2019届二轮复习（理）专题44直线与圆、圆与圆的位置关系学案（全国通用）


1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；
3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

1．直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.

2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0

高频考点一　直线与圆的位置关系问题
【例1】 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
(2)直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是(　　)
A．(，2) B．(，3)
C. D.
解析　(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝＜1，故直线与圆O相交．

答案　(1)B　(2)D
【感悟提升】(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式解决．
【变式探究】 (1)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)
A.
B.∪
C.
D.∪
解析　(1)若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有＝2，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件．
(2)整理曲线C1的方程得，(x－1)2＋y2＝1，知曲线C1为以点C1(1，0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C2则表示两条直线，即x轴与直线l：y＝m(x＋1)，显然x轴与圆C1有两个交点，依题意知直线l与圆相交，故有圆心C1到直线l的距离d＝＜r＝1，解得m∈，又当m＝0时，直线l与x轴重合，此时只有两个交点，应舍去．故选B.
答案　(1)A　(2)B
高频考点二　圆的切线与弦长问题
【例2】 (1)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为 .
(2)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为 .

(2)将圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，则圆心为(3，4)，半径长为.
由题意可设切线的方程为y＝kx，则圆心(3，4)到直线y＝kx的距离等于半径长，即＝，解得k＝或k＝，则切线的方程为y＝x或y＝x.
联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4，2)，，此即为P，Q的坐标.
由两点间的距离公式得|PQ|＝4.
答案　(1)4π　(2)4
【举一反三】已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
解　(1)圆心C(1，2)，半径r＝2，
当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1，2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，
此时，直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知＝2，解得k＝.
∴圆的切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.

【方法规律】(1)弦长的两种求法
①代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.
②几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
(2)圆的切线方程的两种求法
①代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
②几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
【变式探究】 (1)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为 ．
(2)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为 ．
解析　(1)设P(3，1)，圆心C(2，2)，则|PC|＝，由题意知最短的弦过P(3，1)且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2.
(2)将圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，则圆心为(3，4)，半径长为.
由题意可设切线的方程为y＝kx，则圆心(3，4)到直线y＝kx的距离等于半径长，即＝，解得k＝或k＝，则切线的方程为y＝x或y＝x.联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4，2)，，此即为P，Q的坐标，由两点间的距离公式得|PQ|＝4.
答案　(1)2　(2)4
高频考点三　圆与圆的位置关系
【例3】(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离]
(2)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1 相外切，则ab的最大值为(　　)
A. B. C. D.2

(2)由圆C1与圆C2相外切，可得＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，
根据均值不等式可知ab≤＝，
当且仅当a＝b时等号成立.
答案　(1)B　(2)C
【举一反三】 (1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
(2)过两圆x2＋y2＋4x＋y＝－1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为 ．
解析　(1)两圆圆心分别为(－2，0)和(2，1)，半径分别为2和3，
圆心距d＝＝.
∵3－20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2，|P1P2|＝2|x1|.

由(1)知F1(－1，0)，F2(1，0)，所以＝(x1＋1，y1)，＝(－x1－1，y1)．再由F1P1⊥F2P2得－(x1＋1)2＋y＝0.由椭圆方程得1－＝(x1＋1)2，即3x＋4x1＝0，解得x1＝－或x1＝0.
当x1＝0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在．
当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2.又|CP1|＝|CP2|，故圆C的半径|CP1|＝|P1P2|＝|x1|＝.