； ②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故③正确；④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.答案 (1)A (2)C【感悟提升】比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．【变式探究】(1)已知p＝a＋，q＝，其中a>2，x∈R，则p，q的大小关系是( )A.p≥q B.p>qC.p<q D.p≤q(2)设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①＞；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c).其中所有的正确结论的序号是( )A.① B.①②C.②③ D.①②③答案 (1)A (2)D高频考点二 不等式的性质例2、(1)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )A.p<q B．p≤q C．p>q D．p≥q答案 B解析 (作差法)p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·＝＝，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B. (2)已知a<0，－1<b<0，则a，ab，ab2的大小关系是 ．答案 a<ab2<ab【感悟提升】解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．【变式探究】若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论：①ad>bc；②＋<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中成立的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析 ∵a>0>b，c<d<0，∴ad<0，bc>0，∴ad<bc，故①错误．∵a>0>b>－a，∴a>－b>0，∵c<d<0，∴－c>－d>0，∴a(－c)>(－b)(－d)，∴ac＋bd<0，∴＋＝<0，故②正确．∵c<d，∴－c>－d，∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)，a－c>b－d，故③正确．∵a>b，d－c>0，∴a(d－c)>b(d－c)，故④正确，故选C.高频考点三 不等式性质的应用例3、已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式为( )A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④答案 A方法二 令a＝3，b＝2， 可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③>－均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A.【感悟提升】(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．【变式探究】 (1)若a<b<0，则下列不等式一定成立的是( )A.> B．a2<abC.< D．an>bn(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①>；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是( )A．① B．①②C．②③ D．①②③答案 (1)C (2)D (2)由不等式性质及a>b>1知<，又c<0，所以>，①正确；构造函数y＝xc，∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，又a>b>1，∴ac<bc，知②正确；∵a>b>1，c<0，∴a－c>b－c>1，∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，知③正确． 高频考点四 用特殊值判断不等式例4、已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是( )A.ln (x2＋1)>ln (y2＋1) B.sinx>sinyC.x3>y3 D.>解析 解法一：因为实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，所以x>y.对于A，取x＝1，y＝－3，不成立；对于B，取x＝π，y＝－π，不成立；对于C，由于f(x)＝x3在R上单调递增，故x3>y3成立；对于D，取x＝2，y＝－1，不成立．故选C.解法二：根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，D中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C中的不等式成立．答案 C【方法技巧】1当选择题中包含不止一个结论时，宜采用边选边排除的方法.,2在判断多个不等式是否成立时，可采用特值法验证，若取值不能代表所有情况，可采用多次赋值法验证结论是否成立. 【变式探究】若<<0，则下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2中，正确的不等式是( )A.①④ B．②③ C．①③ D．②④答案 C解法二：由<<0，可知b<a<0.①中，a＋b<0，ab>0，所以<0，>0，故有<，故①正确，排除B、D；③中，因为b<a<0，又因为<<0，所以a－>b－，故③正确，排除A.选C.1. （2018年全国Ⅲ卷理数）设，，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】. ,即又即故选B. 1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )（A） （B） （C） （D）【答案】C1．【2015高考湖北，理10】设，表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得，，…， 同时成立，则正整数的最大值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】因为表示不超过的最大整数.由得，由得，由得，所以，所以，由得，所以，由得，与矛盾，故正整数的最大值是4.2.【2015高考上海，理17】记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，，从而即方程③：无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根。学 . 3．（2014·山东卷）已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A. ＞ B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) C. sin x＞sin y D. x3＞y3【答案】D 4．（2014·四川卷）若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A.> B.< C.> D.<【答案】D 【解析】因为c＜d＜0，所以<＜0，即－>－＞0，与a＞b＞0对应相乘得，－>－＞0，所以<.故选D.5．（2014·安徽卷）若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( )A．5或8 B．－1或5C．－1或－4 D．－4或8【答案】D 【解析】当a≥2时，f(x)＝ 由图可知，当x＝－时，fmin(x)＝f＝－＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，a的值为－4或8.6．（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )A．(0，1) B.C. D.【答案】B 【解析】方法一：易得△ABC面积为1，利用极限位置和特值法．当a＝0时，易得b＝1－；当a＝时，易得b＝；当a＝1时，易得b＝－1>.故选B.方法二：(直接法) y＝ ，y＝ax＋b与x 轴交于，结合图形与a>0 ，××＝(a＋b)2＝a(a＋1)>0a＝.∵a>0，∴>0b<，当a＝0时，极限位置易得b＝1－，故答案为B.7．（2013·新课标全国卷Ⅱ）设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A．c＞b＞a B．b＞c＞aC．a＞c＞b D．a＞b＞c【答案】D
