2019届二轮复习（理）专题52两个计数原理学案（全国通用）

1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”.

2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.

一、分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n 种不同的方法．

二、分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝mn种不同的方法．

【必会结论】

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终．

(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类．

(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．

高频考点一  分类加法计数原理

例1、(1) a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是(　　)

A．20  B．16  C．10  D．6学  ]

答案　B

(2)已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，x<y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有        个．

答案　17

解析　当A＝{1}时，B有23－1种情况；当A＝{2}时，B有22－1种情况；当A＝{3}时，B有1种情况；当A＝{1,2}时，B有22－1种情况；当A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况；所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(个)．

【感悟提升】使用分类加法计数原理时，应注意以下三方面：

(1)各类方法之间相互独立，每种方法都能完成这件事，且方法总数是各类方法数相加得到的；

(2)分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类；

(3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同类的方法都是不同的．

【变式探究】(1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有(　　)

A．30  B．20  C．10  D．6

答案　D  ]

(2)中国共产党第十九次全国代表大会(简称党的十九大)于2017年10月18日至10月24日在北京召开.10月31日，中共中央总书记习近平及中央政治局常委李克强，栗战书、汪洋、王沪宁、赵乐际、韩正等七人赴上海瞻仰中共一大会址、赴浙江嘉兴瞻仰南湖红船，沿着早期共产党人的足迹，探寻我们党的精神密码．为的是不忘初心，牢记使命，永远奋斗．假设从上海到嘉兴，有5架不同的专机，4趟不同时间发车的高铁，请问他们从上海到嘉兴，有        种方式可以到达？

答案　9

解析　从上海到嘉兴，有两种方式：乘坐专机和乘坐高铁．乘坐专机有5种方式，乘坐高铁有4种方式，故共有9种方式．

高频考点二  分步乘法计数原理

例2.(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A．24  B．18  C．12  D．9

答案　B

解析　分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B.

(2)从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯 四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有        种．

答案　240

【特别提醒】使用分步乘法计数原理应注意的问题

(1)各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘；     

(2)分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下进行分步；

(3)完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤．

【变式探究】(1)某市汽车牌照号码可以上 自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0 9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有(　　)

A．180种  B．360种  C．720种  D．960种

答案　D

解析　按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．

(2)现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班表共有        种不同的排法．

答案　1280

解析　完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：

第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280种不同的排法．

高频考点三  两个计数原理的综合应用

例3、(1)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)

A．243      B．252  C．261    D．279

答案　B

解析　由分步乘法计数原理知：用0,1，…，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.故选B.学 .

(2)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成        个无重复数字的四位偶数．(用数字作答)

答案　420   

【变式探究】 (1)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(　　)

A．48      B．18  C．24   D．36

答案　D

解析　分类讨论：

第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24个；

第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．

所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36个．

(2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 (　　)

A．60  B．48  C．36  D．24

答案　B

解析　长方体的6个表面构成的“平行线面组”个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.

【举一反三】(1)如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D4块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有        种．(用数字作答)

答案　480

解析　从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有4种涂色方法．由分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×4＝480种涂色方法．

(2)如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有        种不同的涂色方法．

答案　260

【感悟提升】

1．应用两个原理解决实际问题的注意点

在解决实际问题中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求．分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系．

2．利用两个计数原理解决应用问题的一般思路

(1)弄清完成一件事是做什么；

(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类；

(3)弄清分步、分类的标准是什么；

(4)利用两个计数原理求解．

高频考点四   与计数原理有关的新定义问题

例4、回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.( )

则：(1)4位回文数有        个；

(2)2n＋1(n∈N )位回文数有        个．(  )

解析　(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法；中间两位一样，有10种填法．

共计9×10＝90种填法，即4位回文数有90个．

(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．

由计数原理，共有9×10n种填空．

答案　(1)90　(2)9×10n   .   ]

【感悟提升】

1一题两问，以“回文数”为新背景，考查计数原理，体现了化归思想，将确定回文数的问题转化为“填方格”问题，进而利用分步乘法计数原理解决，将新信息转化为所学的数学知识来解决.

2从特殊情形入手，通过分析、归纳，发现问题中隐含的一些本质特征和规律，然后再推广到一般情形，必要时可以多列举一些特殊情形，使规律方法更加明确.

【变式探究】我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有(　　)

A．18个  B．15个  C．12个  D．9个

答案　B

1.(2017·天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有        个．(用数字作答)

答案　1 080

解析　①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C·C·A＝960.

②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A＝120.

故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．

1．(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…ak中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)

A．18个   B．16个 

C．14个   D．12个

(2)当a2＝1时，必有a3＝0，分以下2种情况：①若a4＝0，则a5，a6，a7中任一个为0均可，有C＝3种情况；②若a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C＝2种情况．

综上所述，不同的“规范01数列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14个，故选C.

2.[2016·全国卷Ⅱ]如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A．24  B．18  C．12  D．9

答案　B

解析　分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B.